СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ С МОНОТОННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Работа выполнена в Чеченском государственном университете
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ШАБАТ Алексей Борисович, доктор физико-математических наук, профессор КИЛБАС Анатолий Александрович, доктор физико-математических наук, профессор ГЛУШАК Александр Васильевич.
Ведущая организация: Российский университет дружбы народов.
Защита диссертации состоится 15 июня 2010 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. БелГУ, ауд. 407.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.
Автореферат разослан мая 2010 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 Прядиев В.Л.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Решение нелинейных краевых задач и многих других задач современной математики, физики и биологии приводит к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям, нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала, нелинейным интегральным уравнениям типа свертки и их дискретным аналогам. Все эти уравнения объединяет то, что их ядра зависят от разности аргументов. Интерес к нелинейным уравнениям с разностными ядрами вызван не только их многочисленными и разнообразными приложениями, но и тем, что методы и результаты теории линейных уравнений с разностными ядрами, которая достаточно хорошо разработана1 2 3, не распространяются на соответствующие им нелинейные уравнения, т.е. имеются принципиальные различия как по методам исследования, так и по характеру получаемых результатов. В случае линейных уравнений основные результаты имеют место сразу для целой серии пространств (Lp, C, C0, M и др.),2 4 так как локальные свойства линейных операторов фактически полностью определяют их свойства во всем пространстве. В случае нелинейных уравнений картина принципиально меняется и зависит не только от выбора рассматриваемого пространства, но и от характера допускаемой нелинейности4, причем для них, в отличие от линейных уравнений, единственность решений неестественна. Как правило, однородное нелинейное уравнение всегда имеет одно очевидное (тривиальное) решение, а интерес (теоретический и практический) представляют другие решения. Например, в теории волн на поверхности идеальной несжимаемой тяжелой жидкости, разработанной А.И. Некрасовым, решения соответствующего нелинейного интегрального уравнения описывают поверхность движущейся жидкости. При этом тривиальное решение соответствует движению жидкости без волн, а условия существования нетривиальных непрерывных решений являются условиями, при которых могут возникать волны.
Существует большое число работ по нелинейным интегральным уравнениям, в основном относящихся к уравнениям типа Вольтерра, Гаммерштейна и Урысона. Значительно меньше работ посвящено нелинейным сингулярным интегральным уравнениям и, особенно, нелинейным уравнениям с ядрами типа потенциала, нелинейным интегральным и дискретным уравнениям типа свертки. В этих работах, в зависимости от характера допускаемой нелинейности, исследование основано, как правило, либо на принципе Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М: Наука, 1968. — 512 с.
Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. — 496 с.
Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. — 296 с.
Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. СМБ.
М.: Наука, 1968. — 448 с.
Шаудера или принципе сжимающих отображений, либо на теореме существования неявной функции или на некоторых их модификациях. При этом на нелинейность и параметры приходится накладывать жесткие ограничения. Например, при исследовании нелинейных сингулярных интегральных уравнений с помощью принципа сжимающих отображений или принципа Шаудера предполагают, что нелинейность удовлетворяет условию Липшица, а параметр перед ней является достаточно малым по абсолютной величине. В результате линейный случай если и охватывается, то лишь частично (ограничения на параметр зачастую оказываются излишними).
Если же такие уравнения исследовать на основе теоремы о неявной функции, то необходимое для ее применения условие о дифференцируемости нелинейности в случае пространств Лебега приводит к вырождению нелинейности, т.е. уравнение становится фактически линейным, а в случае пространств Гельдера приводит к жестким и мало обозримым ограничениям на нелинейность5. В некоторых случаях приходится даже согласовывать рост нелинейности и характер особенности ядра.
Таким образом, естественно возникает проблема установления для нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и их дискретных аналогов нелокальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решений без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений, охватывающих, в частности, линейный случай. В этой связи представляется также весьма актуальной задача выделения из них таких классов нелинейных уравнений, которые могут быть исследованы единым методом. Решение этой задачи позволяет выявить их общие свойства и отличительные особенности, а также в определенной степени систематизировать и классифицировать результаты в этой области.
Цель работы. Целью диссертационной работы является установление единым методом нелокальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки при достаточно широких и легко обозримых предположениях относительно нелинейности без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений. В этой связи изучаются важные (в том числе для гармонического анализа) вопросы о положительности, симметричности или кососимЗабрейко П.П. Неявные функции и монотонные по Минти операторы в банаховых пространствах. Докл. АН Беларуси. 1995. Т. 39, N 2. С. 17-21.
метричности сингулярных интегральных операторов, операторов с ядрами типа потенциала, операторов дробного интегрирования, интегральных операторов свертки и их дискретных аналогов.
