Преобразовать уравнение вводя новые переменные

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Математический анализ
• Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Часто в дифференциальных выражениях входящие в них производные по одним переменным необходимо выразить через производные по новым переменным.

Примеры.

7.165. Преобразовать уравнение $$x^4\frac+2x^3\frac-y=0,$$ полагая $x=\frac<1>.$

Решение.

Подставим найденные значения производных и выражение $x=\frac<1>$ в заданное уравнение.

Ответ: $\frac-y=0.$

7.167. Преобразовать уравнение $$3\left(\frac\right)^2-\frac\frac-\frac\left(\frac\right)^2=0,$$ приняв $y$ за аргумент.

Решение.

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $x$ по $y:$ $$\frac=\frac<1><\frac>,$$

Подставим полученные выражения производных в заданное уравнение. Получаем

Таким образом, получили ответ.

7.168. Преобразовать уравнение $$(xy’-y)^2=2xy(1+y’^2),$$ перейдя к полярным координатам.

Решение.

$$dx=\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi,\qquad dy=\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi,$$

$$r^4 d\varphi^2=r^2\sin2\varphi dr^2+r^4\sin 2\varphi d\varphi^2\Rightarrow$$

$$\sin2\varphi dr^2=(1-\sin 2\varphi)r^2 d\varphi^2 \Rightarrow\left(\frac\right)^2=\frac<1-\sin 2\varphi> <\sin 2\varphi>r^2\Rightarrow$$

7.170. Преобразовать уравнение $$(x+y)\frac<\partial z><\partial x>-(x-y)\frac<\partial z><\partial y>=0,$$ перейдя к новым независимым переменным $u$ и $v,$ если $u=\ln\sqrt,\,\, v=arctg\frac.$

Решение.

Выразим частные производные от $z$ по $x$ и $y$ через частные производные от $z$ по $u$ и $v.$

Подставим найденные выражения производных в заданное уравнение:

7.174. Преобразовать уравнение $$(xy+z)\frac<\partial z><\partial x>+(1-y^2)\frac<\partial z><\partial y>=x+yz,$$ приняв за новые независимые переменные $u=yz-x,\,\, v=xz-y$ и за новую функцию $w=xy-z.$

Решение.

$$ ydx+xdy-dz =\frac<\partial w><\partial u>\cdot \left(-dx+zdy+ydz\right) +\frac<\partial w><\partial v>\cdot \left(zdx+xdz-dy \right)\Rightarrow$$

Подставим найденные выражения $\frac<\partial z><\partial x>$ и

$\frac<\partial z><\partial y>$ в заданное уравнение. Получим

Замена переменных

Выражения, содержащие различные функции и их производные, постоянно встречаются в математике и ее приложениях. Целесообразность перехода к новым независимым переменным, а иногда и к новым функциям, основана как на особой роли новых переменных в изучаемом вопросе, так и на упрощениях, к которым приводит выбранная замена переменных.
Техника замены переменных основана на правилах дифференцирования сложных функций и функций, заданных неявно при помощи уравнений. Такая техника будет продемонстрирована на нескольких достаточно содержательных примерах. Обоснование всех условий, при выполнении которых замена переменных будет законной, в большинстве примеров не представляет труда и поэтому не обсуждается.

В уравнении \(\displaystyle x^2+\frac+x\frac+y=0\) сделать замену независимой переменной \(x=e^t\).

\(\triangle\) Если \(z(t) = y(e^t)\), то, применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем
$$
\frac=e^t\frac=x\frac,\nonumber
$$
откуда \(\displaystyle \frac=x\frac\).

Заметим, что уравнение \(\displaystyle \frac+z=0\) является уравнением гармонических колебаний, а его решением является \(z=C_<1>\sin t + C_2\cos t\). Поэтому при \(x > 0\) решение исходного уравнения имеет следующий вид: \(y= C_1 \sin (\ln x) + C_2\cos (\ln x)\). Так как уравнение не изменяет своего вида при замене \(x\) на \(-x\), то при любом \(x\in R, \ x\neq 0\), решение имеет следующий вид:
$$
y(x)=C_1\sin(\ln |x|) + C_2\cos(\ln |x|).\qquad\blacktriangle\nonumber
$$

В системе уравнений:
$$
\left\<\begin\displaystyle\frac=y-2kx(x^2+y^2),\\\displaystyle\frac=-x-2kx(x^2+y^2),\\\displaystyle k > 0,\end\right.\nonumber
$$
перейти к полярным координатам.

