Презентация на тему равносильность уравнений

Презентация к уроку алгебры в 11 классе по теме «Равносильность уравнений»
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Презентация содержит теоретический и практический материал для проведения урока. Даны ответы к предложенным лоя решения уравнениям. Подобраны разнообразные уравнения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному .

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же выражение, не равное нулю, имеющее смысл для любого x из области определения, то получится уравнение, равносильное данному.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентации к урокам алгебры 7 класс по теме «Линейные уравнения с одной переменной»

Презентации к трём последовательным урокам, соответствующим программе по алгебре для 7 класса , содержат как теоретический , так и практический материал, а также упражнения для устного счёта. В .

Презентация к уроку алгебры 8 класса по теме «Неполные квадратные уравнения»

Данная презентация содержит материал для актуализации знаний по теме «Квадратные уравнения», знакомству с понятием «Неполные квадратные уравнения» и отработке навыков решения этих уравнений.

Презентация к уроку алгебры 7 класса . Линейные уравнения

Данный материал может быть использован в качестве презентации к уроку алгебры по теме:»Линейное уравнение».

Презентация к уроку. Алгебра 7 класс. «Решение систем линейных уравнений методом подстановки»

урок открытия нового материала.

Презентация к уроку алгебра 8 класс » Решение квадратных уравнений»

Даны разного типа квадратные уранения.

Презентация к уроку алгебры на тему: » График линейного уравнения с двумя переменными» 7 класс

Презентация к уроку алгебры 7 класс «Линейное уравнение и линейная функция(обобщение).

Презентация к уроку алгебры 7 класс «Линейное уравнение и линейная функция(обобщение).

Презентация «Равносильность уравнений»

Документы в архиве:

Название документа 23.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Пример 1. Выяснить, являются ли уравнения х2 – 1 = 0 и х –1 = 0 равносильными? Решение. х2 – 1 = 0; х1 = 1, х2 = –1; х – 1 = 0; х = 1; Ответ: уравнения х2 – 1 = 0 и х – 1 = 0 не являются равносильными.

Пример 2. Выяснить, являются ли уравнения х2 – 9 = 0 и (х + 3)(2х – 8) = 0 равносильными? Решение. Ответ: уравнения х2 – 9 = 0 и (х + 3)(2х – 8) = 0 являются равносильными. х2 – 9 = 0; х1= 3, х2= –3; (х + 3)(2х – 8) = 0; х1= 3, х2= –3;

Решение. х2 + 3 = 0 – не имеет корней;

Если каждый корень уравнения f(x) = g(х) (1) является в то же время корнем уравнения р(х) = h(х) (2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Пример 4. Выяснить, какое из уравнений х – 2 = 0 и х2 – 5х + 6 = 0 является следствием другого? Решение. Ответ: уравнение х2 – 5х + 6 = 0 является следствием уравнения х – 2 = 0. х – 2 = 0; х = 2; х2 – 5х + 6 = 0; х1 = 2; х2 = 3;

Пример 5. Выяснить, какое из уравнений х2 – 4х + 3 = 0 и х2 – 5х + 6 = 0 является следствием другого? Решение. Ответ: ни одно из уравнений не является следствием другого. х2 – 4х + 3 = 0; х1=1; х2= 3; х2 – 5х + 6 = 0; х1 = 2; х2 = 3;

Запомни: если каждое из двух уравнений является следствием другого, то такие два уравнения равносильны.

Первый этап – технический. Второй этап – анализ решения. Третий этап – проверка.

Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению. Теорема 1. х5 + 3х2 – 7 = 4х + 10; х5 + 3х2 – 4х = 17.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению. Теорема 2.

Показательное уравнение аf(x) = аg(x), где а > 0, a≠1, равносильно уравнению f(x) = g(х). Теорема 3.

Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х, при которых одновре­менно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое: 1. имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х); 2. нигде в этой области не обращается в 0; то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ. Теорема 4.

