Презентации по математике методы решения уравнений

Презентация к уроку «Методы решения уравнений»
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Презентация урока по теме «Методы решения уравнений» предназначена для проведения повторительно-обобщающего урока по обозначенной теме в 11 классе (изучение курса ведется по учебнику А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа»).

В презентации предложена логико-смысловая модель «Уравнения», отражающая закономерности и внутренние связи между понятиями: предусмотрены оси-направления: «Равносильные преобразования», «Виды уравнений», «Методы решения», «Комбинированные уравнения» и др.

Презентация «Общие методы решения уравнений»

Документы в архиве:

Название документа 26.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели». Готфрид Лейбниц 01.07.1646 – 14.11.1716 гг.

Методы решения уравнений – это способы, приёмы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приёмы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Общие методы решения уравнений Функционально-графический метод Метод разложения на множители Метод введения новой переменной

Метод замены уравнения h(f(х)) = h(g(х)) уравнением f(х) = g(х) Если функция h(х) монотонная, то она принимает каждое своё значение только один раз.

Пример 1. Решить уравнение (3х – 7)5 = (2х + 3)5. Решение. 3х – 7 = 2х + 3; 3х – 2х = 3 + 7; х = 10; Ответ: 10.

Пример 2. Решить уравнение (8 – 2х)2 = (х2 + 5)2. Решение. Так как функция h(х) = х2 немонотонная, то применять этот метод нельзя.

Пример 3. Решить уравнение log3(х + 1) + log3(х +3) = 1. Решение. ОДЗ: х + 1 > 0 х + 3 > 0 ⇒ х > –1; log3(х + 1)(х + 3) = log33; (х + 1)(х + 3) = 3; х2 + 4х = 0; х1= 0, х2 = –4; Ответ: 0.

— показательного уравнения; — логарифмического уравнения; — иррационального уравнения;

Метод разложения на множители f(x) g(x) h(x) = 0 заменяют совокупностью уравнений f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0.

Пример 4. Решить уравнение sin х + sin 2х+ sin 3х = 0. Решение. (sin х + sin 3х) + sin 2х = 0; 2 sin 2х cos х + sin 2х = 0; sin 2х (2 cos х + 1) = 0;

Метод введения новой переменной

Пример 5. Решить уравнение 4х – 10 · 2х-1 = 24. Решение. 22х – 5 · 2х – 24 = 0; 2х = t, t > 0; t2 – 5t – 24 = 0;

Решение. t = log5 х; t2 – 2t – 3 = 0; Ответ: 125; 0,2.

Функционально-графический метод решения уравнения f(х) = g(х) Cтроят графики функций у = f(х) и у = g(х). Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы.

Пример 7. Решить уравнение 2 cos πх = 2х – 1. Решение. Ответ: х = 0,5. 1 2 3 4 –1 –2 –3 2 4 –2 –4 у = 2 cos πх у = 2х – 1

Монотонность; ограниченность; чётность; периодичность; если одна из функций возрастает, а другая убывает на определённом промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня который, в принципе, можно найти подбором; если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах= А g(x)мin= A, то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений: f(x) = A g(x) = A.

Решение. Ответ: 0.

Краткое описание документа:

Презентация «Общие методы решения уравнений» — наглядное пособие для изучения данной темы на школьном уроке. После изучения множества видов уравнений можно выделить общие методы их решения. Каждый вид уравнений имеет особенности, которые необходимо учитывать при выборе способа решения. Задача учителя – выработать у учеников навыки выбора оптимального способа решения уравнения, владения всеми известными способами решения. Поэтому в данной теме рассматривается множество изученных способов решения уравнений, описываются примеры их применения.

Использование презентации с целью обеспечения наглядности учебного материала очень эффективно. Теоретические положения, требующие запоминания, выделяются цветом, рамками, другими способами, способствующими лучшему процессу запоминания. В презентации возможна вставка рисунков, выполнение наглядных построений, в которых используются анимационные эффекты, выделение цветом деталей, представляется детальное, удобное описание решений задач.

Презентация начинается небольшим отступлением в историю математики, словами Г.Лейбница о выборе метода решения математических задач. В них отмечается полезность метода, который помогает изначала предвидеть и затем, в процессе решения данным методом, подтвердить достижение цели. На слайде представлен портрет Лейбница, указаны даты его рождения и смерти. Далее дается определение методов решения уравнений. Указано, что это приемы, способы, помогающие решить уравнения. Определение выделено в рамке и предложено к запоминанию. Более общим понятием является понятие общего метода решения уравнений – способов и приемов, используемых для решения уравнений разного типа. Определение также выделено в рамке.

Далее схематично представлены виды общих методов решения уравнений. На схеме отмечены основные методы:

• разложения на множители;
• функционально-графический;
• введение новой переменной;
• замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x).

На слайде 5 отмечается, что последний способ решения уравнений справедлив только для монотонной функции, которая принимает каждое значение только один раз. Данное правило выделено цветом, чтобы отметить важность особенности его применения. На слайдах 6-8 рассматриваются примеры решения уравнений, в которых применяется указанный способ решения. В примере 1 описывается решение уравнения (3х-7) 5 =(2х+3) 5 . Для степенной функции, являющейся монотонной, рассмотренный выше способ замены уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x) применим, поэтому исходное уравнение приравнивается к уравнению 3х-7=2х+3. Решив это простое уравнение, получаем его корень х=10. Пример 2 рассматривает решение уравнения (8-2х) 2 =(х 2 +5) 2 . Руководствуясь правилом применения способа замены уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x), можно сделать вывод о том, что, так как данная функция не является монотонной, то и метод применить нельзя. В примере 3 решается уравнение log₃(x+1)+ log₃(x+3)=1. Сначала оценивается область допустимых значений решений уравнения. Так как под знаком логарифма по основанию 3 может быть только положительное число, то решаются неравенства х+1>0 и х+3>0, общее решение которых х>-1. Так как оба логарифма в сумме по одному основанию, преобразуем выражение log₃(x+1)+ log₃(x+3)= log₃(x+1)(x+3). Логарифмом по этому же основанию представляем число 1= log₃3. После преобразования обеих частей уравнения к виду h(f(x))=h(g(x)), можем применить известное правило. Решение сводится к решению уравнения (х+1)(х+3)=3. Это квадратное уравнение, корнями которого являются х₁=0 и х₂=-4. Зная ограничение на значение решения, отмечаем, что решением исходного уравнения есть только х=0.

Метод замены уравнения отдельно рассматривается для показательного, логарифмического и иррационального уравнения на слайде 9. Чтобы применить метод для показательного уравнения, оно приводится к виду a f(x) =a g(x) , где положительное а, не равное 1. Для логарифмического уравнения это вид log_af(x)= log_ag(x), где также положительное, не равное 1, число а. Иррациональное уравнение для применения метода замены уравнения должно иметь вид n √f(x)= n √g(x). Примером такого разложения служит способ решения уравнения sinx+sin2x+sin3x=0. После преобразования суммы первых двух слагаемых в произведение 2sinx2xcosx и выведения общего множителя, получаем вид sin2x(2cosx+1)=0.

Решение исходного уравнения сводится к решению двух простых sin2x=0 и 2cosx+1=0. Из первого уравнения х=πn/2 для целых n. Из второго уравнения х=+-arccos(-1/2)+2πk для целых k. Из множества данных решений состоит общее решение исходного уравнения.

На слайде 10 изложена суть метода разложения на множители. Отмечается, что возможности преобразования уравнения в вид f(x)g(x)h(x)=0 его можно заменить совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0.

На слайде 12 рассматривается суть метода введения новой переменной. Отмечается, что для решения уравнения f(x)=0, имеющего вид р(g(x)), можно ввести новую переменную у= g(x), получая уравнение р(у)=0. Решая его, определяются корни у₁, у₂ и т.д. далее рассматриваются примеры применения метода для решения задач. В примере 5 требуется найти решения уравнения 4 х -10·2 х-1 =24. Введя новую переменную t=2 х , t>0 получаем уравнение t 2 -5 t-24=0. Решив его, находим t=8, то есть х=3. Пример 6 описывает решение уравнения log 2 ₅x-log_√5x-3=0. Вводится новая переменная t= log₅x. Через нее выражаем исходное уравнение – оно приобретает вид t 2 -2 t-3=0. Решив уравнение, получаем значения t₁=3, t₂=-1. Подставив значения в формулу для определения корней, получаем х=125, х=0,2.

На слайде 15 изложена суть функционально-графического метода решения уравнения f(x)=g(x). Данный метод основан на определении абсциссы точки пересечения графиков функций у= f(x)и у=g(x). Примером применения метода служит пример 7, в котором необходимо решить уравнение 2cosπx=2x-1. На слайде демонстрируется решение данного уравнения функционально-графическим методом. На координатной плоскости строится синусоида, соответствующая функции у=2cosπx и прямая у=2x-1. Точкой пересечения данных графиков будет х=0,5 – это и есть решение уравнения.

На слайде 17 описываются свойства функций, которые важны для выбора метода решения уравнения – монотонность, ограниченность, четность, периодичность. Также отмечается особенность нахождения корней для функции f(x)=g(x), где одна из функций возрастает на промежутке, а вторая – убывает. Отмечается, что в этом случае может быть не более одного корня, который, к тому же, находится также методом подбора. При ограниченной сверху функции f(x) и ограниченной снизу функции g(x) так, что максимальное f(x) равно минимальному g(x), уравнение f(x)=g(x) будет равносильным системе уравнений f(x)=А и g(x)=А. В последнем примере описывается решение уравнения cos((x 2 -8x)/5)=x 2 +1. Очевидно, максимальным значением косинуса есть 1, а минимальным значением x 2 +1 также есть 1. Поэтому достаточно решить систему cos((x 2 -8x)/5)=1 и x 2 +1=1. Решение системы х=0. Задача решена.

Презентация «Общие методы решения уравнений» обеспечивает наглядность учебного материала на традиционном уроке математики. Также наглядное пособие может быть полезно учителю, выполняющему дистанционное обучение. Чтобы облегчить понимание и запоминание материала учениками, недостаточно хорошо усвоившими тему на уроке, презентация может быть рекомендована для самостоятельной работы дома.

Презентация по теме «Общие методы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Общие методы решения уравнений 11 класс УМК А.Г. Мордкович (профильный уровень) Халфина Елена Анатольевна, учитель математики г. Нижневартовск, 2014 «Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах» Г. Цейтен

Цели урока: Рассмотреть общие методы решения уравнений. Научиться применять эти методы при решении уравнений. Формировать навыки применение наиболее рациональных способов решения уравнений.

Рассмотрим уравнения: 1) х² — 2 х = 0; 2) sin²x + sinx = 0; 3)

Общие методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). Метод разложения на множители. Метод введения новой переменной. Функционально-графический метод.

Этот метод мы применяем: при решении показательных уравнений, когда переходили от уравнения (а>0, а≠1) к уравнению f(x) = g(x); при решении логарифмических уравнений, когда переходили от уравнения log f(x) = log g(x) к уравнению f(x) = g(x); при решении иррациональных уравнений, когда переходили от уравнения к уравнению f(x) = g(x). 1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).

Пример 1: Решить уравнение Ответ: 0; 1,5.

Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений: Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. 2. Метод разложения на множители.

Пример 3: Решить уравнение

Из найденных корней этой системе неравенств удовлетворяет только х = 9, остальные являются посторонними для данного уравнения. Ответ: 9. Пример 3:

Если уравнение f(x)= 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений: где и , и ,… и — корни уравнения р(и) = 0. 3. Метод введения новой переменной.

Пример 4: Решить уравнение Введём новую переменную . Получим: Освободившись от знаменателей, получим:

Пример 4: Найдём корни квадратного уравнения: Выполним проверку корней на выполнение условия: 5(у – 3)(у + 1) ≠ 0. Оба корня удовлетворяют данному условию.

Пример 4: Вернёмся к замене переменной и решим два уравнения: и Ответ:

3. Функционально-графический метод. Чтобы графически решить уравнение f(x) = g(x) нужно построить графики функций у = f(x) и у = g(x) и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек.

2 шаг: найти абсциссы точек (или точки) пересечения графиков Ответ: x1 = 1, х2 = 4 Пример 5:

2. x3 – 5 + х = 0 g(x) = 5 — х f(x) = х3 х ≈ 1,5 Решением является абсцисса точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения х3 = 5 — х Пример 6:

Графические методы решения уравнений Построение графиков функций левой и правой частей уравнения (решением является абсциссы точек (точки) пересечения графиков) Функционально – графические методы Использование свойств функций левой и правой частей уравнения (монотонность, четность, нечетность) Использование ограниченности функций левой и правой частей уравнения (метод оценки)

Рассмотрим функцию у = х² — 2х + 2. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. В вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения. Пример 7: Решить уравнение

Для функции у = х² — 2х + 2 Функция у = cos 2πx обладает свойством: Пример 7: Найдём координаты вершины параболы.

х² — 2х + 2 = 1, cos 2πx = 1. Решив 1 уравнение получили: х = 1. Это значение удовлетворяет и 2 уравнению системы, следовательно, является единственным корнем заданного уравнения. Пример 7: Задача сводится к решению системы уравнений Ответ: 1.

Мы рассмотрели общие методы решения уравнений, примеры применения этих методов. Перейдём к практической работе. Решаем № 27.5 (в), 27.9 (б), 27.12 (б), 27.14 (а), 27.19 (б), 27.21 (а), 27.25 (а,б).

№ 27.25 (а) Ответ: одно решение

1 0 х у x2 + 1 = cos x y = x2 + 1 y = cos x x2 + 1 ≥ 1 cos x ≤ 1 x = 0 y = 1  № 27.25 (б) Ответ: 1 корень.

Общие методы решения уравнений Аналитические Функционально-графические 1 2 3 По графику По свойствам Подведем итоги

Краткое описание документа:

Презентация по теме «Общие методы решения уравнений» по учебно-методическому комплексу А.Г. Мордковича для 11 класса (профильный уровень). В разработке представлены разные способы решения уравнений: замена уравнения более простым равносильным уравнением с последующей проверкой, метод разложения левой части уравнения на множители, метод введения новой переменной, функционально-графический метод. Презентацию можно использовать как на этапе изучения нового материала, так и для обобщения и систематизации материала.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 581 420 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 19.05.2014
• 3391
• 8

• 19.05.2014
• 1876
• 3

• 19.05.2014
• 2752
• 10

• 19.05.2014
• 1342
• 0

• 19.05.2014
• 1495
• 9

• 19.05.2014
• 1274
• 3

• 19.05.2014
• 2773
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.05.2014 5518
• PPTX 838.5 кбайт
• 334 скачивания
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Халфина Елена Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 5358
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.