Презентация на тему системы уравнений и неравенств

Презентация «Решение систем уравнений и неравенств» (9 класс)
презентация к уроку (алгебра, 9 класс) по теме

В данной работе рассматриваются способы решения систем уравнений и систем неравенств. Есть теоретическая и практическая части. Работу можно использовать при прохождении данной темы в 9 классе, а также при повторении и подготовке к ГИА.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение систем неравенств (9 класс) Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

Запомним Решить систему неравенств – это значит найти значение переменной , при котором верно каждое из неравенств системы.

Запомним Если надо решить систему неравенств, то : решаем каждое неравенство системы отдельно изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений. Эта общая часть и является решением данной системы неравенств.

Содержание Решение систем линейных неравенств Решение двойных неравенств Решение систем, содержащих квадратные неравенства

Решим систему неравенств (состоящую из линейных неравенств) 5х + 1 > 6 2х – 4 6 2х – 4 6 -1 2х 5 2х 1 х — 3 х ≥ -3,5 Изобразим на числовой прямой: -3,5 -3 4 Ответ: ( -3; 4 ]

Работа в парах: Решить систему неравенств: 1) 3х – 2 ≥ х + 1 4 – 2х ≤ х – 2 2) 3х > 12 + 11х 5х – 1 ≥ 0 Проверим ответы: 1) [ 2; +∞ ) 2) Нет решения

Примеры двойных неравенств Прочитайте неравенства : -6 0 4х + 2 ≤ 6 Решим каждое неравенство системы отдельно: 1) 4х + 2 > 0 2) 4х + 2 ≤ 6 х > — 0,5 х ≤ 1 Полученные результаты изобразим на числовой прямой: -0,5 1 х Ответ: -0,5 9/4=2,25 Полученные результаты изобразим на числовой прямой: 1 2,25 4 х Ответ: [ 4; + ∞ ) + — —

Решить систему неравенств: х ² — 3х + 2 0 Решение: решим каждое неравенство отдельно х ² — 3х + 2 0 Найдем корни соответствующих квадратных уравнений х ² — 3х + 2 = 0 2х ² — 3х – 5 = 0 По свойствам коэффициентов имеем: х 1 = 1 х 2 = 2 х 1 = -1 х 2 = 5/2= 2,5 Изобразим метод интервала на числовой оси: -1 1 2 2,5 х Ответ: (- ∞; -1) υ (2,5; +∞) Решим систему неравенств (в которую входит квадратное неравенство) + + + — — —

Решим системы неравенств, работая вместе 1) 6х ² — 5х + 1 > 0 4х – 1 ≥ 0 2) 4х ² — 1 ≤ 0 х ² > 1 3х ² — 2х – 1 0

Решите системы неравенств, работая самостоятельно 1) х ² — 10х + 9 ≥ 0 12 – 3х 0 4х – 1 ≥ 3 3) 2х ² — 7х + 5 Мне нравится

1 Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. к.ф.-м.н. Евич Людмила Николаевна. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемВиталий Шафонский

Похожие презентации

Презентация на тему: » 1 Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. к.ф.-м.н. Евич Людмила Николаевна.» — Транскрипт:

1 1 Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. к.ф.-м.н. Евич Людмила Николаевна

2 2 Задача 1. Решите систему уравнений.

3 3 Задача 1. Исходная система равносильна совокупности систем уравнений При при Подставим эти значения в систему

6 6 Задача 2. Исходная система равносильна совокупности систем уравнений

7 7 Учитывая, что получаем Ответ:

8 8 Задача 3. Найти все значения x, при каждом из которых выполняются оба неравенства и и все найденные значения x удовлетворяют неравенству.

