Презентация из истории решений уравнений

презентация «Из истории решения уравнений»
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Краткая история освоения человечеством решения различных уравнений, интересные факты о жизни великих учёных

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Из истории решения уравнений. Учитель Радюк С.Е.

Решение уравнений математиками древности Древний Вавилон . Трудно сказать когда же было решено самое первое уравнение, но среди обнаруженных археологами клинописных текстов, которые относятся ко времени первой вавилонской династии (около 1950 г. до н.э.), есть свидетельство о том, что вавилоняне уже тогда полностью владели техникой решения квадратных уравнений. Они решали и квадратные уравнения с двумя неизвестными, решали даже задачи, сводящиеся к кубическим и биквадратным уранениям. Такие задачи они формулировали только при определённых числовых значениях коэффициентов, но их методы не оставляют никакого сомнения относительного того, что они знали общие правила.

Древняя Греция. Древняя алгебра Вавилона совершенствовалась в эпоху Древней Греции. Среди уцелевших книг Диофанта (около 250 г.) есть весьма разнообразные задачи, решение которых сводилось к уравнениям вида: Ах²+Вх+С=у², Ах³+Вх²+Сх+Д=у² или системам таких же уравнений. Типично для Диофанта то, что его интересуют только положительные рациональные решения. При этом он использовал специальные обозначения для неизвестного, для минуса, для обратной величины, для степени… Но его идеи не нашли поддержки и вскоре были забыты. Лишь через 15 веков ими воспользовался другой великий математик – Виет и человечество получило новую теорию алгебраических уравнений.

Диофант. «Труды его подобны сверкающему огню посреди полной непроницаемой тьмы» Стройк . Диофант предствляет одну из занимательных загадок математики. Мы не знаем, кем был Диофант, чёткие годы его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области что и он. На его могиле есть стихотворение- загадка, решая которую несложно подсчитать, что Дифант прожил 84 года. До нас дошло 7 книг из, может быть 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре. «Арифметика», несомненно явилась результатом бесчисленных исследований. Мы можем лишь гадать о её корнях и изумляться богатству и красе её способов и результатов. Итак, «Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и нужным пояснением. В книгу входят разнообразные задачи, а их решение порой в высшей степени остроумно! Диофант практиковался в решении неопределённых уравнений или систем таких уравнений. Его интересовали лишь положительные целые коэффициенты и оптимальные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы желаемые решения. Поэтому, традиционно, неопределённое уравнение( как правило с целыми коэффициентами ) получает титул «диофантово».

Индийские, арабские и китайскиематематики . Первое общее решение неопределённого уравнения первой степени ах+ву=с (а,в,с – целые числа) встечается у Брахмагупты (около 625 г.). Индийские математики пошли дальше Диофанта в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения х²-45х=250 Бхаскара — ǀ ǀ находил решения х=50 и х= — 5, но по поводу приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. В индии были распостранены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг так говорится по поводу таких соревнований: « Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто задачи облекалась в стихотворную форму.

Решение: + 12=х х 2 +12·64=64х х 2 -64х+768=0 Х 1,2 =8=8; х 1 =8+16=24 ; х 2 =8-16 =-8. Т.о. количество обезьянок – 24. Вот одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары: « Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась, А двенадцать по лианам стали прыгать , повисая.\ Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне в этой стае?»

Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми — крупнейший ученый первой половины IX века, труды которого сыграли огромную роль в развитии математики и естествознания вначале в обширном регионе азиатской культуры, а затем, начиная с XII века, и в Европе. Крупнейший американский историк науки Дж.Сартав назвал всю первую половину IX века «временем ал-Хорезми», которого он характеризовал как самого крупного ученого той поры. Об ал-Хорезми написано достаточно много научных работ. К этому трудно добавить что-либо новое о нем и его современниках-ученых, работавших в Мерве. Сейчас установлено, что ал-Хорезми был автором следующих сочинений: 1) «Книга об индийской арифметике» (или «Книга об индийском счете»); 2) «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы»; 3) «Астрономические таблицы (зидж)»; 4) «Книга картины Земли»; 5) «Книга о построении астролябии»; 6) «Книга о действиях с помощью астролябии»; 7) «Книга о солнечных часах»; 8) «Трактат об определении эры евреев и их праздниках»; 9) «Книга истории». Из этих сочинений до нас дошло только семь — в текстах, принадлежащих либо самому ал-Хорезми, либо его средневековым комментаторам. «Я составил краткую книгу об исчислении алгебры и алмукабалы , заключающую в себе простые и сложные вопросы арифметики, ибо это необходимо людям». Ал-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль – Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т.е. ах²= b х. «Квадраты равны числу», т.е. ах²= c . «Корни равны числу», т.е. ах=с. «квадраты и числа равны корням», т.е. ах²+с= b х. «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах²+ b х=с. «Корни и числа равны квадратам», т.е. b х+с=ах². Автор излагает способы решения указанных уравнений , используя приёмы алджабр и ал-мукабала. Его решение, конечно не совпадает с нашим, например он, как и все математики до 17 века не учитывает нулевых решений, вероятно потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. Задача Ал-Хорезми: « Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (х²+21=10х) . Решение: Раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Индийская и арабская математика влияли на науку Китая. В книге составленной Ван Сяо-туном мы находим кубические уравнения Более сложные, чем х³= а . Но период расцвета древнекитайской математики наступил только во времена династии Сун (960-1279 г) и периода владычества монголов при Юане. Из числа ведущих математиков можно выделить Цинь Цзю-шао, который развивал тогда уже теорию неопределённых уравнений, а также занимался решением уравнений высших степеней, например : –Х 45 +763200 х²- 40642560000=0.

Квадратные уравнения в Европе 12-17 веков. Формы и методы решения квадратных уравнений по образцу Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции м других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x 2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

Эпоха Возрождения. Большой вклад в развитие алгебры внесли математики – алгебраисты 16 столетия. Эти математики Возрождения были участниками культурнго движения, заодно они были творческими медиками, архитекторами, живописцами, гражданскими и военными инженерами, купцами. Бурное развитие больших и могущественных городов вдохновляло их деятельность. Ранний меркантилизм дал им не только новую теорию алгебраических уравнений, но и новую науку о перспективе.

В 1494 году в книге «Сумма арифметики» францисканского монаха Луки Пачоли есть замечание, что решение уравнений х³+ mx=n , х³ +n=mx столь же невозможно при современном ему состоянии науки, как и квадратура круга. Это замечание стало отправной точкой для математиков Болонского университета. Болонский университет в конце 15 столетия был одним из самых известных и больших в Европе. В разные времена студентами были Пачоли, Альбрехт Дюрер и Коперник.

. Для новой эпохи характерным было стремление не только усвоить науку классиков, но и создать новое, перешагнуть через границы, указанные классиками. Древние греки и восточные народы испытывали свою изобретательность на решении уравнений третьей степени, но они только решили несколько частных случаев. Теперь же Болонские математики пытались найти общее решение. Эти уравнения третьей степени можно было свести к трём типам: х³+рх= q , х³=рх+ q , х³+ q =рх, где р и q – положительные числа. Они были тщательно исследованы Сципионом Дель Ферро, который умер в 1526 г. Считается, что Дель Ферро действительно решил все типы, но он никогда не публиковал своих решений и рассказал о них лишь немногим своим друзьям.

После смерти дель Ферро венецианский мастер счёта, по прозвищу Тарталья переоткрыл его приёмы (1535 г.). Свой способ он по – прежнему держал в тайне. Наконец, он раскрыл свои соображения ученому доктору из Милана Иерониму Кардано, который поклялся, что будет хранить их в тайне. Однако, когда Кардано опубликовал в 1245 году свою книгу «Великое искусство», Тарталья с возмущением обнаружил, что в ней полностью раскрыт его метод. Полученное решение теперь известно, как формула Кардано.

Франсуа Виет. В 1593 году бельгийский математик Адриенн ван Ромен предложил решить уравнение 45-ой степени. Сам он указал некоторые частные случаи. Французский математик Франсуа Виет с лёгкостью справился я этой задачей. Главная же заслуга Виета состоит в усовершенствовании теории уравнений. Он был одним из первых, кто числа изображал буквами. Работы алгебраистов 16 века были написаны с помощью очень сложных обозначений, а усовершенствования Виета позволило значительно упростить эти записи. Кроме того заслуга Виета в открытии теоремы о корнях приведённого квадратного уравнения (теорема Виета) и в изобретении знаков «+» и «-» без которых мы теперь ни мыслим математики.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация «История решения квадратных уравнений»

Квадрат тигезләмәләрне чишү тарихы күпләрне кызыксындырган. Төрле халык аны чишүгә үзенчә якын килгән. Шушы тарих белән укучыларны презентация ярдәмендә таныштыру дәресне күргәзмәлерәк, дәрес ма.

Интегрированный урок в 8Б классе (история+математика) «История Московского Кремля от Ю.Долгорукого до Ивана Ⅲ. Решение уравнений и задач с уравнением»

Автономное образовательное учреждение школа №6 г.Долгопрудного Интегрированный урок в 8Б классе(история+математика) «История Московского КремляотЮ.Долгорукого до Иван.

Урок математики и ИКТ в 9 классе по теме: «Приближенное решение уравнений в электронных таблицах» (Графический способ решения уравнений)

Данный интегрированный урок может провести любой учитель математики, хорошо владеющий информационно-коммуникационными технологиями. Цель урока: научить учащихся решать уравнения графическим спос.

Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений.

Презентация по теме «Решение уравнений».

Урок-игра «Колесо истории» по теме: «Решение уравнений»

Урок-игра «Колесо истории» по теме: «Решение уравнений» (конспект).

Тест по темам « Решение уравнений и их систем», «Решение неравенств и их систем» и «Решение уравнений, неравенств, систем неравенств с модулем».

Задания теста соответствуют содержанию учебника «Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев , Н. Г. Миндюк , К. И. Нешков , И. Е. Феоктист.

Учебный модуль по теме » Уравнение. Решение уравнений.Решение текстовых задач с помощью уравнений.»

Данный учебный модуль разработан в рамках персонализированного обучения .Модуль расчитан на 12 часов. Содержитз адания для прохождения уровней цели 2.0,,3.0 и 4.0.В модуле представле.

История возникновения и развития уравнений Кто хочет ограничиваться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет Лейбниц Автор работы: ученица. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемРоман Алеев

Похожие презентации

Презентация 8 класса по предмету «Математика» на тему: «История возникновения и развития уравнений Кто хочет ограничиваться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет Лейбниц Автор работы: ученица.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 История возникновения и развития уравнений Кто хочет ограничиваться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет Лейбниц Автор работы: ученица 8 «в» класса МОУ «СОШ 75» Садомова Юлия Руководитель работы: учитель математики Неугасимова Н.М.

2 Цель работы П роанализировать историю возникновения и развития уравнений, применение уравнений в разных странах, найти общее в разрешении разных ситуаций из повседневной жизни с помощью уравнений

3 Актуальность выбранной темы Многие задачи экономики, промышленности, сельского хозяйства решаются с помощью уравнений. Грамотное решение данных задач – одна из проблем 21 века

5 По страницам истории. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Уравнения в Древней Греции Квадратные уравнения в Индии Уравнения в Европе в XIII-XVII вв Уравнения в Китае

6 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Вавилоняне умели решать квадратные уравнения около 4000 лет до н.э.

7 Квадратные уравнения в Индии Вот одна из задач знаменитого индийского математика XIIв Бхаскары Обезьянок резвых стая, Всласть поевши развлекалась Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А 12 по лианам Стали прыгать, повисая Сколько было обезьянок Ты скажи мне в этой стае? x2 — 64x = x2 — б 4 х = , (х — 32)2 = 256, х — 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

8 Квадратные уравнения в Древней Греции Математики Древней Греции использовали для решения линейных и квадратных уравнений метод приложения площадей. неполных квадратных уравнений.

9 Уравнения в Китае За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа

10 Квадратные уравнения в Европе в XIII-XVII вв Л. Фибоначчи XIII век н.э. т Тарталья

11 Искусство составлять уравнение. Язык алгебры уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический », — писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах.

12 Задача На родном языке Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. На языке алгебры х х (х — 100) + х 100 / 3 = 4 х 400 / 3

13 Вывод Проследив историю возникновения и развития уравнений, я узнала, что решать уравнения могли еще в глубокой древности. Данная тема не утратила своей актуальности и в 21 веке. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

14 Уравнения в экономике, сельском хозяйстве. Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%? Две бригады, работая одновременно, обработали поле за 12 часов. За какое время могла бы обработать это поле каждая из бригад в отдельности, если скорость работы бригад относятся, как 3:2?