Методика исследования. Ранее нелинейные сингулярные интегральные уравнения, нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала, нелинейные интегральные и дискретные уравнения типа свертки исследовались, как правило, либо на основе топологического принципа Шаудера, либо на основе принципа сжимающих отображений Банаха при наличии малого параметра перед нелинейной частью. В данной работе исследование проводится на основе метода монотонных (по Браудеру-Минти) операторов, метода весовых метрик (аналог метода Белецкого) и некоторых их модификаций. Благодаря тому, что монотонные операторы (подобно монотонным функциям) обладают только им присущими свойствами (обратимость, сюръективность, потенциальность и др.), метод монотонных операторов обладает, по сравнению с другими, тем преимуществом, что позволяет, при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейность, доказать существование и единственность решения различных классов уравнений без ограничений на область существования решений и абсолютную величину параметров, что имеет важное значение для приложений. Полученные результаты отличаются от ранее известных как по характеру вводимых ограничений, так и по структуре доказательств. В отличие от традиционных методов, основанных на обращении линейных интегральных операторов, обращаются нелинейные операторы суперпозиции, входящие в эти уравнения. Такой подход позволяет минимизировать ограничения на ядра рассматриваемых уравнений за счет дополнительных ограничений на их нелинейности, что в свою очередь позволяет выявить общие свойства нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных и дискретных уравнений типа свертки. Вместе с этим, теории таких уравнений имеют и существенные особенности, связанные прежде всего с тем, что сингулярные операторы являются положительными и кососимметрическими, операторы типа потенциала являются строго положительными и симметрическими, а операторы типа свертки, вообще говоря, не обладают ни одним из перечисленных свойств.
Известно6 7 8, что метод монотонных операторов является одним из наиГаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. — 336 с.
Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. — 416 с.
Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.
более плодотворных методов нелинейного анализа и нашел широкое применение в различных вопросах математики и ее приложений. Важными и основополагающими в этой области являются исследования Г. Минти, Ф.
Браудера, Ж. Лере и Ж.-Л. Лионса. Следует отметить также исследования М.И. Вишика, который еще до построения этой теории использовал свойство монотонности сильно эллиптического оператора, М.М. Вайнберга и Р.И. Качуровского, получивших основные результаты этой теории при дополнительном условии потенциальности операторов, и многих других (см.6-8). В настоящее время, теория монотонных операторов разделилась на два параллельных направления: уравнения с коэрцитивными операторами, обладающими свойством (М)6, и уравнения с нечетными (по С.И.
Похожаеву) возрастающими операторами9.
Научная новизна.
1. Построены новые классы сингулярных интегральных операторов, действующих из (вещественных и комплексных) весовых пространств Лебега 1-p Lp( ), p > 1, не в себя, а в сопряженные с ними пространства Lp ( ) и обладающих свойством положительности. Такого вида операторы имеют важные приложения, например, в теории дифференциальных уравнений (уравнение Пенлеве V) и определителей Фредгольма, теории случайных матриц (модели случайно-матричного типа) и других10 11 12 13.
2. Без ограничений на абсолютную величину параметров доказаны глобальные теоремы существования и единственности для трех различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений в (вещественных и комплексных) пространствах Lp( ) с общим (не обязательно степенным) весом (x) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контура интегрирования. Условия, накладываемые на нелинейность, являются необходимыми и достаточными для того, чтобы порождаемый ею оператор суперпозиции был непрерывным и монотонным.
3. Впервые доказано, что решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши могут быть найдены в пространствах L2() (как в вещественных, так и в комплексных) методом последовательных приближений пикаровского типа при любых (по абсолютной величине) значениях параметров. Без дополнительных ограничений Лаптев Г.И. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве. Матем. заметки. 2002. Т. 71, N 2. C. 214-2Mehta M.L. Random matrices. Acad. Press, Boston, MA, 1991. — 562 p.
Tracy C.A., Widom H. Fredholm determinants, differential equations and matrix models. Comm.
Math. Phys. 1994. V. 163, N 1. P. 33-Wolfersdorf L.v. Eininge klassen quadratischer integralgleichungen. Sitz. Sach. Akad. Wiss.
Leipzig. Math.-naturwiss. Klasse. 2000. B. 128, H 2. S. 1-34.
Faour N.S. The Fredholm index of a class of vector-valued singular integral operators. Indian J.
Pure and Appl. Math. 1980. V. 11, N 2. P. 135-146.
получены также оценки скорости сходимости последовательных приближений. Эти результаты охватывают и линейные сингулярные интегральные уравнения (в частности уравнения, возникающие при описании процесса обтекания двух проницаемых профилей потоком несжимаемой жидкости).
4. В случае вещественных и комплексных пространств Lp(R1) теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решения для всех рассматриваемых классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений доказаны различными методами, имеющими самостоятельный интерес. При этом, в отличие от случая отрезка [a, b], последовательные приближения и оценки скорости их сходимости получены в терминах -исходного нелинейного оператора F, а не обратного к нему оператора F.
5. Получены новые теоремы о строгой положительности операторов b b(t) u(t) Bu = b(x) dt, 0
11. Методом весовых метрик в конусах пространства C[0, ) изучены интегральные уравнения со степенной нелинейностью в случаях вырожденных и невырожденных, монотонных и почти монотонных, разностных, суммарных и общего вида ядер. Впервые рассматриваются такие уравнения с почти монотонными (по С.Н. Бернштейну) ядрами и используются неравенства Чебышева. Получены точные нижние и верхние оценки решений и на их основе без ограничений на область существования решения доказаны теоремы о приближенном решении таких уравнений. Показана необходимость как нижних, так и верхних априорных оценок в определении классов решений для корректности вводимых метрик.