9 9 Решим систему неравенств

11 11 Так как первое неравенство системы строгое, то первое Приходим к системе неравенств:

12 12 Исследуем неравенства системы на ОДЗ:неравенства 1-е неравенство: 1) 2) 3)

13 13 Исследуем неравенства системы на ОДЗ: 2-е неравенство: 1) 2)

15 15 Решаем систему неравенств:

16 16 Учитывая, что по условию, все найденные значения x должны удовлетворять неравенству: получаем:

17 17 Задача 4. Найти все значения x, при каждом из которых выполняются оба неравенства и и все найденные значения x удовлетворяют неравенству.

18 18 Рассмотрим систему неравенств

20 20 Учитывая, что по условию, все найденные значения x должны удовлетворять неравенству: получаем:

21 21 Исследуем неравенства системы для неравенства 1-е неравенство: 1) 2) 3)

22 22 Исследуем неравенства системы для неравенства 2-е неравенство: 1) 2)

24 24 Решаем систему неравенств:

25 25 Задача 5. Найти наибольшее значение выражения при условии, что и. и

26 26 Обозначим. Тогда, задача сводится к нахождению наибольшего значения z, при котором существует решение системы:

27 27 Из первого уравнения системы:. Подставляем это значение y во второе и третье уравнения:

28 28 Решаем систему. и Построим графики функций

29 29 Рассмотрим графики функций Графики пересекаются в точках с абсциссами: и

30 30 Рассмотрим графики функций Абсцисса вершины параболы лежит правее промежутка Следовательно, наибольшее значение достигается в точке

31 31 Задача 6. Найти наибольшее значение выражения при условии, что. и

32 32 Обозначим. Тогда, задача сводится к нахождению наибольшего значения z, при котором существует решение системы:

33 33 Из первого уравнения системы:. Подставляем это значение y во второе и третье уравнения:

34 34 Решаем систему. и Построим графики функций

35 35 Рассмотрим графики функций Графики пересекаются в точках с абсциссами: и

36 36 Рассмотрим графики функций Абсцисса вершины параболы лежит левее промежутка Следовательно, наибольшее значение достигается в точке

Презентация по математике на тему «Решение систем уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнила: ученица 9 класса Никитина Светлана Руководитель: учитель математики Марин Валентин Владимирович Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области основная общеобразовательная школа с.Краснояриха муниципального района Челно-Вершинский Самарской области Краснояриха 2017 г. «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.» Н.Е. Жуковский

Актуальность: применение знаний по теме «Системы уравнений и неравенств» при решении заданий повышенного уровня модуля «Алгебра» (№21 из 2-ой части) основного государственного экзамена по математике. Цель: обобщение и систематизация имеющихся сведений о системах уравнений и неравенств и методах их решения.

Способы решения систем уравнений знали люди давно. Точной даты не известно, но они имеются в книге Ньютона «Всеобщая арифметика», которая была издана в 1707 году. Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII-XVIII вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и др. Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным геометрическое решение уравнений системы. Так называемый графический метод решения состоит в построении абсциссы х и ординаты у точки пересечения двух соответствующих прямых.

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы. 3х-2у=4, х+ху+у=-3, х2+2у=5, х+3у=5 х2+у2=5 -х+у=1 Системы двух линейных уравнений ах+bу=с с двумя неизвестными имеют вид: dx+ey=f где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений (х;у) этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы. Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет. х2+2у=5, -х+у=1 решения (-3;-2), (1;2) 2x-3y=-4, X+3y=7 решение (1;2)

Способы решения систем уравнений Графический способ Аналитический способ Метод подстановки Метод алгебраического сложения Метод замены пере менной

В каждом уравнении выразить у через х. Построить график первого уравнения. Построить график второго уравнения. Найти точки пересечения графиков. Координаты каждой точки пересечения в виде (х;у) являются решениями системы уравнений.

В одном из уравнений выразить у через х. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы. Решить полученное уравнение относительно х. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение, полученное на первом шаге. Записать ответ в виде пар значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Решить систему уравнений: х+3у=5, ху=2 Выразим х через у из первого уравнения системы: х=5-3у. Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5-3у)у=2. Решим полученное уравнение: 5у-3у2=2; 3у2-5у+2=0; у1=1, у2=2/3. Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х=5-3у. Если у=1, то х=5-3·1=2; если у=2/3, то х=5-3·2/3=5-2=3. Пары (2;1) и (3;2/3) – решения заданной системы уравнений.

