Презентация об уравнениях с параметрами

Презентация «Решение уравнений с параметром»

Решение уравнений с параметром, примеры и способы решения.

Просмотр содержимого документа
«Презентация «Решение уравнений с параметром»»

Учитель математики МБОУ СОШ №33

Учитель математики ОГАОУ «БИЮЛИ»

• Линейные уравнения с параметром
• Квадратные уравнения с параметром
• Экзаменационные задания из материала ГИА.
• Экзаменационные задания из материала ЕГЭ.

Линейным уравнением с параметром относительно х называют уравнение вида

где a и b – некоторые выражения, зависящие только от параметра, а х – неизвестное.

Линейное уравнение с параметром приводят к виду ax = b .

При а ≠ 0 оно имеет единственное решение x = ,

при а=0 и b =0 его решением является любое число;

если же а=0, а b =0 ,то уравнение решений не имеет.

Для всех значений параметра а решить уравнение 2а(а — 2) х=а — 2.

Решение:. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, необходимо решить уравнение при следующих значениях параметра:

Рассмотрим эти случаи.

• При а= 0 уравнение принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2 уравнение принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения получаем, х=

0 т в е т: 1) если а= 0 , то корней нет; 2) если а= 2 , то х — любое действительное число;

Приведем уравнение к виду ax = b .

При a ≠ -3 мы получим

При а=-3 уравнение х(а+3)=6а+4 примет вид : 0*х=-14.

Очевидно, что оно решений не имеет.

Ответ : при а=-3 корней нет;

Пример 3 Для всех значений параметра а решить уравнение.

Запишем уравнение в стандартном виде

. Если , т.е. , то имеем 0 * Х = 0, решением является множество

Пример4 . Решите уравнение . Решение: По смыслу задачи (5 a + x )( x -5 a ) ≠ 0 , то есть х ≠ ± 5а . Умножив обе части уравнения на произведение (5 a + x )( x -5 a ), получим уравнение Или . При а=0 уравнение примет вид 0*х=0, решением которого будет любое число, кроме нуля (так как х ≠ ± 5а ). При а ≠ 0 имеем х=5а. Этот корень попадает под ограничение х ≠ ± 5а. Ответ: при а=0 уравнение имеет бесконечно много решений – все действительные числа, кроме нуля; При любом а(-∞;0)U(0;+∞) решений нет. В меню Далее

Квадратные уравнения с параметром.

Известно, что уравнение

называется квадратным только в случае а≠0.

Однако решение таких уравнений очень часто начинают с нахождения дискриминанта. Это неверно! В качестве коэффициента при может быть выражение с параметром. А оно вполне может быть равным нулю, и данное уравнение квадратным не будет, получится линейное уравнение.

Поэтому, решая квадратное уравнение с параметром, необходимо первым делом смотреть на коэффициент при . Если этот коэффициент – выражение с параметром, то нужно отдельно выделить случай, когда оно равно нулю, и решить получившееся линейное уравнение.

Пример1 . Решить уравнение:

«Особо» нужно выделить значение а=0, так как при таком а уравнение линейное, а при остальных – квадратное, а также необходимо выяснить, при каких а дискриминант трёхчлена положителен, отрицателен, равен 0 .

Таким образом, при а=0 – одно решение х=0,

при а≠0 – два решения

Ответ : При a =0, x =0;

Пример 2. Решить уравнение ax=x 2 +3 Решение:

Ответ:1) при 2) при 3)при

уравнение не имеет решений

0. Тогда, очевидно, надо найти ординату вершины А( ), . Тогда можно получить полный ответ: если a ≤0, то n =1; если 0если a =1,то n =2; если a 1, то n =1. » width=»640″

Пример3 . Найдите число решений уравнения .

Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически.

Положим . Тогда имеем систему

Далее рассмотрим графики На рисунке приведены пять различных случаев. Два из них очевидны.

Если a =0, то точек пересечения двух графиков – две. Но одна из них – (0;0), что по условию задачи не подходит в качестве решения. Следовательно, при a =0 снова имеем единственное решение.

Пусть теперь a 0. Тогда, очевидно, надо найти ординату вершины А( ), . Тогда можно получить полный ответ:

если a ≤0, то n =1;

если a 1, то n =1.

1, то n =1. В меню Далее » width=»640″

.Ответ: если a ≤0, то n =1;

если a 1, то n =1.