Решение. 2х – 1 ≥ 0; х + 3 ≠ 0; х ≥ 0,5;

Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение (f(x))n=(g(x))n равносильное данному в его ОДЗ. Теорема 5.

Решение. 6х – 11=(х – 1)2 ; х1 = 6, х2 = 2.

Пусть а > 0, a ≠ 1 и f(х) > 0, g(х) > 0,, то логарифмическое уравнение loga f(x) = loga g(x) равносильно уравнению f(x) = g(х). Теорема 6.

Пример 8. Решить уравнение log7 (3х2+2) = log7 (4|х|+1). Решение. f(х) = 3х2+2; g(х)= 4|х|+1; 3х2 + 2 = 4|х| + 1;

Краткое описание документа:

В презентации по алгебре для 11-го класса рассмотрим понятие равносильных уравнений, их свойства и теоремы, разберем решение примеров.

Для начала дадим определение равносильности уравнений (слайд 1) и рассмотрим несколько примеров.

В примерах 1 и 2 необходимо определить, равносильны ли два уравнения. В примере 1 корни уравнений разные, поэтому уравнения не равносильны. В примере 2 уравнение имеют одинаковые решения, следовательно, являются равносильными.

В примере 3 рассмотрен случай, когда два заданные уравнения не имеют корней. Но они являются равносильными, т.к. имеют одинаковые решения.

Далее автор обращает внимание на утверждение о следствии (слайд 5) – при каких условиях одно уравнение является следствием другого.

Посмотрим на примеры в презентации. В примере 4 даются два уравнения, нужно выяснить, какое из уравнений является следствием другого. Найдем корни уравнений. Т.к. корень первого уравнения одновременно является корнем второго, значит второе уравнение – это следствие первого.

В примере 5 также нужно определить, какое из двух уравнений является следствием. Уравнения имеют разные решения. Условия, при которых одно уравнение будет следствием другого, не выполняются. Значит, первое уравнение не будет следствием второго, и наоборот.

Решать уравнения удобно в несколько этапов:

– записать равносильное уравнение, найти его решения;

– проанализировать найденные решения;

Перейдем к изучению теорем. В теоремах 1-6 о равносильности уравнений утверждается, каким образом можно получить уравнение, равносильное заданному.

Для нахождения равносильного уравнения, можно применить следующие способы:

1) перенести один из членов уравнения из одной части в другую;

2) возвести части уравнения в одинаковую нечетную степень;

3) записать равенство степеней: уравнение f (x) = g (x) равносильно a f ( x ) = a g ( x ) ;

4) умножить части уравнения на одинаковое значение h (x);

5) возвести части уравнения в одинаковую четную степень;

6) f (x) и g (x) больше нуля, то уравнение f (x) = g (x) равносильно уравнению log_af(x) = log_ag (x).

Теоремы более развернуто показаны на слайдах презентации, в некоторых теоремах необходимо обращать внимание на область определения уравнения, значение выражения, на которое умножаются части уравнения, и другие условия.

Пример 6. Выяснить, являются ли равносильными два уравнения. Для первого уравнения запишем, что подкоренное выражение больше или равно нулю, а делитель (x +3) не равен нулю. Тогда x будет больше или равен 0,5. Умножив обе части первого уравнения на (x +3), получим уравнение, равносильное второму.

В примере 7 показано решение уравнения, когда применяется способ возведения его частей в четную степень.

В примере 8 рассмотрено решение уравнения с применением утверждения по теореме 6.

Презентация по математике на тему: «Равносильность уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Государственное бюджетное учреждение среднего профессионального образования «Дзержинский технический колледж» Равносильность уравнений. Линейные уравнения. Автор: Белянина М. И. преподаватель математики

Основные определения Уравнением называется два алгебраичес-ких выражения, соединенные знаком равенства (=). Корнем уравнения называется такое значение переменной, при котором это равенство достигается. Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что корней нет.

