Презентация касательная к графику функции уравнение касательной

Презентация на тему Касательная к графику функции

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Касательная к графику функции»
ВЫПОЛНИЛ: учитель математики высшей категории МОУ «СОШ №1»
Города Магнитогорска
Пупкова Татьяна Владимировна

Содержание
1. Определение касательной к графику функции.
2. Уравнение касательной к графику функции в общем виде.
3. Алгоритм составления касательной к графику функции.
4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
5. Касательная проходит через точку, лежащую на данной прямой.
6. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной прямой.
7. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой.
8. Касательная является общей для двух кривых.
9. Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?

Определение касательной к графику функции у=f(х)
Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую называют секущей. Будем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться (стремиться к точки Р) предельное положение прямой РР1 и будет касательной к кривой в точке Р.

Уравнение вида у=f(a)+f’(a)(х-а) является уравнением касательной к графику функции.

Алгоритм составления касательной к графику функции у=f(x)
Обозначить буквой а абсциссу точки касания.
Найти f(а).
Найти f’(x) и f’(а).
Подставить найденные числа а, f(а), f’(а) в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a)

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть даны две прямые: у1=k1x+b1 и у2=k2x+b2.
Если k1= k2, то прямая у1 параллельна у2.
Если k1k2=–1, то данные прямые взаимно перпендикулярны

Рассмотрим возможные типы задач на касательную

1. Касательная проходит через точку, лежащую на данной кривой
У

Даны дифференцируемая функция у=f(х) и
1) абсцисса точки касания;
2) ордината точки касания;
3) абсцисса точки касания задана как пересечение двух графиков функций;
4) абсцисса точки касания задана как корень данного уравнения.

Решение таких задач сводится:
к последовательному отысканию f(a) и f’(a);
решая уравнение f(a)=у0, находим а;
находим точки пересечения двух графиков; решая уравнение f(x)=g(x);
находим корень данного уравнения.

Ключевая задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2.
Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда а=2.
2. Найдем f(a): f(a)=22–2·2–3, f(a)=-3.
3. Найдем f’ (x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2.
4. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x–a): у=-3+2(х–2),
у=-3+2х–4, у=2х–7 – уравнение касательной.
Ответ: у=2х –7.

2. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной кривой
У

Даны дифференцируемая функция у=f(х) и
1) точка А(n;m) через которую проходит касательная;
2) точка А(n;m) задана как пересечение двух графиков функций;
3) точка А(n;m) задана как корень системы уравнений.

Решение таких задач основывается на том, что координаты точки А(n;m) должны удовлетворять искомому уравнению касательной:
решая уравнение m=f(a)+f’(a)(m-a) найдем а и, таким образом, приходим к задаче первого типа;
находим точки пересечения двух графиков, решая уравнения f(x)=g(x) и у=g(х) или у=f(x);
находим корень данной системы уравнений.

Ключевая задача 2. Напишите уравнение всех касательных к графику функции
у = х2 +4х+6 проходящих через точку М(-3;-1).
Решение. 1. Точка М(-3;-1) не является точкой касания, так как f(-3)=3.
2. а – абсцисса точки касания.
3. Найдем f(a): f(a) = a 2+4a+6.
4. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+4, f’(a)=2a+4.
5. Подставим числа а, f(a), в общее уравнение касательной
у= f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+4a+6+(2a+4)(x–a) – уравнение касательной.
Так как касательная проходит через точку М(-3;-1), то -1=a2+4a+6+(2a+4)(-3–a), a2+6a+5=0, a=-5 или a=-1.
Если a=-5, то y=-6x–19 – уравнение касательной.
Если a=-1, y=2x+5 – уравнение касательной.
Ответ: y=-6x–19, y=2x+5.

3. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой
У

Даны дифференцируемая функция у=f(х) и
1) значение производной в точке касания f’(а);
2) указан угловой коэффициент касательной;
3) задан угол, между касательной к графику функции и данной прямой.

Решая уравнение f’(a)=k или f’(a)=tg (если задан угол ) находим возможные значения а.

Ключевая задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции у=х2–2х–8, параллельных прямой у=-4х–4.
Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а.
2. Найдем f(a): f(a)=a2–2a–8.
3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2a–2.
Но, с другой стороны, f’(a)= — 4 (условие параллельности). Решив уравнение 2a–2= — 4, получим a= — 1, f(a)= — 5.
Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a): y=-5–4(x+1),
y= — 4x–9 – уравнение касательной.
Ответ: y= — 4x–9.

4. Касательная является общей для двух кривых
У

Даны дифференцируемые функция у=f(х) и y=g(x). Нужно найти уравнения общих касательных к графику этих функций.

