Презентация по теме алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения и уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Стендовый урок. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемАлександра Близнякова

Похожие презентации

Презентация по предмету «Математика» на тему: «Алгебраические уравнения и уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Стендовый урок.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

2 Алгебраические уравнения и уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Стендовый урок

3 Алгебраические уравнения и уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Цели урока. Оборудование и материалы к уроку. Фундаментальные образовательные объекты. Проблема урока. Этапы урока и виды деятельности учеников. Задание ученикам по рефлексии их деятельности. Критерии оценки, созданного учеником образовательного продукта. Домашнее задание.

4 Тема: Алгебраические уравнения и уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Тип: урок креативного типа – эвристическая ситуация. Эвристическая образовательная ситуация – ситуация активизирующего незнания, целью которого является рождение учениками личного образовательного продукта. Получаемые учениками результаты оказываются индивидуальны, многообразны и различны по степеням творческого самовыражения.

5 Цели урока: Учебная: продолжить работу по формированию знаний о способах решения алгебраических уравнений; формировать знания о родном крае через выполнение занимательных упражнений. Воспитывающая: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении и составлении алгебраических уравнений Развивающая: развивать познавательный интерес, интерес к творчеству и созиданию через создание собственного образовательного продукта и осознание его практической необходимости; развивать умения применять знания в незнакомых ситуациях.

6 Оборудование и материалы к уроку: Эпиграф, уравнения (на доске) для повторения приёмов решения алгебраических уравнений, заготовка (обложка сборника), бумага, фломастеры, скобы для крепления.

7 Фундаментальные образовательные объекты: Различные виды алгебраических уравнений.

8 Проблема урока. Каковы приёмы составления алгебраического уравнения и уравнения, сводящегося к алгебраическому, которое имеет хотя бы один корень?

9 Этапы урока и виды деятельности учеников: Эпиграф к уроку (на доске) «Предмет математики настолько серьёзен, Что полезно не упускать случаев Делать его немного занимательным». О. Паскаль, французский учёный Оргмомент (2 мин) Мы с вами понимаем, что предмет математики достаточно серьёзен, но можно позволить себе не упустить случая сделать его немного занимательным, как советовал французский учёный О. Паскаль. Поэтому мы сегодня постараемся не только решать уравнения, но и поучимся их составлять, а результатом нашей работы будет сборник алгебраических уравнений и уравнений, сводящихся к алгебраическим. А что из этого получится – посмотрим…

10 Устная работа работа (10 мин) (используя различные приёмы решить алгебраические уравнения) 2x-4=0 3(x-5)+6=0 (x-7)(x+8)=0 x²+4x-21=0 x²-10x+25=0 3x²-5x+2=0 7x²+3x-4=0 x³-8x²-x+8=0 x³+5x²+9x+5=0 x³-6x²+3x+10=0 x³-7x²+15x-9=0 В последних 4-х уравнениях устно можно найти лишь по одному корню, поэтому ученикам предлагается решить эти уравнения (5 мин).

11 Это интересно 1.Упражнения на снятие напряжения с глаз и на развитие внимания (1-2 мин):

12 2. Разгадывание ребусов (2-3 мин). В ребусах зашифрованы священные числа народов Тюменской области. Немного из истории возникновения священных чисел у народов Тюменской области их значение (ученикам можно предложить назвать пословицы (или загадки) в которых есть священные числа).

13 Анализ результатов решенных уравнений уравнений (2-3 мин): Сравните результаты решенных уравнений. В чём их отличие? Назовите, что есть общего в уравнениях? Ученики замечают, что для коэффициентов в уравнении существует определённая закономерность. ax³+bx²+cx+d=0 a+b+c+d=0 a+c=b+d Ученикам предлагается составить уравнения, в которых есть хотя бы один корень. (2 мин) Составленные уравнения демонстрируются. (1-2 мин)

14 Маскировка уравнений (5-7 мин) Очень часто при решении уравнений приходится выполнять алгебраические преобразования, для того чтобы определить вид уравнения и приёмы его решения. Ребятам предлагается замаскировать составленные уравнения так, чтобы для их решения необходимо было выполнить алгебраические преобразования. Составленные уравнения записываются на приготовленные полосы бумаги. Производится демонстрация образовательного продукта.

15 Задание ученикам по рефлексии их деятельности Решить, составленные уравнения, с полным оформлением (самостоятельная работа 5-7 мин). После этого приглашаются 6 ребят, которые собирают сборники из составленных уравнений. Производится демонстрация составленных общими усилиями сборников (1-2 мин). Закончить предложение (1-2 мин): «Сегодня на уроке…» «Мне запомнилось…» «Хотелось бы отметить…»

16 Критерии оценки, созданного учеником образовательного продукта: Сложность и оригинальность маскировки алгебраического уравнения. Правильность и полнота оформления решения алгебраического уравнения.