12. Доказана непрерывная зависимость решений уравнений типа свертки со степенной нелинейностью относительно изменений ядер и правой части в терминах одной и той же, в отличие от других работ, метрики.
13. Впервые методом монотонных операторов исследованы конечные системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных интегральных уравнений типа свертки в пространствах вектор-функций Лебега. В случае систем уравнений типа свертки со степенной нелинейностью и почти возрастающими ядрами, рассматриваемых в конусах пространства непрерывных вектор-функций, показано, что решение является неубывающим (а не почти возрастающим) и получены неулучшаемые априорные оценки решения. В отличие от предшествующих наших совместных работ [12] и [16] показано, что рост нелинейности не зависит от числа уравнений.
14. Впервые методом монотонных операторов изучены различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки как в вещественных, так и в комплексных пространствах. Найдены необходимые и достаточp ные условия положительности дискретных операторов типа свертки. Такие условия возникают при решении задач статистической физики.
15. Получены оценки решений нелинейных (интегральных и дискретных) неравенств, отличающиеся от известных (Willett-Wong, Pachpatte и др.), как по виду, так и по методу их доказательства.
Приведены конкретные примеры ядер, нелинейностей и пространств, удовлетворяющих предъявляемым требованиям, и тем самым иллюстрирующие все полученные в диссертации результаты.
Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней единым методом получены новые нелокальные теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных и дискретных уравнений, а также найдены условия положительности операторов, содержащихся в этих уравнениях. Методы и результаты работы позволили построить достаточно полную теорию уравнений с монотонными нелинейностями и разностными ядрами. Такие уравнения и операторы возникают как при решении задач из многих разделов самой математики (нелинейные краевые задачи, конформные отображения, теория вероятностей, гармонический анализ, дробное исчисление и др.), так и при решении прикладных задач гидравлики (определение дебитов нефтяных скважин), гидроаэродинамики (определение распределения скоростей фильтрации на поверхности цилиндра при его обтекании потоком жидкости, поля возмущенных скоростей и давлений вокруг крыла самолета, распространения ударных волн в трубах, наполненных газом), теории упругости (определение контактного давления жесткого штампа на упругую полосу, деформации кругового цилиндра двумерным потоком жидкости, упруго-жестко-пластичного кручения цилиндрического стержня), теории сервомеханизмов (следящих систем), биологии, статистической физики и других.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались:
на международном Российско-Китайском симпозиуме Комплексный анализ и его приложения (Белгород, 2009), на международной конференции Дифференциальные уравнения и топология, посвященной столетию академика Л.С. Понтрягина (Москва, МГУ, 2008), на I, II, III и IV международных конференциях Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания (Обнинск, 2002, 2004, 2006 и 2008 гг.), на международной конференции Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященной столетию академика С.М. Никольского (Москва, МИ РАН, 2005), на международных Российско-Узбекском, Российско-Казахском, Российско-Азербайджанском и Российско-Абхазском симпозиумах Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики (НальчикЭльбрус, 2003, 2004, 2008 и 2009 гг.), на международной конференции Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений (Воронеж, 2003 г.), на международных конференциях Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XII и Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XV (Воронеж, 2001 и 2004 гг.), и на семинарах академика РАН С.М. Никольского и члена-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИАН, 2009), профессора А.Л. Скубачевского (РУДН, 2009), профессора А.П. Солдатова и профессора А.М. Мейрманова (БелГУ, 2009), профессора А.Б. Шабата (КЧГУ, 2007 и 2009), профессора А.М.
Нахушева (НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2004 и 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[37]. Из результатов, полученных в совместных работах [8-13, 15, 16, 18, 19, 21-24], на защиту выносятся только полученные лично автором. Работы [4, 8-11, 13, 16, 18-21, 23, 33, 37] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторской диссертации.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 294 страницы состоит из введения, восьми глав, разбитых на 41 параграф, списка литературы из 235 наименований и набрана с использованием пакета LaTeX.
Содержание работы Введение содержит обоснование актуальности темы, постановку задач и формулировки основных результатов.
В краткой первой главе (§§1-5), во избежание повторов, приводятся все ограничения, накладываемые на нелинейности в последующих главах.
Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы порождаемые ими операторы суперпозиции действовали17 непрерывно из соответствующего весового пространства Лебега в сопряженное с ним пространство и былимонотонными. Приводятся также, используемые в диссертации, результаты из теории монотонных операторов и интегральных операторов вида:
u(s) ds u(s) ds Su=, Iu=, Hu= h(x — s) u(s) ds, 0 2 max,, f(x) Lp (1-p ), p =.
1 — 2 1 — 2 p — В монографии21, опубликованной в 1980 году, приводится лишь один (из упомянутых) результат, касающийся уравнения (2.4), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана (см.21) для сведения уравнений вида (2.3) к уравнению вида (2.4) не привела к желаемым результатам.
Amann H. Uber die existenz und iterative berechnung einer losung der Hammerstein’schen gleichung. Aequat. Math. 1968. V. 1. P. 242-2Магомедов Г.М. Метод монотонности в теории нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, N 6. C. 1106-112.
Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Применение метода монотонных операторов к одному классу интегральных уравнений. Докл. АН Азерб. ССР. 1979. Т. 35, N 8. C. 3-6.
Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1980. — 416 с.
В 1979-1981 годах были опубликованы статьи автора [1]-[5], в которых рассмотрены уравнения более общего вида (2.5), (2.7) и (2.9):
2 b K(x, s) · u(s) 1u(x) + ds + 3 · F [x, u(x)] = f(x) (2.5) s — x a в пространстве Lp(), p 2, с весом (x) = (x — a)(b — x), где p -1 2 и — 1 1. Из них, в частности, вытекает, что результат Х. Аманна18 для уравнения (2.2) справедлив при любом (-, ), а не только = ±1.
В главе 3 (§§12-15) рассмотрены нелинейные сингулярные интегральные уравнения на действительной оси R1 в комплексных пространствах Lp() с общим (не обязательно степенным) весом (x), т.е. (x) есть любая неотрицательная почти всюду отличная от нуля на R1 измеримая функция. В случае оси R1 возникают дополнительные трудности связанные, по сути дела, с тем, что пространства Lp(R1) не являются вложенными друг в друга. В связи с этим представляют интерес следующие две леммы.
Tuck E.O. A double integral that should (?) vanish but doesn’t. Austral. Math. Soc. Gaz. 1995.
McLean W. A double integral that usually vanishes. Austral. Math. Soc. Gaz. 1995. V. 22, N 3. P. 114-115.
Love E.R. Tuck’s double integral which should (?) vanish but doesn’t. Austral. Math. Soc. Gaz.
1996. V. 23, N 1. P. 9-12.
Fitt A.D. When Tuck’s double integral which should (?) vanish does. Austral. Math. Soc. Gaz.
1997. V. 24, N 1. P. 22-25.
Лемма 12.1. Пусть p 2 и b(x), w(x) L2p/(p-2)(2/(2-p)). Тогда сингулярный оператор 1 [b(x) · w(s) + b(s) · w(x)] · u(s) (Qu)(x) = ds s — x — действует из Lp() в Lp (1-p ), непрерывен и положителен, причем Qu, u = -2 i · Im (w u, S(b u)), Re Qu, u = 0, u(x) Lp().
Лемма 12.2. Пусть p 2, вес (x) = |x|, -1 0 такие,что для почти всех p x R1 и любого z C: |F (x, z)| c(x) + d1 · (x) · |z|p-1;
13.2) для почти всех x R1 и всех z1, z2 C выполняется неравенство:
Re [F (x, z1) — F (x, z2)] · [z1 — z2] 0;
13.3) существуют D(x) L+(R1) и d2 > 0 такие, что для почти всех x R1 и всех z C: Re
13.4) существуют g(x) Lp() и d3 > 0 такие,что для почти всех 1/(p-1) x R1 и любого z C: |F (x, z)| g(x) + d3 · [(x)]-1 · |z| ;
13.5) для почти всех x R1 и всех z1, z2 C выполняется неравенство:
Re [F (x, z1) — F (x, z2)] · [z1 — z2] > 0;
13.6) существуют D(x) L+(R1) и d4 > 0 такие, что для почти всех 1/(p-1) x R1 и всех z C: Re
Заметим, что если выполнены условия 13.1)-13.3), то оператор F действует из Lp() в Lp (1-p ), непрерывен, монотонен и коэрцитивен. Если же выполнены условия 13.4)-13.6), то оператор F действует обратно из Lp (1-p ) в Lp(), непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен.
Следующие три теоремы относятся к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений исследование каждого из которых требует своего особого подхода.
Теорема 13.1. Пусть p 2 и a(x) L+ (2/(2-p)) почти всюду 2p/(p-2) отличная от нуля на R1 функция. Если b(x), w(x) L2p/(p-2)(2/(2-p)), а F (x, z) удовлетворяет условиям 13.1)-13.3), то уравнение 2 [b(x) w(s) + b(s) w(x)] u(s) 1 a(x) u(x) + ds + 3 F [x, u(x)] = f(x) s — x — имеет решение u(x) Lp() при любых f(x) Lp (1-p ), 1 C и 2, 3 R1 таких, что 3 · Re 1 0, 3 = 0. Кроме того, если в условии 1/(p-1) 13.3) D(x) = 0, то ||u||p, d-1 · |3|-1 · ||f||p,. Решение единственно, если выполнено условие 13.5) или 3 · Re 1 > 0.
Теорема 13.2. Пусть 1
Далее в главе 3 показано, что при p = 2 решения могут быть найдены методом последовательных приближений при любых, в том числе и комплексных, значениях параметров. Например, справедливы следующие две теоремы (в которых u0(x) L2(R1) — начальное приближение).
Теорема 15.1 Пусть z1, z2 C и п.в. x R1 выполняются условия:
15.1) Re [F (x, z1) — F (x, z2)] · [z1 — z2] 0 ;
15.2) существует M > 0 такое, что |F (x, z1) — F (x, z2)| M · |z1 — z2|.
Если b(x), w(x) L(R1), то при любом f(x) L2(R1) и любых 1 C, 2, 3 R1 таких, что Re 1 > 0, 3 0 уравнение 2 [b(x) w(s) + b(s) w(x)] u(s) 1 u(x) + ds + 3 F [x, u(x)] = f(x) s — x — 28 -1/при p = 2 это условие принимает вид a(x) (x) L+ (R1); знак + означает, что функция неотрицательна.
имеет единственное решение u(x) L2(R1). Это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле:
un = un-1 — µ · (1 un-1 + 2 Qun-1 + 3 F un-1 — f), n N, где µ 0, 2 Re 1/[|1| + 2 |2| · ||b|| · ||w|| + 3 · M]2 — любое число, причем справедлива следующая оценка погрешности:
n ||un — u||2 µ · · ||1 u0 + 2 Qu0 + 3 F u0 — f||2, 1 — где = 1 — 2 Re 1 · µ + M0 µ2, M0 = |1| + 2 |2| · b · w + 3 · M.
Теорема 15.2. Пусть F (x, z) удовлетворяет условию 15.2) и условию:
15.3) Re [F (x, z1) — F (x, z2)] · [z1 — z2] m · |z1 — z2|2, m > 0.
Тогда при любом R1 и любом f(x) L2(R1) уравнение F [s, u(s)] u(x) + ds = f(x) s — x — имеет единственное решение u(x) L2(R1). При = 0 его можно най ти методом последовательных приближений по формуле:
un = un-1 — µ · F un-1 — -1 · Sun-1 + -1 · Sf, n N, n с оценкой погрешности: ||un — u||2 µ · · ||F u0 — -1 · Su0 — f||2, где 1- µ 0, 2 m/[M + ||-1]2, = 1 — 2 µ m + µ2[M + ||-1]2.
В связи с результатами глав 2 и 3 следует отметить, что к нелинейным интегральным уравнениям с ядрами Гильберта и Коши в случае малых по модулю значений параметров применялись и другие различные методы исследования (в том числе и приближенные методы) такие как принцип сжимающих отображений и принцип Шаудера (А.И. Гусейнов, Б.И. Гехт, В.К. Наталевич, W. Pogorzelski), метод Ньютона-Канторовича (Л.С. Бабинчук, В.И. Иваницкий), метод механических квадратур (А.А. Бабаев, В.В. Салаев), метод осреднения функциональных поправок Ю.Д. Соколова (Х.Ш. Мухтаров, Э.И. Эфендиев), квадратурно-итерационный метод (Б.Г. Габдулхаев, И.В. Бойков) и др. (подробнее см.21 29).
Результаты автора, приведенные в главах 2 и 3, особо отмечены в монографии E. Wegert29.
Глава 4 (§§16-20) посвящена нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала. Подобные уравнения достаточно хорошо изучены Wegert E. Nonlinear boundary value problems for holomorphic functions and singular integral equations. Berlin: Acad. Verlag, 1992. — 240 p.
лишь в вольтерровском случае30 31. Сформулируем основные результаты данной главы. Пусть есть либо вся действительная ось R1, либо полуось [0, ) или отрезок [a, b], и b(x) = 0 почти всюду на .
Tеорема 17.1. Пусть p 2 и b(x) Lp·r(-r), r = 2/[p (1 + ) — 2].
Если нелинейность F (x, t) удовлетворяет условиям:
17.1) |F (x, t)| c(x) + d1(x) |t|p-1, где c(x) L+(1-p ), d1 > 0;
p 17.2) F (x, t) не убывает по t почти при каждом фиксированном x;
17.3) F (x, t) · t d2(x) |t|p — D(x), где D(x) L+(), d2 > 0;
то уравнение b(s) u(s) ds F [x, u(x)] + b(x) = f(x) (17.1) |x — s|1- имеет единственное решение u Lp() при любом f Lp (1-p ). Кроме 1/(p-1) того, если D(x) = 0, то ||u||p, d-1 ||f||p, .
Аналогичный результат получен и при 1 0 и любом f(x) L4() уравнение u(s) u(x) + · ds = f(x) |s — x| имеет единственное решение u(x) L4/3(), причем ||u||4/3 ||f||3.
Рассмотрим теперь другие классы нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала. Поскольку произведение монотонных операторов не является, вообще говоря, монотонным оператором, то к ним применить непосредственно теорему Браудера-Минти нельзя.
Теорема 17.3. Пусть 1 2 и имеет специальный вид.
Gorenflo R., Vesella S. Abel integral equations. Analysis and Applications. Berlin: SpringerVerlag, 1991. — 215 p.
Zabrejko P., Rogosin S. Nonlinear Abel equation with monotone operators. J. Electrotechn.
Math. 1997. N 1. P. 53-65.
Теорема 17.4. Пусть p (2, ) и нелинейность F (x, t) строго возрастает по t и удовлетворяет условиям 17.1) и 17.3) при (x) = 1. Тогда при любом > 0 и любом f(x) Lp() уравнение F [s, u(s)] u(x) + · ds = f(x) |s — x|2/p имеет единственное решение u(x) Lp(), причем, если c(x)=D(x)=0, то u d1d-1 f.
p p Следствие 17.2. При любом > 0 и f(x) L4() уравнение u3(s) ds u(x) + · = f(x) |s — x| имеет единственное решение u(x) L4(), причем ||u||4 ||f||4.