\(\triangle\) Умножим первое уравнение на \(x\), второе на \(y\) и сложим. Аналогично умножим первое уравнение на \(y\) и вычтем из него второе уравнение, умноженное на \(x\). Получим новую систему уравнений, при \(x^2+y^2 > 0\) эквивалентную исходной системе уравнений,
$$
\left\<\begin\displaystyle x\frac+y\frac=-2k(x^2+y^2)^2,\\\displaystyle y\frac-x\frac=y^2+x^2.\end\right.\label
$$

Но \(x^2+y^2=r^2\), \(x=r\cos\varphi\), \(y=r\sin\varphi\). Поэтому систему \eqref можно записать в виде:
$$
\left\<\begin\displaystyle r\frac=-2kr^4,\\\displaystyle\frac=1.\end\right.\Longleftrightarrow\left\<\begin\displaystyle\frac=-2kr^3,\\\displaystyle\frac=1.\end\right.\label
$$

Заметим, что система \eqref легко решается. Получаем решение в виде:
$$
r=\frac<1><\sqrt>,\quad \varphi=\varphi_0+t\quad (-t_0 Пример 3.

Преобразовать уравнение \(y’y»’-3(y»)^2=x\), принимая \(y\) за независимую переменную, а \(x\) — за неизвестную функцию.

Таким образом, при \(y’\neq 0\) уравнение преобразуется к виду \(x»’+x(x’)^5=0\). Это частный случай уравнения общего вида \(x»’=\Phi(y,x,x’,x»)\) с непрерывно дифференцируемой в \(R^4\) функцией \(\Phi(y,u,v,w)\). Уравнения такого типа хорошо изучены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Исходное уравнение не имело стандартного вида. \(\blacktriangle\)

Преобразовать выражение \(\omega=\displaystyle \frac<\partial^2 u><\partial x^2>+\frac<\partial^2 u><\partial y^2>\) к полярным координатам, полагая \(x=r\cos\varphi, \ y=r\sin\varphi\). Найти решение уравнения Лапласа \(\displaystyle \frac<\partial^2 u><\partial x^2>+\frac<\partial^2 u><\partial y^2>=0\), зависящее только от полярного радиуса \(r\).

Пусть \(u=v(r)\) есть решение уравнения Лапласа, зависящее только от \(r\). Тогда функция \(v(r)\) должна быть решением дифференциального уравнения
$$
\frac<\partial^2v><\partial r>+\frac1r\frac<\partial v><\partial r>=0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac\left(r\frac\right)=0\nonumber
$$
$$
r\frac=C,\quad\Longrightarrow\quad v=C_1\ln r+C_2,\label
$$
где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные. \(\blacktriangle\)

Сделать в уравнении колебаний струны
$$
\frac<\partial^2u><\partial t^2>-a^2\frac<\partial^2u><\partial x^2>=0,\quad a > 0,\quad -\infty Решение.

Решение уравнения \(\displaystyle\frac<\partial^2\omega><\partial\xi\partial\eta>=0\) легко находится. Так как \(\displaystyle\frac\partial<\partial\xi>\left(\frac<\partial\omega><\partial\eta>\right)=0\), то \(\displaystyle\frac<\partial\omega><\partial\eta>=\varphi(\eta)\), где \(\varphi(\eta)\) — произвольная непрерывная функция \(\eta\).

Пусть \(\Phi(\eta)\) есть ее первообразная на \(R\). Тогда, интегрируя уравнение \(\omega_<\eta>=\varphi(\eta)\), получаем, что \(\omega=\Phi(\eta)+\Psi(\xi)\), где \(\Psi(\xi)\) — произвольная функция.

