Презентации метод гаусса для решения систем уравнений

Решение СЛУ методом Гаусса. Метод Гаусса – это просто! Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего. — презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемСафронова Анна

Похожие презентации

Презентация на тему: » Решение СЛУ методом Гаусса. Метод Гаусса – это просто! Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего.» — Транскрипт:

1 Решение СЛУ методом Гаусса

2 Метод Гаусса – это просто! Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». Портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок. Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).

3 Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!

4 Как решить систему линейных уравнений и решим ее методом Гаусса На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:.

5 По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае:

6 После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями. Существуют следующие элементарные преобразования: 1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

7 2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например, матрицу В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:

8 3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. 4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

9 5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: Сначала распишем преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2:

10 и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ. На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

11 Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений ! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

12 Вернемся к нашей системе Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке. (2) Делим вторую строку на 3.

13 Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

14 Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса. В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»: Ответ:

15 Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Пример 1 Решить методом Гаусса систему уравнений: Запишем расширенную матрицу системы: Сейчас нарисуем результат, к которому мы придём в ходе решения:

16 И повторимся, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия? Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

17 Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче. Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

18 Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2: Результат записываем во вторую строку:

19 Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3: Результат записываем в третью строку:

20 На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг: Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

21 На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

22 Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

23 Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх. В третьем уравнении у нас уже готовый результат: Смотрим на второе уравнение Значение «зет» уже известно, таким образом:

24 И, наконец, первое уравнение: «Игрек» и «зет» известны, дело за малым: Ответ: Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

25 Пример 2 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

26 Пример 4 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Пример 5 Решить методом Гаусса систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Презентация на тему: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей:

Теорема Кронекера–Капелли Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.

Две системы, множества решений Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием.

Пример Исследовать систему линейных уравнений

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

Метод Гаусса Для того чтобы решить систему уравнений методом Гаусса выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы будут располагаться нули.

Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.

С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы

Установить совместность и решить систему

Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

Презентация «Решение СЛАУ методом Гаусса» по дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА 2 курс СПО

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Толоконников А.В. Преподаватель КРК «Интеграл МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ метод Гаусса Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Курсавский региональный колледж «Интеграл» Курсавка 2016 г.

Цели и задачи: Цель: Научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Задачи: Изучить решение СЛАУ методом Гаусса Рассмотреть возможные варианты решений системы

Содержание Правило Крамера Метод Гаусса Матричный способ решения СЛАУ

Введение Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).

Метод Гаусса Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в последовательном исключении во втором уравнении первой неизвестной, в третьем уравнении первой и второй неизвестных и т. д. Пока не получится система треугольного или трапецеидального вида. Метод удобнее применять на расширенной матрице

Пример Решить методом Гаусса систему уравнений: Запишем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь нужно получить нули вот на этих местах: Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3.

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО:

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх. В третьем уравнении у нас уже готовый результат: z=4 Смотрим на второе уравнение: y-z=1. Y-4=1 Y=5 Значение «зет» уже известно, таким образом: X+2*5-4=9 X=3 Ответ: (3;5;4)

Выводы: Метод Гаусса универсальный, позволяет решать любую СЛАУ. Слау может иметь единственное решение, если расширенная матрица преобразуется в треугольную, причем имеет уравнение вида а*х=в. Слау может иметь бесконечно много решений, если, если матрица преобразуется в трапецеидальный вид. Слау не имеет решения, если расширенная матрица преобразуется в треугольную, причем имеет уравнение вида 0*х=а

Спасибо за внимание

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 140 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 24.05.2017
• 1378
• 31

• 24.05.2017
• 1114
• 2

• 24.05.2017
• 321
• 1

• 24.05.2017
• 342
• 0

• 24.05.2017
• 799
• 3

• 24.05.2017
• 767
• 1

• 24.05.2017
• 381
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.05.2017 6035
• PPTX 85 кбайт
• 234 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Толоконников Александр Владимирович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 54789
• Всего материалов: 37

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только на 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки