7 класс. Алгебра. Линейная функция.
7 класс. Алгебра. Линейная функция.
- Оглавление
- Занятия
- Обсуждение
- О курсе
Вопросы
Задай свой вопрос по этому материалу!
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы познакомимся с понятием линейной функции, выведем ее в общем виде и рассмотрим частные случаи. Введем новую терминологию, рассмотрим типовые задачи и элементарные примеры.
В предыдущих уроках мы изучали линейное уравнение с двумя переменными, это уравнение вида , . Мы выяснили, что графиком данного уравнения является прямая. Рассмотрим пример:
(1)
Перепишем его таким образом, чтобы у был в одной части, а все остальное в другой:
Перенесем у в левую часть, а все остальное в правую:
(2)
Мы получили частный случай уравнения 1, в котором стоит обособленно в левой части, графиком обоих выражений будет одна и та же прямая, но запись 2 мы будем называть линейной функцией у от х.
Построим график данной функции, для этого составим таблицу:
2. Выведение линейной функции и ее параметров в общем случае, введение новых терминов
Определим линейную функцию в общем случае из линейного уравнения с двумя переменными:
Поскольку можем обе части поделить на b:
Введем более удобные обозначения:
,
(3)
Для примера №1 ,
Таким образом, пара чисел k и m задают конкретную линейную функцию.
Введем некоторую терминологию. В линейной функции переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, мы сами можем выбирать произвольное значение х и по нему находить соответствующее значение у.
называют зависимой переменной или функцией.
Линейная функция характеризуется тем, что если задано значение х, можно сразу получить значение у. у – это линейная функция от х.
Найдем для линейной функции в общем виде (3) точки пересечения с осями. Для всех точек на оси у характерно то, что их абсцисса – координата х, равна нулю.
, ;
Точка пересечения с осью у: (0, m)
Отсюда геометрический смысл переменной m – это ордината точки пересечения прямой 3 с осью у. Параметр m однозначно задает точку пересечения прямой 3 с осью ординат.
Параметр носит название угловой коэффициент.
Для всех точек на оси х характерно то, что их ордината равна нулю. Найдем точку пересечения нашей функции с осью х:
, , ,
Точка пересечения с осью х: ()
3. Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции
Построим графики двух линейных функций: (4), (5)
В функции 4
В функции 5
Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:
Таблица для функции 4;
Таблица для функции 5;
Итак, из построения мы видим, что когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси х острый, а когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси х тупой.
Корнем функции 4 является число -3, потому что именно при этом значении х функция обращается в ноль.
Корнем функции 5 является число 3, так как при данном значении х функция обращается в ноль.
Отметим, что решением следующей системы:
Является точка (0; 3).
4. Решение типовых задач
Пример 3 – найти k и m:
Задано линейное уравнение, так как х и у стоят в первой степени, с двумя переменными.
Чтобы найти k и m, выполним преобразования:
Запишем полученное выражение в стандартном виде:
Отсюда очевидно, что , а
Пример 4 – найти k и m:
Преобразуем правую часть:
Запишем полученное выражение в стандартном виде:
Отсюда очевидно, что , а
Итак, одна из стандартных задач – это нахождение по заданному линейному уравнению параметров линейной функции k и m.
Еще две стандартные задачи – по заданному значению х найти у и наоборот, по заданному значению у найти х. Рассмотрим пример.
Пример 5 – найти значение у при :
Такую задачу иногда называют прямой задачей.
Пример 6 – найти значение аргумента, если :
Эта задача называется обратной.
5. Выводы по уроку
Вывод: в данном уроке мы рассмотрели линейную функцию как в частных случаях, так и в общем виде, определили параметры линейной функции и их значение, ввели некоторые новые термины, научились решать элементарные типовые задачи.
Тема: Линейная функция
Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций
1. Напоминание теоретических положений
Напомним, что линейной называется функция вида:
x — независимая переменная, аргумент;
у — зависимая переменная, функция;
k и m – некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.
2. Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых
, ,
Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр – это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный – убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.
Составим таблицы для построения графиков:
ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §8. Линейная функция и ее график. Номер №8.10.
Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными x и y к виду линейной функции y = kx + m и выпишите коэффициенты k и m:
а) 8 x + 3 y = 24 ;
б) 5 x − 2 y = 10 ;
в) 3 x + 4 y = 12 ;
г) 7 x − 5 y = 35 .
Решение а
8 x + 3 y = 24
3 y = − 8 x + 24
Решение б
5 x − 2 y = 10
2 y = 5 x − 10
Решение в
3 x + 4 y = 12
4 y = − 3 x + 12
Решение линейных уравнений онлайн
Линейным называется уравнение вида:
Линейное уравнение всегда имеет только один корень. Данный калькулятор предназначен для решения таких уравнений. Для получения решения уравнения, необходимо ввести уравнение в естественной форме записи. Помимо десятичных чисел, например 2.43, в калькулятор можно вводить дроби (1/3, -5/8 и т.д.). Кроме того, уравнение может содержать буквы (параметры). В этом случае решение будет дано в общем виде.
http://reshalka.com/uchebniki/7-klass/algebra/mordkovich/311
http://mathforyou.net/online/equation/linear/