Презентация на тему логарифмические уравнения

Презентация»Логарифмические уравнения»
презентация к уроку по алгебре (10 класс)

Презентация рассчитана на учащихся 10 класса. Рассматриваются медоты решения логарифмических уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема: «Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений» Выполнила учитель математики МКОУ СОШ с.Новый УРУХ Надгериева Д.И.

Тема: «Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений» Цель урока : формирование умения решать логарифмические уравнения разных типов на основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и общих методов решения уравнений. Задачи: а) общенаучная: выбирать рациональные способы решения уравнений, применять полученные теоретические знания для решения уравнений; б) воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную активность и интерес к предмету, культуру умственного труда; в) развивающая: развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение делать обобщения и выводы; Тип урока : комбинированный

Оборудование и материалы: Тест для первичного закрепления. Раздаточный материал. Оценочный лист. Компьютер. Презентация. Методы обучения: наглядный, проблемный Формы организации урока : индивидуальная, фронтальная, групповая. Технологии, используемые на уроке : групповая технология, обучение в сотрудничестве, информационно-коммуникативная.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

обобщающий урок-игра «Логарифмическая функция, логарифмические уравнения и неравенства».

Методическая разработка+ презентация.

Иррациональные уравнения. Показательные уравнения.Логарифмические уравнения.

Тип урока: Урок повторения. Форма урока – мастерская (групповая работа)Форма урока работа в группах. Коллективная форма работы, которая позволяет создать ситуацию взаимообучения учащихся и сущест.

Конспект обобщающего урока «Логарифмическая функция. Методы решения логарифмических уравнений», алгебра 11 класс.

Урок обобщения и систематизации знаний с использованием индивидуальной, фронтальной, коллективной форм работы. Используются разноуровневые задания.Урок позволяет создать условия для развития творчески.

Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: «Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства».

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител.

Дидактический материал по темам: «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы», «Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества»

Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак.

Презентация «Логарифмические уравнения и неравенства». Алгебра, 10 класс

Презентация содержит: определение, свойства и формулы логарифмирования, представлена схема выполнения равносильных преобразований простейших логарифмических уравненний и неравенств, а также приведены .

«Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»

В презентации рассматриваются свойства логарифмов. Методы решения логарифмических уравнений. Тест на решение уравнений.

Презентация по теме: «Логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Методы решения логарифмических уравнений. Выполнила: учитель математики I категории МБОУ «СОШ № 15» Морозова Светлана Владимировна Г. Череповец, Вологодская область.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, и что, следуя нашему методу, мы достигнем цели. Лейбниц

Линейные Квадратные Рациональные Иррациональные Тригонометрические Показательные Логарифмические Уравнения.

Определение логарифмического уравнения Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим Где , Оно имеет единственное решение при любом b.

Определение логарифма. Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести это основание, чтобы получить данное число.

Свойства логарифмов, где А и в – положительны а > 0, а ≠ 1

Основные сведения о логарифмах.

Математический диктант: 1 вариант 2 вариант 3 log 34 = log 4 4 = log 3 1 = log -5 5= log 6 2 + log 6 3 = log 2 32 = 8. log 2 28 — log 2 7 = 5 log 57 = log 4 1= log 6 6 = log 5 (-2)= log 3 27 = log 2 15 — log 2 30 = 8. log 15 3 + log 15 5 =

Математический диктант (ответы): 1 вариант 2 вариант 4 1 0 Не существует 1 5 0,5 8. 2 7 0 1 3 Не существует 0,5 -1 8. 1

Методы решения логарифмических уравнений Решение уравнений по свойствам логарифма. Решение уравнений по определению логарифма Решение уравнений заменой переменной.

Пути решения уравнений Выбрать метод решения. Решить уравнение. Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Чернорбабова К.В. Гимназия № 8

Укажите метод решения

Решение логарифмического уравнения по определению логарифма 1. Решите уравнение: Ответ: х = 30 Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: х– 17 = 13 Перенесёмчисло 2 в правую часть х= 13 +17 = 30 Сделаем проверку Посчитаем в скобках 13=13 Верно

Решение логарифмического уравнения по определению логарифма 2. Решите уравнение: Ответ: х1 = 2, х2 = -2 Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: х2– 3 = 1 Перенесёмчисло 3 в правую часть х2= 1 + 3 Приведём подобные х2= 4, Решим неполное квадратное уравнение х1= 2, х2= -2 Сделаем проверку Подставляемчисла Посчитаем в скобках Верно

Что надо знать и уметь, для того, чтобы решить логарифмическое уравнение Знать определение логарифма. Уметь решать линейное и квадратное уравнение.

Решите сами Ответы: х = — 5 х1 = 9, х2 = — 9 х = 16 х1 = 0, х2 = 2

Решение логарифмического уравнения по определению логарифма 3. Решите уравнение: Ответ: х = 0,001 Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: Леваяи правая часть уравнения приведена к логарифму по одному основанию Сделаемпроверку -3=-3 Верно

Решение логарифмического уравнения по определению логарифма 4. Решите уравнение: Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: Возведём7в куб Леваяи правая часть уравнения приведена к логарифму по одному основанию 5 -х=343, Решимлинейное уравнение -x = 343 — 5 Неизвестные оставим влевой части, числа переносим вправо -x = 338 Умножим все части на (-1) х= -338 Сделаемпроверку

Решение логарифмического уравнения по определению логарифма Ответ: х = — 338 Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: Подставим Посчитаем в скобках 343 = 73 3=3 Верно

Что надо знать и уметь, для того, чтобы решить логарифмическое уравнение Знать определение логарифма, свойства логарифмов. Уметь решать линейное и квадратное уравнение.

Решите сами Ответы: х = 36 х = -9 х = 0,04 х = 72

Решение логарифмического уравнения по свойствам логарифма 5. Решите уравнение: Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: Леваяи правая часть уравнения приведена к логарифму по одному основанию Раскроемскобки Приведём подобные Перенесём все слагаемые в лево Решим неполное квадратное уравнение

Решение логарифмического уравнения по свойствам логарифма Ответ: х = 0 Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: Вынесем за скобки общий множитель Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю Сделаем проверку Верно Посторонний корень Не существует логарифма от отрицательного числа.

Решение логарифмического уравнения по свойствам логарифма 6. Решите уравнение: Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: Леваяи правая часть уравнения приведена к логарифму по одному основанию Применимсвойство пропорции Перенесём все слагаемые влево Приведём подобные Решим квадратное уравнение

Решение логарифмического уравнения по свойствам логарифма Ответ: х = 2 Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: a = 1, b = 1, c = -6 Сделаем проверку Верно Посторонний корень Не существует логарифма от отрицательного числа.

Что надо знать и уметь, для того, чтобы решить логарифмическое уравнение Знать определение логарифма, свойства логарифмов. Уметь решать квадратное уравнение.

Решите сами Ответы: х = 3 х = -1 х1 = 2, х2 = 4 x = 1

Введение новой переменной где a > 0, a  1, A, В, С – действительные числа. Пусть t = loga f(x), tR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0. Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Решение логарифмического уравнения введением новой переменной 7. Решите уравнение: Ответ: х1 = 1/3, х2 = 9. Решениеуравнения: Пояснения и применяемыеформулы: Обозначим: Решимквадратное уравнение Леваяи правая часть уравнения приведена к логарифму по одному основанию

Что надо знать и уметь, для того, чтобы решить логарифмическое уравнение Знать определение логарифма. Уметь решать квадратное уравнение.

Решите сами Ответы: х1 = 0,0016, х2 = 0,2 x1 = 4, x2 = 2 х1 = 0,5, х2 = 16 x1 = 0,008, x2 = 25

Решение логарифмического уравнения приведением к одному основанию 8. Решите уравнение: Приведём все логарифмы к основанию 2 по свойству логарифма: Подставим в исходное уравнение полученные результаты:

Решение логарифмического уравнения приведением к одному основанию Ответ: х1 = 4, х2 = 0,25 Приведём подобные Умножим обе части уравнения на Разделим обе части уравнения на 12 Получили уравнение вида: х2 = а

Методы решения логарифмических уравнений Решение уравнений по свойствам логарифма. Решение уравнений по определению логарифма Решение уравнений заменой переменной. Приведение обоих частей уравнения к логарифму по одному основанию.

Первичное закрепление Ответ: х1 = , х2 = 25.

4 16 Закрепление

Гимнастика для глаз Сильно зажмурьте глаза, откройте глаза и посмотрите на предмет перед Вами (повторите 5 раз). Закройте глаза, откройте глаза, посмотрите направо, посмотрите налево (повторите 5 раз). Сильно зажмурьте глаза, откройте глаза и посмотрите на предмет вдали от вас (повторите 5 раз).

– угол поворота относительно полюса или — расстояние от полюса до произвольной точки на спирали – постоянная Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния ( ) возрастает пропорционально углу поворота полюс

Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать кажущееся растяжение спирали.

Если вращать спираль вокруг полюса против часовой стрелки, то можно наблюдать кажущееся сжатие спирали.

Спирали широко проявляют себя в живой природе. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев.

В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали

Рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. Например, рога баранов, коз, антилоп и других рогатых животных.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали.

По логарифмической спирали формируется тело циклона

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности – Галактика Солнечной системы.

Подведем итоги Подсчитайте количество набранных Вами баллов. «3» «4» «5» 8-12 баллов 13-15 баллов 16-19 баллов

С каким настроением Вы уходите с урока?