Экзаменационные задания из материала ГИА.

Пример 1. (Базовый уровень)Определите ненулевые коэффициенты p и q квадратного уравнения так, чтобы его корни были равны p и q .

Из т. Виета следует

Пусть , где p ≠0, q ≠0 (из условия).

Пример 2.(Повышенный уровень) Часть2. Найдите все значения m , при которых парабола имеет с прямой x + my — 1=0 одну – единственную общую точку

Так как парабола и прямая имеют общую точку, следовательно, получится уравнение

Начнём решение данного уравнения с «вырожденного случая» m =0: уравнение примет вид 1*х=0, его корень х=0.

При D =0, квадратное уравнение имеет единственное решение.

Вывод: при — парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку.

Ответ : при m=0 , m=-1 , m= парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку.

0 Далее рассмотрим графики у= и y=a . На рисунке приведены три различных случая 4 решения при а 3 решения при а=7; 2 решения при а7. Ответ: 4 решения при а 3 решения при а=7; 2 решения при а7. В меню » width=»640″

Пример 3.(Повышенный уровень) Часть2. Определите количество корней уравнения при всех положительных значениях параметра а.

Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически. ,а 0

Далее рассмотрим графики у= и y=a . На рисунке приведены три различных случая

4 решения при а

3 решения при а=7;

2 решения при а7.

4 решения при а

3 решения при а=7;

2 решения при а7.

Экзаменационные задания из материала ЕГЭ. Пример 1.Укажите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно три решения

Решение :В одной системе координат a ох построим графики функций

Получили, что при а=4 уравнение имеет три решения.

Ответ: при а=4 уравнение имеет три решения.

Пример 2. . Найдите значение параметра а, при котором уравнение имеет единственное решение. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Решение: В одной системе координат аох построим графики функций

Получили, что при а=-0,5 и а=-1,5 уравнение имеет единственное решение. -0,5+(-1,5)=-2

Презентация по теме: Уравнения с параметрами
презентация к уроку по математике (11 класс) на тему

Презентация по теме: Уравнения с параметрами

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита (х, у, z ,…) , параметры – первыми буквами (а, b , c , …) .

Уравнением с параметром а называют уравнение вида f ( x , a ) = 0 , которое надо решить относительно х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число .

Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения или доказать, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение ax = 1 . Решение. 1. если a ≠ 0 : 2 . если a = 0 : 0 · x = 1 – не имеет решений ;

Пример 2 . Решить уравнение a 2 x – 1 = x + a . Решение. a 2 x – 1 = x + a ; a 2 x – x = a + 1; x ( a 2 – 1) = a + 1 ; 1 . если a 2 – 1 ≠ 0 , то есть a ≠ ±1 : 2 . если a = 1 , то есть 0 · x = 2 : уравнение не имеет решений; 3. если a = –1 , то есть 0 · x = 0 :

Решение. ОДЗ : х – 4 ≠ 0 ; х ≠ 4 ; х – 2а = 0; х = 2а ; х ≠ 4 : 2а ≠ 4 ; а ≠ 2 ; а ≠ 2 : x = 2a ; a = 2 : уравнение не имеет решений ; Ответ: если а ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a; если a = 2, то уравнение не имеет решений.

Пример 4 . Решить уравнение |x – a| = 2 . Решение. x 1 = a + 2 , x 2 = a – 2 ; Ответ: x 1 = a + 2 , x 2 = a – 2 .

Пример 5 . Решить уравнение |x| + |x – a| = 0 . Решение.

Пример 6. При всех значениях параметра а определим число корней кубического уравнения х 3 – 3х + 2 – а = 0 . Решение. а = х 3 – 3х + 2 ; – 2 – 1 1 x 2 4 а 4 : уравнение имеет один корень ; а = 0 и а = 4 : уравнение имеет два корня ; 0 4, то данное уравнение имеет один корень один корень; если а = 0 и а = 4 – два корня; если 0 Мне нравится

Презентация по алгебре на тему: «Линейные уравнения с параметром»(7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Линейные уравнения с параметром. Г.Новосибирск Учитель высшей квалификационной категории Баринова Людмила Леонидовна

Содержание Цель Знакомство параметром Решение простейших линейных уравнений с параметром Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Список литературы

Цель Цель моей работы заключается в том, чтобы познакомится с понятием параметра и научиться решать простейшие уравнения с параметром.

