Презентация по системам линейных уравнений

«Решение систем линейных уравнений»
презентация к уроку по алгебре (7 класс) на тему

3 презентации к урокам

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение систем линейных уравнений Алгебра (7 класс) Учитель математики Васютина Е.Г. Гимназия Альма Матер

Графический способ решения систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений Рассмотрим каждое уравнение в отдельности. Геометрической иллюстрацией уравнения с двумя неизвестными служит его график на координатной плоскости.

Дана система линейных уравнений Рассмотрим первое уравнение Выразим из этого уравнения y через x .

Поэтому графиком данного уравнения является прямая. Данное уравнение можно рассматривать как формулу, задающую линейную функцию. Для построения графика найдем две точки. 1) 2 )

Вернемся к системе линейных уравнений Рассмотрим второе уравнение Выразим из этого уравнения y через x .

Поэтому графиком данного уравнения является прямая. Данное уравнение также как и первое можно рассматривать как формулу, задающую линейную функцию. Для построения графика найдем две точки. 1) 2 )

Построим график второй функции

Найдем координаты точки пересечения прямых

Координаты точки пересечения прямых ― это решение системы В этом случае говорят, что система решена графически

Для графического решения системы нужно: Построить графики каждого из уравнений системы. Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)

Однако при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное решение

Но На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых ― графиков уравнений системы

Три случая взаимного расположения двух прямых 1. Прямые пересекаются. То есть имеют одну общую точку. Тогда система уравнений имеет единственное решение. Например, как в рассмотренной системе

Три случая взаимного расположения двух прямых 2. Прямые параллельны. То есть не имеют общих точек. Тогда система уравнений решений не имеет. Например:

Три случая взаимного расположения двух прямых 3. Прямые совпадают. Тогда система уравнений имеет бесконечно много решений. Например:

Решите графически следующие системы уравнений

Подберите, если возможно такое значение m , при котором система имеет а) единственное решение б) не имеет решений в) имеет бесконечное множество решений

Подберите, если возможно такое значение m , при котором система имеет а) единственное решение б) не имеет решений в) имеет бесконечное множество решений

Подберите, если возможно такое значение m , при котором система имеет а) единственное решение б) не имеет решений в) имеет бесконечное множество решений

Графический способ решения систем линейных уравнений Домашнее задание: № 642 (1,3); № 644-646(1)

Урок закончен. Спасибо. До встречи на следующем уроке!

Урок. Презентация по математике на тему » Решение систем линейных уравнений» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок обобщения и систематизации

Эпиграф: «Мне приходится распределять свое время между политикой и уравнениями. Но уравнения, полагаю, намного важнее».

Актуализация 1. Задание 1. Какое из уравнений является линейным уравнением с двумя переменными? П) 6ху=11 Э) 3х-2у=7 Р) 5х2+у2=8 2. Какая пара чисел является решением уравнения 4х-у=1? Й) (2;7) А) (5;0) Е) (-3;4) 3. В уравнении 3х+у=18 выразите у через х: К) у=18+3х Л) х=18-у Н) у=18-3х 4. График какого из уравнений параллельный оси Ох? Ш) у=10 щ) х=-2 Р) х+у=0 5. Точка с абсциссой 3 принадлежит графику уравнения 2х+у=4. Определите ординату этой точки. К) 6 Т) -2 Н) 4 6. Точка с ординатой 2 принадлежит графику уравнения 2х+у=4. Определите абсциссу этой точки. Е) 1 О) 0 И) 4 7. Какие из точек лежат на оси Оу? А) (3;0) Й) (0;-2) О) (1;1) 8. На каком из рисунков изображен график функции х+у=4? Н) Р) К)

— физик-теоретик, один из основателей современной теорети- ческой физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года. эйнштейн

Нас в повседневной жизни окружают системы. Линейные системы уравнений

1.Какую математическую модель называют системой уравнений с двумя переменными? 2. Что называют решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными? 3. Что значит решить систему уравнений? 4. Какие методы решения систем уравнений знаете? Система уравнений – это два и более уравнений. С помощью одного уравнения системы решается другое, а в итоге решаются оба уравнения системы. Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать ,что решений нет Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство

Историческая справка Все эти методы решения систем уравнений знали люди давно.Они имеются в книге Ньютона “Всеобщая арифметика”, которая была издана в 1707 году.

A(0;3) B(3;0) C(0;-3) D(3;3) M(2;1) X=2 Y=1 Ответ: (2;1) Графический метод. . 1.Выразить переменную у из каждого уравнения системы 2. Построить графики полученных функций 3. Найти точки пересечения графиков

2. Решить систему графическим методом 2x + y = 5, 4x + 2y = 6 2x + y = 5, 2x + y = 3 у=5-2х у= 3-2х

Метод подстановки у — 2х=4, 7х — у =1; у=2х+4, 7х – (2х+4)=1; 7х — 2х — 4 = 1; 5х = 5; х=1; Ответ: (1; 6) Решим уравнение Подставим Выразим у через х Подставим Подставим

3. Решить систему методом подстановки 2x + y = 2, 6x – 2y = 4 3х-2+2х=2 5х=4 х = 0,8 у = 0,4 2x + y = 2, 3x – y = 2 у =2-2х 3х-у =2

|·( -3) + — 4х = — 12, х=3; Ответ: (3; — 10) 1. Если требуется уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях. 2. Складываем или вычитаем полученные уравнения 3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных. 4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную. Метод сложения

4.Решить систему уравнений методом сложения (вычитания) x -2 y = 10, 4x – 8y = 40 x — 2y = 10 (4) 4х-8у=40, 4 х — 8у =40 4х — 8у=40

Решить систему линейных уравнений: 1. 2. 3. y-x= 1 -2х+у=1 y+x=2 x+y=5 2х-у=3 3x+3y=6 1-я группа – метод подстановки, сложения 2-я группа – метод сложения, графический метод 3-я группа – графический метод, метод подстановки. (2;3) Нет решения Множество решений

1.Зависит решение системы от метода решения? Решение системы не зависит от метода решения. 2. Сколько решений может иметь система линейных уравнений Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.