Домашнее задание. Задание на карточках- инструкциях. Выполняя домашнее задание, Вы закрепляете умение решать логарифмические уравнения!

Всем спасибо за работу на уроке! Удачи в освоении математики

Краткое описание документа:

В презентации разобраны основные методы решения логарифмических уравнений: решение уравнений по определению логарифма, решение уравнений по свойствам логарифма, решение уравнений приведением к квадратному уравнению, с подробными пояснениями с указанием применяемых формул.

Подобраны задания для самостоятельной работы учащихся: математический диктант, решение уравнений на первичное закрепление, решение уравнений с самопроверкой или взаимопроверкой.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 573 205 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

§ 44. Логарифмические уравнения

Другие материалы

• 22.02.2018
• 936
• 7

• 18.02.2018
• 1067
• 19

• 16.02.2018
• 332
• 1

• 16.02.2018
• 458
• 1

• 16.02.2018
• 680
• 2

• 15.02.2018
• 1779
• 66

• 10.02.2018
• 732
• 12

• 09.02.2018
• 418
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.02.2018 3724
• PPTX 2.3 мбайт
• 438 скачиваний
• Рейтинг: 1 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Морозова Светлана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 15498
• Всего материалов: 14

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация на тему: Логарифмические уравнения и их системы

Логарифмические уравнения и их системы

Функция y = loga х (где а > 0, а =1) называется логарифмческой. График логарифмической функции logaх можно построить, воспользовавшись тем, что функция logaх обратна показательной функции y = ax. Поэтому достаточно построить график функции y = ax , а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.

у = logaх при a > 1; 1.D(f) = (0; + ∞); 2.не является ни четной, ни нечетной; 3.возрастает на (0; + ∞); 4.не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5.не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6.непрерывна; 7.E(f) = (- ∞;+ ∞ ); 8.выпукла вверх; 9.дифференцируема. y = logaх при 0 № слайда 4

Изобразить график функции y=ln(x+1)-1. График функции получается в результате сдвига графика функции y = ln x на одну единицу влево (при этом мы получаем функцию y = ln (x + 1)) и на одну единицу вниз

Изобразить график функции y=|ln x| . График искомой функции y=|ln x| получается в результате следующих преобразований. Часть графика функции , лежащая в области x ≥ 1, совпадает с графиком функции y = ln x. Остальная часть, соответствующая y № слайда 6

Изобразить график функции y=|ln|x||. Сначала мы построим график функции y=|ln x| , как описано в предыдущем примере. Затем отразим график этой функции относительно оси Оy в левую полуплоскость. Совокупность этих графиков и представляет собой график искомой функции

Основные методы решения уравнений

Методы решения уравнений: функционально графический метод ; по определению логарифма; потенцирование; замена переменных; логарифмирование

Функционально графический метод Пример №1: решите уравнение Log5 x=0 Решение: Уравнение log5 x=0 имеет один корень x=1,поскольку график функции y=log5 x пересекает ось х в единственной точке (1;0).

Логарифмические уравнения Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида loga f(x) = loga g(x), где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

По определению логарифма: loga x=в x=a , где а≠1 и а>0 в

Пример: logx16=2 x =16 х≠1 х>0 х1 = 4 х2 = — 4 – не удовлетворяет условию х>0 Ответ: 4 2

Потенцирование loga f(x) = loga g(x) f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0

Пример: logx (x-1) = logx (2x-8) X-1 = 2x-8, x=7, X-1>0, x>1, 2x-8>0, x>4, x≠1, x≠1, x>0 x>0 x=7 удовлетворяет всем условиям системы Ответ: 7

Замена переменных: loga f(x) + loga f(x) + c=0, loga f(x) = t, f(x)>0 t + t + c = 0 Далее решаем квадратное уравнение Д = t — 4*a*c Находим t1 и t2 Подставляем значения t1 и t2: 2 2 loga f(x)=t1 loga f(x)=t2

Пример: 2*log0,3 – 7*log0,3 -4 = 0 log0,3 x = t, x>0 2t — 7t — 4 = 0, Д = 49 + 32 = 81, t1 = (7+9) / 4 = 4, t2 = (7-9) / 4 = -1/2 log0,3 x = 4, log0,3 x = -1/2, x1 = 0,0081 x2 = √30 / 3 Ответ: 0,0081; √30 / 3 2 2

Логарифмирование: f(x) = g(x) f(x)>0, g(x)>0 loga f(x) = loga g(x)

Пример: x = 0,04 Прологарифмируем обе части по основанию 5. log5x = log50,04 Учтем, что log5x = r*log5x и что log50,04 = -2, следовательно уравнение можно привести к следующему виду: (1-log5x) * log5x = -2 log5x = y (1-y) * y = -2 y² — y – 2 = 0, log5x = 2, log5x = -1 x = 25 x = 1/5 Ответ: 1/5; 25 1- log5x 1- log5x r

Логарифмические системы уравнений log5(x+y)=1 log5(x+y)=1 x + y=5 log6x+log6y=1 log6xy=1 x * y=6 x=5-y 3) x1=5-3=2 (5-y)*y=6 x2=5-2=3 5y-y²-6=0 y²-5y+6=0 Д = 25-24=1 y1=(5+1)/2=3 y2=(5-1)/2=2 Ответ : (2;3),(3;2).