Линейное уравнение с одним неизвестным (общий вид) ах + b = 0 а, b – любые действительные числа Линейные уравнения — не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся? 2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7 0,1х — 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3 12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2 И так далее.

ах + b = 0 Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: «где а и b – любые действительные числа». А если заметить, да неосторожно задуматься? Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение: 0=0 Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное: 5=0 А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать.

Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом.

При решении уравнений используют теоремы о равносильности, которые мы рассмотрим на примере линейных уравнений. Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Другими словами, два уравнения равносильны, если корни одного уравнения являются корнями второго и наоборот.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то полученное уравнение будет равносильно исходному. ах + b = 0 Прибавим о обеим частям уравнения число (-b) ах + b + (-b) = 0 + (-b) В левой части уравнения b + (-b) сократятся. ах = -b Получили следствие, которым вы всегда пользовались: Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному Теорема 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то полученное уравнение будет равносильно исходному. ах = -b Умножим обе части уравнения на 1/a (а≠0) ах ∙⅟а = -b ∙⅟а В левой части а∙⅟а=1, поэтому получим х = -b /а

Для решения линейных уравнений надо: Слагаемые, зависящие от х, перенести в одну часть уравнения, числа – в другую часть. Привести подобные члены в каждой части уравнения. Найти неизвестную (переменную) х.

Для начала рассмотрим самый простой пример. х — 3 = 2 — 4х Это линейное уравнение. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) — в правой. Для этого нужно перенести -4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а -3 в правую. Это и есть применение теоремы 1 (вернее, следствия из неё). Получим: х + 4х = 2 + 3 Приводим подобные, считаем: 5х = 5 Что нам не хватает для полного счастья? Пятёрка перед х в левой части мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второй теоремы о равносильности. А именно — делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ: х = 1

Решим что-нибудь посолиднее. Что вам больше всего не нравится в этом уравнении? 95 человек из 100 ответят: дроби! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся, если, конечно, в вашем арсенале имеется теорема 2 о равносильности уравнений. Умножим обе части на 12, т.е. на общий знаменатель. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком. Вот как выглядит первый шаг: Раскрываем скобки: Не пример, а сплошное удовольствие! Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо ( но мы-то помним, что это следствие из теоремы 1!) Приводим подобные: 25х = 4 И делим обе части на 25, т.е. снова применяем теорему 2 Вот и всё. Ответ: х=0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали две (всего две!) теоремы о равносильности – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью теорем о равносильности до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения. Но. Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать. ) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений. Сюрприз первый. Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение: 2х+3=5х+5 — 3х — 2 Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса — вправо. 2х-5х+3х=5-2-3 Считаем, и. опа!! Получаем: 0=0 Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да. ) Тупик? Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икс, которые при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство. Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких икс это получается. Какие значения икс можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно сокращаются в полный ноль? Ну же? Да. Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите — можете проверить. Подставляйте любые значения икс в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее. Вот вам и ответ: х — любое число.

Сюрприз второй. Возьмём то же линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать: 2х + 1 = 5х + 5 — 3х — 2 После тех же самых преобразований мы получим нечто интригующее: 0 = 2 Вот так: решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред — вполне веское основание для правильного решения уравнения.) Какие значения икс при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё сократится, останется бред. Вот вам и ответ: решений нет.

Ответы даны в беспорядке: 2,5; нет решений; 51; 17. Получилось?! Поздравляю! Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

Краткое описание документа:

В данной презентации рассматриваются принципиальные вопросы, связанные с решением уравнений: что такое равносильные уравнения; какие преобразования уравнений являются равносильными, как эти преобразования использовались ранее. Эти вопросы обсуждаются в курсе алгебры, начиная с 8-го класса. Завершая изучение школьного курса, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.

В презентации описывается применение теорем о равносильности на примере решения линейных уравнений, рассматриваются все возможные случаи, в том числе наличия бесконечного множества корней и их отсутствия.