Tеорема 17.5. Пусть p 2 и b(x) Lp·r(-r), r = 2/[p (1 + ) — 2].
Если нелинейность F (x, t) удовлетворяет условиям:
17.4) |F (x, t)| g(x) + d3 · (-1(x) |t|)1/(p-1), g(x) L+(), d3 > 0;
p 17.5) F (x, t) строго возрастает по t почти при каждом x;
17.6) F (x, t) · t d4 · (-1(x) |t|)1/(p-1) · |t| — D(x), D(x) L+(), d4 > 0;
то при любом f(x) Lp() уравнение b(s) u(s) ds u(x) + F x, b(x) = f(x) (17.6) |x — s|1- имеет единственное решение u(x) Lp().
Аналогичный результат получен и при 1 0 и f(x) L4/3() уравнение u(s) ds u(x) + · = f(x) |s — x| имеет единственное решение u(x) L4/3().
Если использовать результаты работы32, то существование и единственность решения в теоремах 17.3 и 17.4 можно доказать без условия 17.3).
Brezis H., Browder F. Some new results about Hammerstein equations. Bull. Amer. Math. Soc.
1974. V. 80, N 3. P. 567-572.
Далее в §17 теоремы 17.1-17.5 обобщаются на случай уравнений с операто ром (P01u) (x) = (|x — t|) u(t) dt, изученным в33, где доказано, что опе ратор P01 является строго положительным в L2(0, 1), если (x) C1(0, 1] неотрицательна, интегрируема и не возрастает, а (x) возрастает. Следующие леммы обобщают результаты на случай пространств Lp(0, 1) и не обязательно неотрицательных дифференцируемых функций (x).
Скажем, что (x) (0, 1], если (x) невозрастающая непрерывная выпуклая в промежутке (0, 1] функция такая, что (x) dx Лемма 17.1. Если f(x) C[0, 1] (0, 1], то an = f(x) cos nx dx 0, причем an > 0, n N, если f(x) строго выпуклая убывающая функция.
Лемма 17.2. Пусть 1 0 и f(x) Lp(0, 1).
Так как операторы B и P01, в отличие от сингулярных операторов, являются потенциальными (т.е. градиентами некоторых функционалов), то в случае уравнений с такими операторами удалось улучшить оценки скорости сходимости последовательных приближений в L2(). Эти результаты не охватывают степенные нелинейности и получены методами не применимыми в случае пространств Lp(), который оказался значительно труднее.
В §19 доказано, что в случае пространства Lp() и нечетностепенной нелинейности применим градиентный метод. А именно, справедлива Теорема 19.1. Пусть p 4 — четное число, 0 0, то оператор H является строго положительным.
Условие (21.1) не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы оператор свертки H был положительным в Lp(R1) при 1 0, есть либо ось R1, либо полуось [0, ), либо отрезок [-, ]. При p = 2 эти теоремы охватывают и линейный случай. Известно, что разрешимость линейного уравнения Винера-Хопфа связана с величиной индекса = ind[ — h(x)]. Условие (21.1) означает, что в линейном случае будем иметь дело с индексом = 0.
В случае уравнений вида (x) · u(x) + h(x — t) u(t) dt = f(x), 2, (26.10) установлены не только теоремы существования и единственности решения, но и доказано, что решения могут быть найдены градиентным методом.
Изученные в §§22-26 уравнения часто встречаются в приложениях. На пример, уравнения вида u(x)+ h(x-t) F [t, u(t)] dt = f(x) возникают в — теории сервомеханизмов (следящих систем)38, в теории электрических сетей39, при описании модели распространения эпидемии40 и других41. Уравнение вида (26.10) при (x) = 1, 2, h(x) = — exp(-x2), f(x) = изучалось В.С. Владимировым и Я.И. Воловичем в связи с описанием динамики открытой p-адической струны для скалярного поля тахионовГлава 6 (§§27-33) посвящена интегральным уравнениям типа свертки со степенной нелинейностью, рассматриваемым, в отличие от главы 5, в конусе Q0 =
Techn. J. 1961. V. 40, N 5. P. 1309-1321.
Bene V.E. A nonlinear integral equation in the Marcinkiewicz space M2. J. Math. Phys. 1965.
V. 44, N 1. P. 24-35.
Diekman O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection. J. Math.
Biol. 1978. V. 6, N 2. P. 109-130.
Cooke K.L., Kaplan J.L. A periodicity threshold theorem for epidemics and population growth.
Math. Biosci. 1976. V. 31. P. 87-104.
Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны // Теорет. и матем. физика. 2004. Т. 138, N 3. C. 355-368; Владимиров В.С. Об уравнении p-адической открытой струны для скалярного поля тахионов // Известия РАН. Сер.
матема. 2005. Т. 69, N 3. C. 55-80; Владимиров В.С. О нелинейном уравнении p-адической открытой струны для скалярного поля // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60, вып. 6. С. 73-88.
Okrasinski W. On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water percolation.