Если считать, что функции \(\Phi(\eta)\) и \(\Psi(\xi)\) есть непрерывно дифференцируемые функции, то общее решение уравнения \eqref имеет следующий вид:
$$
u(x,t)=\Psi(x-at)+\Phi(x+at).\quad\blacktriangle\nonumber
$$

Урок алгебры Метод введения новых переменных.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры Метод введения новых переменных. Если уравнение можно преобразовать к виду h(g(x)) —0, то нужно ввести новую переменную и —g(x), решить уравнение h(и) —0, а затем решить совокупность уравнений g(x) —и , g(x) — иz, . g(x) —и„ где и ,и , . и — корни уравнения h(u) —0.

Метод введения новой переменной применяется, например, при решении биквадратных уравнений: уравнение вида ax 4 +bx +c=0 (аЮ) заменой х —у сводится к квадратному уравнению.

Биквадратные уравнения являются частным случаем так называемых трехчленных уравнений: ах «+bx»+c-0 (аЮ). Заменой x»—y уравнение сводится к квадратному уравнению ау +by+c —0.

Пример 4. х б — 9x 3 + 8 = 0

Решение. Пусть х З —у, тогда уравнение примет вид у -9y +8—0, корни которого

у — 1, уz —8. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений: з _g ,

Пример 5. (x 2 + 2x) 2 — <х + 1) 2 = 55.

Решение. Перепишем уравнение в виде: (x 2 + 2x) 2 —(x 2 + 2x +1) = 55. Пусть

x 2 + 2x = Т, тогда уравнение примет вид 3 2 — у — 56 = 0, у — — 7; 2 = 8. Исходное

уравнение равносильно совокупности уравнений ,2 + 2. — 8 Первое из этих

уравнений не имеет действительных корней, корни второго: х — — 4; x 2 ‘ 2.

Метод замены переменных применяется при решении возвратных уравнений. Уравнения вида ах 4 + bx 3 + сх 2 + kbx + 3 2 a —— 0 называют обобщенными возвратными

уравнениями четвертой степени. Поскольку x=0 не является корнем уравнения, то,

разделив уравнение на х 2 , получим равносильное уравнение а х 2

х

которое заменой x + У сводится к квадратному уравнению относительно у.

Частным случаем возвратных уравнений является уравнение вида:

ах 4 + bx + сх 2 + bx+ а —— 0, (коэффициенты равноудаленные от начала и конца

многочлена, равны между собой). Данное уравнение введением переменной +

это уравнение приводится к квадратному.

Пример 6. 2х 4 + Зх — 16x 2 + Зх + 2 = 0.

Решение. Так как x=0 не является корнем этого уравнения, то разделим обе части ур а внения на x 2 , получ И м: 23 2 + Зх 16 + 3 2 — 0 Сгруппируем равноотстоящие от

концов члены уравнения: 2 * 2 + + 3 х + — 16 — 0 Введем новую переменную:

1 , тогда, х i 2

1 — 2 Выполнив подстановку, получим

уравнение: 2(3 2 — 2) + Зу — 16 = 0,

2равнение ав0осильни со ок

+ 4 x 2 + 4x + 1 = 0, з 4

Решение. Разложив знаменатели дробей на множители, получим:

2 + х — 4 1

(х — 2)(x + 2) т(х + 2) х(х — 2)

2x + (х — 4)(x — 2) = Х + 2 x 2 — 5x + 6 = 0

Но 2 не принадлежит ОДЗ, посторонний корень. Ответ: 3.

Метод оценки. При решении уравнений бывает полезно учесть множество значений функций, входящих в это уравнение и использовать ограниченность этих функций.

Пример 8. х — 1) 4 + (x 2 — Зх + 2$ = 0.

Решение. Заметим, что при любых действительных значениях х: (т —1) 4 0 и x 2 — Зх + 2) 2 0. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому исходное уравнение равносильно

х — 1) 4 = 0,

Решением этой системы, а значит и исходного

уравнения, является 1.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 647 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 01.02.2022
• 171
• 0

• 01.02.2022
• 16
• 0

• 01.02.2022
• 22
• 0

• 01.02.2022
• 29
• 1

• 01.02.2022
• 82
• 3

• 01.02.2022
• 41
• 0

• 01.02.2022
• 45
• 0

• 01.02.2022
• 86
• 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.02.2022 25
• DOCX 111 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Доронина Ольга Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 месяцев
• Подписчики: 3
• Всего просмотров: 286327
• Всего материалов: 799

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.