Методы решения неравенств

1) loga f(x) > loga g(x) Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим неравенством. Логарифмические неравенства f(x)>g(x)>0, a>1. 01. 0

3) logh(x)f(x)>logh(x)g(x) (h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0. Пример: log7-x(x2 -5x+6)>log7-x (2x-4) Решение: (7-x-1)(x2-5x+6-2x+4)>0 7-x>0, 7-x≠1, x2 -5x+6>0, 2x-4>0. xє(5;6)

4) logab — logcb>0 (a-1)(b-1)(c-1)(c-a)>0, a>0,a≠1, c>0,c≠1, b>0. Пример: logx(x-1) — logx+1(x-1)0, x+1>0. x(x-1)(x-2)1. xє(1;2)

5) f(logax)>0 t=logax, f(t)>0. 6) logab × logcd>0 (a-1)(b-1)(c-1)(d-1)>0, a>0,a≠1, b>0, c>0,c≠1, d>0. Замена переменной

Логарифмы на ЕГЭ

В3. Найдите корень уравнения 2-lg(10-x)=0. Решение. Найдем О.Д.З.: x

В4. Найти значение выражения (logа(b3)*logba)/(a*b), если a=3, b=5 Решение. Преобразуем числитель: loga(b3)*logba = logbb3 = 3*logbb = 3 У нас получилось следующее выражение: 3/(a*b) Теперь подставим значения a и b в получившееся выражение: 3/(3*5)=0,2 . Ответ: 0,2 .

В11. Найдите наибольшее значение функции y=log1/3 √(x3) на отрезке [1/3;3] Решение. Рассмотрим функцию y=log1/3f(x) – она убывающая, следовательно принимает наибольшее значение при наименьшем значении функции f(x). Функция f(x)=√(x3) возрастающая и определена на промежутке (0;+∞), т.е. наименьшее значение принимает при наименьшем значении x. yнаиб=y(1/3)=log1/3√(1/27)=log1/3(1/3)3/2=3/2*log1/3(1/3)=1,5 Ответ: 1,5.

С3. Решите неравенство 7^log72x+x^log7x0. Представим x как 7^log7x и подставим в данное неравенство: 7^log72x+ 7^log72x

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА В ВИДЕ ТЕСТА (ПРИМЕРЫ ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ) 1. Вычислите: 1. Вычислите: 1)8 2)2 3)3 4)4 1)13 2)2 3)17 4)-169 2. 2. 1)-6 2)6/49 3)6 4) а-49 1)-1 2)9 3)4 4)0,8 3. Вычислите: 3.Вычислите: 1)13 2)9 3)22 4)5 1)17 2)4 3)14 4)23 4. Найдите область определения функции 4. 4. 5. Вычислите: 5. Вычислите: Составьте число из номеров правильных ответов. Проверим ответы.

Логарифмы в жизни

Звезды, шум и логарифмы Заголовок этот, связывающий столь, казалось бы, несоединимые вещи, не притязает быть пародией на произведения Кузьмы Пруткова; речь в самом деле пойдет о звездах и о шуме в тесной связи с логарифмами.

Звезды, шум и логарифмы Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом — по логарифмической шкале.

Звезды, шум и логарифмы Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,53-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Звезды, шум и логарифмы Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние шумов на здоровье людей побудило изучению шумов,к их классификации, к созданию определённых стандартов и эталонов. Единицей громкости служит «бел», практически — его десятая доля, «децибел». Последовательные степени громкости — 1 бел, 2 бела и т. д. (практически- 10 децибел, 20 децибел и т. д.)—составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее — энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, вы раженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Звезды, шум и логарифмы Зависимость величины громкости от его физической характеристики Формула зависимости N

lg S, где N — величина громкости; S – сила звука

Звезды, шум и логарифмы Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое — следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

Музыка и логарифмы Никто и предположить не мог, что музыка и логарифмы связаны между собой. Известный физик Эйхенвальд вспоминал: “Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, — но ведь как раз пифагорова – то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах”.

Музыка и логарифмы Зависимость частоты колебаний ноты «до» в разных октавах: Номер октавы Частота 0 n 1 2n 2 nx22 … … m nx2m

Музыка и логарифмы Формула для нахождения частоты звука N=nx2mx(12 2 )p где P – номер ноты хроматической 12-ти звуковой гаммы m – номер гаммы