17 Домашнее задание: Составить, сделать для них маскировку и решить 3 алгебраических уравнения, используя правила a+b+c+d=0 или a+c=b+d. Составить и решить возвратное уравнение (индивидуально по желанию).

Презентация по математике методы решения алгебраических уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

презентация «Алгебраические уравнения» Выполнил преподаватель Ускова С. В «Красногоский колледж» по математике на тему:

План: 1. Краткая историческая справка 2. Уравнения с одной переменной а) Уравнения 1-ой степени б) Квадратные уравнения в) Кубические уравнения г) Уравнения 4-ой степени д) Уравнения выше 4-ой степени е) Биквадратные уравнения ж) Двучленные кубические уравнения з) Иррациональные уравнения 3. Линейные уравнения с 2-мя, 3-мя и т.д. переменными а) Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными б) Система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными в) Система 4-х, 5-ти и т.д. линейных уравнений с 4-мя, 5-тью и т.д. переменными 4. Показательные уравнения 5. Логарифмические уравнения

Решение уравнений 1-й и 2-й степеней известно еще с древности(со времён Диофанта). К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) древнегреческие математики пришли, по-видимому, геометрическим путём, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно, возникают при определении площадей и построении окружности по различным данным. Однако в одном, очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени (с точки зрения древних)не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэффициентов). В 16 в. итальянскими математиками найдены решения уравнений 3-й и 4-й степеней. Краткая историческая справка

Для уравнения вида x3+ px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) впервые была применена формула Кардано, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардано или же заимствована им у других математиков, нельзя считать вполне решенным. Метод решения алгебраических уравнений 4-й степени указал Л. Феррари. После этого начались настойчивые поиски формул, которые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом. Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в начале 19 в. Н. Абель и Э. Галуа доказали, что решения уравнений степени выше 4-й, вообще говоря, нельзя выразить через коэффициент уравнения при помощи алгебраических действий. К. Гауссом был предложен другой способ решения таких уравнений (который позднее был назван его именем ). Он установил (1799), что всякое алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней (решений), действительных или мнимых.

Алгебраические уравнения с 1-ой переменной Общий вид Где x – переменная величина; P (x), Q (x), F (x) и R (x) – выражения, содержащие переменную, причём Q (x) ≠ 0, R (x) ≠ 0. Для решения (*) воспользуемся главным свойством пропорции (*) (**) (**) после преобразований может стать одним из следующих: ) ( ) ( ) ( ) ( x F x Q x R x P × = ×

Решение: — квадратное уравнение. Решение: , где — дискриминант. Здесь возможны случаи: D>0, уравнение имеет два корня, выраженных действительными числами; D=0, уравнение имеет один корень; D 2, т. е. x  [2; ∞), и ,значит, может являться корне. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(16, 0, true)» >

Имеем следовательно, x1>2, т. е. x  [2; ∞), и ,значит, может являться корнем заданного уравнения. Далее найдём разность x2 — 2 :  x2 не принадлежит промежутку [2; ∞) и, значит, не является корнем данного уравнения. Вернёмся теперь к x1. Выясним знак разности, находящийся в правой части уравнения Имеем

Таким образом, является корнем уравнения А так как это уравнение равносильно данному, то и будет его решением. 6. Найти x из уравнения x2 – 3mx + 2m2 – mn – n2=0 Решение: Здесь a=1, b=-3m, c=2m2 – mn – n2.

7. Решить уравнение x3+2×2 –3 = 0. Решение: Представим 2×2=3×2 –x2, тогда получим x3+2×2 –x2 –3 = 0. Группируя 1 с 3-им членом и второй с 4-ым, получим

Показательные уравнения Показательные уравнения – это уравнения, содержащие переменную величину в показатель правой или левой частях уравнения, или справа и слева одновременно. Например: и др. Наиболее распространены показательные уравнения: 1. Здесь F(x) – выражение, содержащие x; a – основание, a > 0; a ≠ 1. Решение: Т.к , то имеем Получили одно из уравнений группы A. 2. Здесь возможны два варианта:

а) и тогда б) , т.е имеем которое решается путём логарифмирования — , отсюда находится x. 3. , где A, B и C –действительные числа. Решение: Обозначая первую часть этого уравнения через b, получаем (см. пункт 2). 4. где A, B и C – действительные числа. Решение: Примем , тогда получим уравнение , из которого находится z1 и z2 , а затем значения x.