Знакомство с параметром Параметр – независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным число или произвольным действительным числом Решить уравнение с параметром – значит, для любых допустимых значений параметра найти значения неизвестной переменной.

При каких значениях a и в уравнение ax = в имеет решения не имеет корней 0х=в (Ответ: при a = 0, в ≠0) имеет бесконечно много корней 0х=0 (Ответ: при а=0,в=0) имеет единственный корень (Ответ: при а ≠0)

При каких значениях a уравнение ax = 2a – 1 не имеет корней (Ответ: при a = 0) имеет бесконечно много корней (Ответ: таких значений a нет) имеет единственный корень (Ответ: при а ≠0) Х=2а-1/а

Решение простейших линейных уравнений с параметром. Рассмотрим линейное уравнение х+а=ах+1 ☺ где а – параметр. х-ах=1-а х(1-а) =1-а Ответ. Если а=1, то х e R Если а≠1, то х=1

уравнение №1 mx + 3 = 4m – 2x. Приведем его к виду ах=в и проанализируем mx + 3 = 4m – 2x; mx + 2x = 4m – 3; (m + 2)x = 4m – 3 Найдем контрольные значения m, при которых уравнение не имеет решений (m = -2).

Запишем решение уравнения далее так: при m = — 2 уравнение примет вид 0x = — 11, решений нет; при m — 2 уравнение имеет единственное решение x = .

Для удобства записи ответа сделаем рисунок решений, т.е. изобразим линию параметра х = х = -2 m Ответ: при m = -2 решений нет; при m ≠ -2 единственное решение x = .

Уравнение № 2 n2x + 3nx = 5n + 15. Решение: n2x + 3nx = 5n + 15; n (n + 3) x = 5 (n + 3); n = – 3; 0 – контрольные значения параметра

1) при n = — 3 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число; 2) при n = 0 уравнение примет вид 0x = 15, решений нет; 3) при n ≠ — 3; 0 уравнение имеет единственное решение x = = . х = х = х = x – любое число -3 0

Ответ: при n = — 3 x – любое число; при n = 0 решений нет; при n ≠ — 3; 0 – единственное решение x = .

уравнение №3 a2x – 2a = a2 + ax; a2x – ax = a2 + 2a; a(a – 1)x = a (a + 2); a(a – 1) = 0, a = 0; 1 – контрольные значения параметра

1) при a = 0 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число; 2) при a = 1 уравнение примет вид 0x = 3, решений нет; 3) при a ≠ 0; 1 уравнение имеет единственное решение x = = .

x = а Ответ: при a = 0 x – любое число; при a = 1 решений нет; при a ≠ 0; 1 единственное решение x = . x = x = x – любое число 0 1

уравнение №4 = ; 2 mx – 4 = 3 – mx; 2 mx + mx = 3 + 4; 3 mx = 7; m = 0 – контрольное значение параметра.

1) при m = 0 уравнение примет вид 0x = 7, решений нет; 2) при m 0 уравнение имеет единственное решение x = . х = х = 0 к

Ответ: при m = 0 решений нет; при m ≠ 0 единственное решение x = .

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром аналитическим способом 1.Привести уравнение к виду ах=в. 2.Найти контрольные значения параметра а. 3.Подставить контрольные значения в уравнение ах=в и выяснить сколько решений имеет уравнение. 4.Записать при каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение. 5. Записать правильно ответ.

Для тех, кто хочет знать больше. 1. При каких a уравнение 6(ax-1)-a=2(a+x)-7 имеет бесконечно много решений? 2. При каких a уравнение 2(a-2x)=ax+3 не имеет решений? 3. При каком a прямые 2x+2y=4 и ax-5y=13 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс? 4. При каком a прямые 7x-9y=14 и 6x-ay=10 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат? 5. При каком a уравнение 3(x-2a)=4(1-x) имеет отрицательное решение?

Спасибо за внимание!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 682 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 10.12.2015
• 5873
• 6

• 10.12.2015
• 1607
• 5

• 10.12.2015
• 1028
• 1

• 10.12.2015
• 721
• 0

• 10.12.2015
• 4355
• 32

• 10.12.2015
• 587
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.12.2015 4041
• PPTX 115.1 кбайт
• 149 скачиваний
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Баринова Людмила Леонидовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 41269
• Всего материалов: 8

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.