Annal. Polon. Math. 1980. V. 37, N 3. P. 223-229.
Keller J.J. Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction. ZAMP. 1981.
V. 32, N 2. P. 170-181.
Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.:Мир, 1969. — 1072 с.
удачном выборе метрики доказывать глобальные теоремы существования и единственности без ограничений на область определения решений.
Рассмотрим в классе Q0 уравнение x u(x) = k(x — t) u(t) dt, > 1, x > 0, (29.3) (x) k(x) = p · x + (x), p > 0, > -1, (x) Q0 и lim = 0. (29.26) xx Теорема 29.3. Если выполнены условия (29.26), то уравнение (29.3) имеет единственное решение u(x) Q0. Это решение b > 0 принадлежит классу b =
В отличие от других работ, доказательство теоремы 29.3 использует различные метрики, в зависимости от того > 0 или (-1, 0]. В основе доказательства оценки u(x) L(x) лежит метод работы46 и использует, в отличие от и других работ, теорему Теплица.
В §33 результаты §§27-32 обобщаются на случай уравнений x u(x) = k(x, t)u(t)dt + f(x), > 1, x 0, (33.1) где ядро k(x, t) 0 при 0 t x, непрерывно и не убывает по x.
Теорема 33.1. Если u(x) Q0 есть решение уравнения (33.1) при f(x) = 0, то u(x) не убывает на [0, ) и для любого x [0, ):
1/(-1) 1/(-1) x x — 1 — k(t, t)dt u(x) k(x, t)dt 0 Следствие 33.147. Если u(x) Q0 есть решение уравнения u(x) = 1/(-1) x x 1/(-1) -1 -k(x — t)u(t)dt, то k(0)x u(x) k(t)dt.
0 Следствие 33.248. Если u(x) Q0 есть решение уравнения u(x) = x 1/(-1) 1/(-1) -1 -e-2t[1/2 + (x — t)]u(t)dt, то (1 — e-2x) u(x) x.
4 2 Schneider W.R. The general solution of a nonlinear integral equation of the convolution type.
ZAMP. 1982. V. 33, N 1. P. 140-142.
Okrasinski W. On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain non-linear convolution equation. Ann. Pol. Math. 1979. V. 36, N 1. P. 61-72.
Okrasinski W. On subsolutions of a nonlinear nonlinear diffusion problem. Math. Meth. Appl.
Sci. 1989. V. 11, N 3. P. 409-416.
В случае когда f(x) Q0 и не убывает, доказано, что любое решение u(x) Q0 уравнения (33.1) удовлетворяет неравенствам:
1/(-1) 1/(-1) x x — 1 — k(t, t)dt + g(0) u(x) k(x, t)dt + g(x), 0 где g(x) = f(-1)/(x). Используя эти оценки доказана устойчивость решения уравнения (33.1) относительно возмущений k(x, t) = k(x — t) и f(x) в терминах одной и той же, в отличие от47 и других работ, метрики.
В связи с результатами главы 6 следует отметить работы Н.К. Карапетянца, А.А. Килбаса, З.Б. Цалюка, P. Bushell, W. Mydlarczyk, W. Okrasinski, M. Saigo и др. (см. монографии [24, 28, 37]).
В главе 7 (§§34-37) результаты глав 2-6 обобщаются на случай соответствующих конечных систем нелинейных интегральных уравнений. Эти системы методом монотонных операторов впервые были изучены автором [5], [14], [40]. Такие системы уравнений возникают в теории магнитного поля49, а также при описании процесса возрождения и торможения нейронов в нейронной сети50 и других51. В случае систем интегральных уравнений типа свертки со степенной нелинейностью и почти возрастающими ядрами, рассматриваемых в конусах пространства непрерывных векторфункций, показано, что решение является неубывающим (а не почти возрастающим) и получены неулучшаемые априорные оценки решения. В отличие от предшествующих наших совместных работ [12] и [16], показано что рост нелинейности не зависит от числа уравнений.
В главе 8 (§§38-41) изучаются различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки в вещественных и комплексных пространствах, а также в различных конусах пространства s. Интерес к p таким уравнения вызван их многочисленными и разнообразными приложениями в различных разделах математики и физики: конформные отображения52, стохастические задачи53, гидродинамика и другие54.
Friedman M.J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation.
I. SIAM J. Appl. Math. 1980. V. 39, N 1. P. 14-20.
Ermentrout G.B., Cowan J.D. Secondary bifurcation in neuronal nets. SIAM J. Appl. Math.
1980. V. 39, N 2. P. 323-340.
Pogorzelski W. Integral equations and their applications. Pergamon Press Oxford and PWN-Pol.
Sci. Publ. Warszaw, 1966. — 228 p.
Каландия А.И. Математические методы двумерной теории упругости. М.:Наука, 1973. 304 с.
Дедагич Ф., Забрейко П.П. Об операторах суперпозиции в пространствах. Сибирский p матем. журн. 1987. Т. 28, N 1. С. 86-98.
Crisci M.R., Kolmanowskii V.B., Russo E., Vecchio A. A priori bounds on the solution of a nonlinear Volterra discrete equation. Sacta. 2000. V. 3, N 1. P. 38-47.