1 способ.
Такие задачи можно решать с помощью необходимого и достаточного признака того, что прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(х) и у=g(х). Тогда задача сводится к решению системы:
f(m)=km+b,
g(n)=kn+b,
f’(m)=k,
g’(n)=k,
где (m;f(m)) и (n;g(n)) – точки касания искомой прямой с графиками функций у=f(х) и у=g(х) соответственно. Решив систему, получим возможные значения k и b и запишем уравнения общих касательных в виде у=kх+b.

2 способ.
1) Находим уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой а.
2) Находим уравнение касательной к графику функции у=g(х) в точке с абсциссой а.
3) Полученные прямые должны совпадать, т. е. решаем систему:
k1=k2,
b1=b2.

Ключевая задача 4. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций у=х2+х+1 и. у=0,5(х2+3).
Решение. I 1. а – абсцисса точки касания графика функции у=х2+х+1
2. Найдем f(a): f(a) =a2+а+1.
3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+1, f”(a)=2a+1.
4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной
у=f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+а+1+(2a+1)(x–a), y=(2a+1)x–a2+1 – уравнение касательной.
II. 1. с – абсцисса точки касания графика функции у=0,5(х2 +3).
2. Найдем f(c): f(c)=0,5c2 +1,5.
3. Найдем f’(x) и f’(c): f’(x)=х, f’(c)=c.
4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+ f’(a)(x–a):
y=0,5c2+1,5+c(x–c), y=cx–0,5c2+1,5 – уравнение касательной.
Так как касательная общая, то 2a+1=c, c=1, с=-3
–a2+1= –0,5c2+1,5 a=0; или а=-2
Итак, y=x+1 и y=-3x–3 общие касательные.
Ответ: y=x+1 и y=–3x–3.

Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?
Даны дифференцируемая функция у=f(х) и уравнение прямой у=kх+b. Выясните, является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x).

1 способ.
Если у=kх+b – уравнение к графику функции в точке с абсциссой а, то f’(а)=k. Решив это уравнение, находим а и задача сводится к решению первого типа задач на касательную. Полученное уравнение сравнивается с данным уравнением прямой.

2 способ.
Прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(x) в том и только том случае, если существует такое значение а, при котором совпадают значения данных функций и значения их производных, т. е. Совместна система
f(a)=ka+b,
f’(a)=k.

Представим разработанную систему задач в виде схемы.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 114 человек из 43 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 233 человека из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 352 человека из 63 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 210 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 14.12.2020
• 115
• 0

• 09.12.2020
• 67
• 0

• 07.12.2020
• 302
• 12

• 04.11.2020
• 136
• 1

• 04.10.2020
• 263
• 13

• 17.08.2020
• 88
• 1

• 15.08.2020
• 92
• 0

• 29.07.2020
• 160
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.07.2020 203
• PPTX 274 кбайт
• 13 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Винокурова Надежда Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 26742
• Всего материалов: 240

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация «Уравнение касательной к графику функции» 10 класс

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

МБОУ Каменно-Балковская СОШ

учитель: Пономарева Ю.В.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Верно ли определение?Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку.Пусть дана и две прямые и , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1).На данном уроке:

• выясним, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной;
• рассмотрим основные задачи на составление уравнения касательной.

• вспомним общий вид уравнения прямой
• условия параллельности прямых
• определение производной
• правила дифференцирования
• Формулы дифференцирования

Определение производной Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение .Если существует предел отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают . Правила дифференцирования

• Производная суммы равна сумме производных.
• Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
• Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.
• Производная частного

Основные формулы дифференцирования

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны Параллельны ли прямые: Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной. Геометрический смысл производной Если к графику функции y = f (x) в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной Геометрический смысл производной Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е.

Вывод уравнения касательной

Пусть прямая задана уравнением:

уравнение касательной к

Составить уравнение касательной:

• к графику функции в точке

Составить уравнение касательной:

• к графику функции в точке

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

• Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a.
• Вычислим .
• Найдем и .
• Подставим найденные числа a , в формулу

Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .

Самостоятельная работа Номера из учебника

• № 29.3 (а,в)
• № 29.12 (б,г)
• № 29.18
• № 29.23 (а)

Ответьте на вопросы:

• Что называется касательной к графику функции в точке?
• В чем заключается геометрический смысл производной?
• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Домашняя работа № 29.3 (б,г) № 29.12 (а,в) № 29.19 № 29.23 (б) Литература

• Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
• Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
• Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010
• ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010

Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
1. Развивать логическое мышление, математическую речь.
2. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если :

1. 
2. 
3. .

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Составим уравнение касательной:

1. к параболе в точке (Слайд № 13)
2. к графику функции в точке

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
2. Вычислим .
3. Найдем и .
4. Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

1)

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

, т.е.

Ответ:

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) ,

2) ,

3)

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е.

Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

• Что называется касательной к графику функции в точке?
• В чем заключается геометрический смысл производной?
• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

VII. Комментарии к домашней работе

№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

Литература. (Слайд 23)

1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.