Презентация «История решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Учитель математики Каргопольской основной школы Алькеевского района РТ Галиуллина Фарида Вакифовна

История решения квадратных уравнений (с древности до наших дней) Цель исследования:

“Маршрут” исследований: 1)Древний Вавилон 2)Диофант 3)Индия 4)Европа 5)Казань

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики

Вавилон Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Вавилон Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения В «Арифметике» Диофанта содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задача Диофанта «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение –96» Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х, другое же меньше, т.е.10-х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение(10+х)(10-х)=96 или же 100-х 2=96 , х2-4=0 Отсюда х=2.Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, т.к.греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: х2+вх=с, а0. В этом уравнении коэффициенты, кроме а,могут быть и отрицатель-ными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Индия Задача Мухаммеда ибн Мусы ал-Хорезми “Квадрат и 10 корней равны 39”. Эта задача соответствует уравнению х2+10х=39. Ал-Хорезми предлагает решать ее следующим образом: если бы у нас был квадрат со стороной (х+5), тогда его можно было бы разбить на квадрат со стороной х, два прямоугольника 5х и квадрат со стороной 5 (см. рисунок). Нам известно, что х 2+2*5х=39. Тогда площадь большого квадрата 39+25=64, а значит его сторона равна 8. Но сторона этого квадрата равна х+5, то есть х=8-5=3. Ответ: х=3.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи» Задачи часто облекались в стихотворную форму. «Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась, Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать, повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?»

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, в Германии, Франции и др. странах Европы.

В глубокой древности была найдена формула для решения квадратного уравнения с помощью радикалов (корней). Вывод формулы имеется у Виета,но он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кордано, Бомбелли в XVI в.учитывают и отрицательные корни. В XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Казанские ученые-математики Большой вклад в теорию решения уравнений внесли казанские ученые-математики. Н.Г.Чеботарев в казанский период жизни и научной деятельности создал казанскую алгебраическую школу. Он и его ученики работали над теориями алгебраических чисел, распределением корней, теориями алгебраических функций. Н.Г.Четаев работал над проблемами устойчивости движения, аэродинамикой и качественными методами решения дифференциональных уравнений.

Традиционное решение квадратных уравнений 2 корня, если а и с числа с разными знаками; нет корней, если а и с числа с одинаковыми знаками. 2 корня: 1 корень, x=0

Нетрадиционное решение квадратных уравнений На зависть древним грекам и индийцам вы можете научиться решать квадратные уравнения быстрее. Найдите связь между суммой коэффициентов и корнями квадратных уравнений.

Выводы: Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. После работ Жирара (1592-1632), Декарта и Ньютона метод решения квадратных уравнений приобрёл нынешний вид. Выявляются новые методы решения квадратных уравнений.

Каралачак мәсьәләләр: Квадрат тигезләмәләрне чишү тарихы белән танышу Тулы булмаган квадрат тигезләмәләрне чишү Квадрат тигезләмәләрне: 1) икебуынның квадратын аерып чыгару юлы белән чишү 2)формула кулланып чишү 3)Виет теоремасын кулланып чишү 4)традицион булмаган юллар белән чишү Тигезләмәләрне график юл белән чишү Укучыларда математика, аның тарихы белән кызыксыну тәрбияләү Квадратик функция һәм аның графигы белән танышу

Әгәр х2+10х-39=0 тигезләмәсен безгә билгеле формула ярдәмендә чишсәк, сезнең исәпләүләр мең ел элек гарәп математиклары башкарган исәпләүләрдән нигездә аерылырмы? Билгеле инде, юк. Димәк, әгәр сез, уй белән генә, квадрат тигезләмәләрне чишү тизлеге буенча шул заман математиклары белән ярышсагыз, кем кемне җиңүе әлегә билгесез. Мөгаен, сез оттырырга мөмкин-алар телдән бик тиз исәпләгәннәр. Ә сез? иәрхйя 168_ 155918128

Краткое описание документа:

«Описание материала:

Умение решать квадратных уравнений -одна из ключевых задач обучения математики. Несмотря на, казалось бы, доступность методов решения таких задач, в школе немало учеников, которые не справляются с этим заданием. Учителю приходится убедить своих учеников на необходимость таких знаний. Очень часто в таких случаях учителя обращаются к дополнительным материалам, которые помогают заинтересовать учащихся той или иной темой. Подготовленные учителем презентации, видеоуроки помогают достичь поставленных целей.