Пусть конус s+ состоит из всех неотрицательных числовых последовательностей u =
Легко проверить, что если u s+ есть решение уравнения (38.1), то 1/(-1) 1/(-1) n — · n + 1 vn un hk, n = 0, 1, 2. (38.5) k=n где v s+ есть единственное решение уравнения vn = vk.
Теорема 38.2. Уравнение (38.1) имеет в s+ счетное число решений вида u = 0, u = u, = 0, 1, 2. где u — единственное решение урав нения (38.1) в +, u = 0, 0. 0, u0, u1, u2. 0u = u.
Аналогично изучено соответствующее нелинейное уравнение ВинераХопфа в конусе c+ и дана характеристика возможных типов решений.
Эти результаты получены в наших совместных работах [11], [12] и, как отмечено в [12, с. 9], принадлежат авторам в равной мере.
Наиболее трудным для исследования оказался случай невозрастающего ядра, рассмотренный автором в [37]. Пусть ядро h =
0 n=Лемма 38.4 Пусть h =
k=Лемма 38.5 Если 0 1, 1 = h0 h1 h2 . hn > n Z+. Тогда уравнение (38.1) имеет в s+ счетное число решений вида u = 0, u = u, = 0, 1, 2. где u есть единственное решение уравнения (38.1) в +. Сужение u на +(l) может быть найдено методом последовательных приближений в +(l) со сходимостью по метрике l.
В §§39-40 впервые методом монотонных операторов изучаются нелинейные дискретные уравнения типа свертки как в вещественных, так и в комплексных пространствах. Приводимые ниже результаты получены в p наших совместных работах [13], [21], [22] и являются дискретными аналогами результатов автора [4]-[6].
Лемма 39.1. Пусть 1 p 2, ядро h , 1 s min (2, p /2) и s hc() = hk · cos (k · ) 0, [0, ]. (39.5) k=- Тогда оператор свертки H = hn-k · k, n Z, действует непреk=- рывно из в и является положительным.
p p Условие (39.5) является не только достаточным, но и необходимым для положительности оператора свертки H.
Пусть вещественная функция F (k, t) определена при k Z, t R1 и является непрерывной по t при каждом фиксированном k.
Теорема 39.1. Пусть 1 0, b2 > 0 ;
p то при любом f нелинейное дискретное уравнение типа свертки p F (n, un) + hn-k · uk = fn, n Z, (39.6) k=- имеет решение u . Решение единственно, если F (k, t) строго возрасp 1/(p-1) тает по t. Кроме того, имеет место оценка: ||u||p b-1 · ||f||p.
Теорема 39.3. Пусть p 2, ядро h , 1 s min (2, p/2), и s удовлетворяет условию (39.5). Если нелинейность F (k, t) удовлетворяет условиям 39.1), 39.3) теоремы 39.1 и строго возрастает по t при каждом k Z, то при любом f нелинейное дискретное уравнение p un + hn-k · F (k, uk) = fn, n Z, (39.10) k=- имеет единственное решение u . Кроме того, если в условии 39.1) p a = 0, то имеет место оценка: ||u||p b1 · b-1 · ||f||p.
Аналог теоремы 39.3 доказан и в случае 1 0, b4 > 0 ;
p то при любом f нелинейное дискретное уравнение типа свертки p un + F n, hn-k · uk = fn, n Z, (39.17) k=- имеет единственное решение u . Кроме того, если g = 0, то:
p 1/(p-1) ||u — f||p bp · b-1 · ||h||s · ||f||p, ||u — f||p b3 · b-1 · ||f||p.
3 4 В случае комплексных пространств сначала выясняется вопрос при p каких условиях оператор свертки H : является положительным.
p p Лемма 40.2. Пусть 1 p 2, q [p, p ], r-1 = 1 + q-1 — p-1 и h , где 1 s min (2, r). Для того чтобы оператор свертки H был s положителен необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
Re h() 0 для почти всех [-, ]. (40.9) Заметим, что условие вида (40.9) использовалось в ряде работ55 56 57 в связи с решением одной задачи статистической физики.
Далее выясняются условия монотонности и коэрцитивности дискретного оператора суперпозиции F, порожденного комплекснозначной функцией Владимиров В.С. Уравнение Винера-Хопфа на полуоси в алгебрах Неванлинны и Смирнова. Изв. АН СССР. 1987. Т. 51, N 4. С. 767-784.
Владимиров В.С. Уравнение Винера-Хопфа на полуоси в алгебрах Неванлинны и Смирнова. Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, N 4. С. 278-283.
Владимиров В.С., Волович И.В. Об одной модели статистической физики. Теор. и матем.
физика. 1983. Т. 54, N 1. С. 8-22.
F (k, z), определенной при k Z, z C и непрерывной по z при каждом фиксированном k. Используя эти условия доказываются теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений нелинейных уравнений вида (39.1)-(39.3) в комплексных пространствах.
p В последнем §41 изучаются нелинейные дискретные неравенства вида µ n- un an + bn · hk · u n Z+ (u0 a0), (41.13) k k=где
|
| © 2011 www.dissers.ru — «Бесплатная электронная библиотека» Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам. источники: |