Сколько решений имеет система уравнений ? у-2х=5 у+3х=7 у-5х=4 y-5x=6 у+3х=6 2у+6х=12 Если к1 к2Графики пересекаютсяСистема имеет единственное решение Если к1=к2 b 1 b2 Графики параллельныСистема не имеет решений Если к1=к2 b1=b2 Графики совпадаютСистема имеет бесконечно много решений

Заполни таблицу: Наглядность Неточность Точный Трудоёмкие выкладки Выбор множителя Точный Методы решенияПреимущества Недостатки Графический Подстановки Сложения (вычитания)

Верно ли? 1. Решение системы линейных уравнений зависит от метода решения. 2. Система линейных уравнений может иметь бесконечно много решений. 3. Системы линейных уравнений могут иметь два решения. 4. Пара чисел (6; 1) является решением системы уравнений х – у = 5 х + у =7 5.Система линейных уравнений имеет одно решение. 5х-у=4 5х –у=10 нет нет нет да да

Справка Уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями. Придумал Диофант и два основных приема решения уравнений: – перенос неизвестных; – приведение подобных.

Итоги. Какие выводы мы можем сделать по методам решения систем уравнений? — Решение системы не зависит от метода решения. — Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.

Рефлексия Методы решения систем уравненийКакой метод будете применять при решении систем уравнений Какой метод не будете применять при решении систем уравненийНа какой метод обратить внимание Графический Метод сложения Метод подстановки

«Зачем мне тратить столько времени на какие-то уравнения, если мне это в будущем не понадобится?» В быту это вряд ли пригодится. Решение задачи о месте и времени встречи промыслового рыболовецкого судна с перегрузчиком сводится по сути к решению систем линейных уравнений, использующих данные о координатах судов, их скоростях и метеоусловия.

Домашнее задание 14.8, 13.18, 13.13 п.11-13

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ РЕСУРСЫ: ШАБЛОН – СЕТЬ ТВОРЧЕСКИХ УЧИТЕЛЕЙ «СОЗДАНИЕ ИНТЕРАКТИВНЫХ ТЕСТОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ» Савченко Е. М. КАРТИНКИ – КОЛЛЕКЦИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ И СЕТЬ ТВОРЧЕСКИХ УЧИТЕЛЕЙ

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 013 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 22.04.2017
• 1235
• 2

• 22.04.2017
• 772
• 0

• 22.04.2017
• 753
• 0

• 22.04.2017
• 1924
• 2

• 22.04.2017
• 1194
• 0

• 22.04.2017
• 665
• 2

• 22.04.2017
• 366
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.04.2017 2690
• PPTX 3.5 мбайт
• 102 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ильина Мария Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 31421
• Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация на тему: Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений Лекция 3

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

Совокупность значений неизвестных где i =1, 2, …, n, при подстановке которых уравнения системы обращаются в равенства, назовем решением системы.

Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера,

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных Назовем его определителем системы. Если Δ≠0, то система совместна

Далее составим три вспомогательных определителя: , ,

Решение системы (10) находим по формулам: , , которые называют формулами Крамера

Замечание. Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.

Пример Решить систему уравнений

Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Составим из коэффициентов при неизвестных матрицу и назовем ее матрицей системы.

Матрицу называют матрицей-столбцом из свободных членов, а матрицу — матрицей-столбцом из неизвестных.

Запишем систему уравнений в виде матричного уравнения . Умножая обе части этого уравнения слева на , получим: .

Таким образом, если матрица А системы невырожденная, т.е. существует , то решение системы линейных уравнений можно найти по формуле .

Замечание Метод матричного исчисления обычно применяют для решения систем трех уравнений с тремя неизвестными. Решать этим методом системы с большим числом уравнений и неизвестных неудобно, так как он приводит к громоздким выкладкам.

Пример Средствами матричного исчисления решить систему линейных уравнений

Ранг матрицы Рангом матрицы называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы. Ранг матрицы A обозначается: или .

Элементарные преобразования матрицы Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся:

1.Умножение всех элементов строк на одно и то же число не равное 0. 2. Перестановка строк местами. 3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число.

4.Отбрасывание одной из двух одинаковых строк. 5.Отбрасывание нулевой строки

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований, называют эквивалентными (

Пример С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

Понятие о линейной зависимости Рассмотрим матрицу Обозначим ее строки Очевидно . Это равенство понимается в смысле поэлементного сложения.

Строки матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие не равные нулю одновременно числа , что . Если таких чисел подобрать нельзя, то строки матрицы линейно независимы.

Если одна из строк матрицы линейно выражается через другие строки, то строки этой матрицы между собой линейно зависимы.

Пример Строки такой матрицы линейно независимы (лнз), так как их невозможно выразить одну через другую:

Теорема о ранге матрицы Ранг матрицы равен максимальному числу линейно – независимых строк матрицы.

Теорема. Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r линейно независимых строк ( столбцов), через которые линейно выражаются остальные строки ( столбцы) матрицы.

Теорема. Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки ( столбцы) были линейно зависимы.