Привести два уравнения системы к одинаковым по модулю коэффициентам при переменной х или при переменной у. Если коэффициенты одинаковые, то из одного уравнения вычесть другое. Если же коэффициенты противоположные по значению, то уравнения системы складываются. Решить полученное уравнение относительно одной переменной и найти значение одной из переменных системы. Выразить из одного из уравнений системы неизвестную переменную. Подставить известное значение и найти значение второй переменной. Записать ответ в виде пар значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Решить систему уравнений: 7х+2у=1, 17х+6у=-9 Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: 21х+6у=3, 17х+6у=-9 Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения: (21х+6у)-(17х+6у)=3-(-9) 21х+6у-17х-6у=3+9 4х=12;х=12:4; х=3 Подставим найденное х в первое уравнение первоначальной системы: 7·3+2у=1; 2у=1-21; у=-10. Запишем ответ в виде (х;у): (3;-10).

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Поэтому алгоритм будет следующим: В уравнении(ях) какая-то его часть заменяется другой переменной (a,b,t. ) Решается(ются) новое(ые) уравнение(я) и получают корни; Возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляется требуемое неизвестное.

Решить систему уравнений: х/y+y/x=2,5 х2-у2=3 Введем новую переменную а=х/у. Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в виде: а+1/а=2,5. Решим это уравнение относительно переменной а: а+1/а-5/2=0; (2а2+2-5а)/2а=0; 2а2+2-5а=0; а1=2; а2=1/2. Оба этих условия удовлетворяют условию 2а≠0, а потому являются корнями рассматриваемого уравнения с переменной а. Но а=х/у, значит, либо х/у=2, откуда находим, что х=2у, либо у/х=1/2, откуда находим что у=2х. Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2-у2=3, о котором мы пока не вспоминали.

Иными словами задача сводится к решению двух систем уравнений: х=2у, у=2х, х2-у2=3 х2-у2=3 Надо найти решения первой системы, решения второй системы и все полученные пары включить в ответ. Решим первую систему уравнений. Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. (2у)2-у2=3; 4у2-у2=3; 3у2=3; у2=1; у1=1; у2=-1.Тогда х1=2·1=2; х2=2·(-1)=-2. Решим вторую систему уравнений. Воспользуемся методом подстановки, так как у=2х: х2-(2х)2=3; х2-4х2=3; -3х2=3; х2=-1.Это уравнение не имеет корней, значит и вторая система не имеет решений. Таким образом в ответ включим только решения первой системы: (2;1), (-2;-1).

Ответ: (1;0) Обозначим и получим Решим Получим

Система неравенств состоит из нескольких неравенств с одной переменной. Эти неравенства объединяются фигурной скобкой (так же, как и уравнения в системах уравнений). Задача состоит в том, чтобы найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы становится верным числовым неравенством, называют решением системы неравенств. Если надо решить систему неравенств, то: Решаем каждое неравенство системы отдельно; Изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений; Эта общая часть и является решением данной системы неравенств.

Решим систему неравенств: х2-9≥0, 5х-х2≥0 Решим неравенство х2-9≥0, т.е. (х-3)(х+3) ≥0. Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой. Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)=(х-3)(х+3) сохраняет постоянный знак. Нас интересуют промежутки где р(х) ≥ 0. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация решения первого неравенства.

Решим неравенство 5х-х2 ≥0, т.е. х(5-х)≥0 Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой. Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)= х(5-х) сохраняет постоянный знак. Нас интересуют промежутки где р(х) ≥ 0. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация решения первого неравенства. Отметим найденные решения первого и второго неравенства системы на одной координатной прямой, использовав для решений первого неравенства верхнюю штриховку, а решений второго – нижнюю штриховку. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы. Это отрезок 3;5