Примеры: 1. Решить уравнение Так как, то получаем 2. Решить уравнение Здесь , поэтому приходится вводить логарифм : 3. Решить уравнение Принимая получаем не подходит, т.к. ( при любом x ), поэтому остаётся . Имеем

4. Решить уравнение Так показатели складываются при умножении степеней, то данное уравнение перепишем так: 5. Решить уравнение Так как и ,то получаем

Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма или в его основании. Наиболее распространённые логарифмические уравнения: 1. Решение: , отсюда находится x. 2. Решение: Равным логарифмам соответствуют равные числа, т.е. 3. Решение: Принимая , получим уравнение , отсюда находится z1 и z2 , а затем x1 и x2.

4. Для решения этого уравнения необходимо все логарифмы привести к одному основанию: a или 10. Примечание: Все логарифмические уравнения обязательно проверяются. Примеры: 1. Решить уравнение Решение: 2. Решить уравнение Решение: На основании свойства №4 логарифма , отсюда данное уравнение можно записать так: Пусть , тогда

Имеем Проверка: — истинно. — истинно.

Ответ: 3. Решить уравнение Решение: Так как по свойству 2 логарифмов сумма логарифмов двух чисел равна логарифму произведения этих чисел, получаем (равны логарифмы, одинаковые числа ) из решения уходит, т.к. не существует. Ответ: <3>. 4. Решить уравнение Решение: Перейдём к логарифмам с основанием 2. Получим

Исходное уравнение преобразуется к виду 5. Решить уравнение Решение:

Решить самостоятельно следующие логарифмические уравнения: 1). 0;5 2). -4;0. 3). 65. 4). 4;6. 5). 5. 6). 2,5. 7). 41. 8). 2. 9). .

Решить самостоятельно следующие показательные уравнения. 1). <0;4>2). <-2;4>3). <-4;5>4). <-2>5). <4>6). <2>7). <-1/2;2>8). <>9). <>10). <2;3>11). <0,5>12). <2>. 13). <1>. 14). <2/5>.

Презентация на тему: Алгебраические уравнения произвольных степеней

Потребность в комплексных числах возникла в связи с тем, что из отрицательного действительного числе нельзя извлечь квадратный корень, оставаясь в области действительных чисел. Это, как мы знаем, приводит к тому, что некоторые квадратные уравнения не имеют действительных корней; уравнение х2+1=0 будет простейшим из таких уравнений. Нельзя ли расширить запас чисел так, чтобы эти уравнения обладали корнем? Потребность в комплексных числах возникла в связи с тем, что из отрицательного действительного числе нельзя извлечь квадратный корень, оставаясь в области действительных чисел. Это, как мы знаем, приводит к тому, что некоторые квадратные уравнения не имеют действительных корней; уравнение х2+1=0 будет простейшим из таких уравнений. Нельзя ли расширить запас чисел так, чтобы эти уравнения обладали корнем? Школьнику несколько раз приходилось встречаться с расширением того запаса чисел, которым он располагает. Он начинал с изучения в элементарной арифметике целых положительных чисел. Очень скоро появились и дроби. В курсе алгебры были добавлены отрицательные числа, т.е. была получена система всех рациональных чисел. Наконец, присоединение иррациональных чисел привело к системе всех действительных (или вещественных) чисел. Каждое из этих последовательных расширений запаса чисел позволяло находить корни для некоторых из тех уравнений, которые раньше, до рассматриваемого расширения, корней не имели. Так, уравнение 2х-1=0 стало обладать корнем лишь после введения дробей, уравнение х+1=0 – после введения отрицательных чисел, а уравнение х2-2=0 – лишь после присоединения иррациональных чисел. Все это вполне оправдывает ещё один шаг на пути обогащения запаса чисел, и мы в общих числам наметим сейчас, как этот последний шаг осуществляется.

Как известно, если дана прямая линия и на ней дано положительное направление, отмечена точка О и выбрана единица масштаба (рис. 1), то всякой точке А на этой прямой можно поставить в соответствие её координату, т.е. действительное число, выражающее в выбранных единицах масштаба расстояние от А до О, если А лежит в положительном направлении относительно О, или расстояние, взятое со знаком минус, если А лежит в отрицательном направлении относительно О. Всем точками прямой таким путём ставятся в соответствие различные действительные числа, причем можно доказать, что всякое действительное число будет при этом использовано. Можно считать, следовательно, что точки нашей прямой являются изображениями соответствующих им действительных чисел, т.е. что эти числа как бы уложены на прямую линию. Назовём нашу прямую числовой прямой. Нельзя ли расширить запас чисел так, чтобы новые числа столь же естественным образом изобразились точками плоскости? Такой системы чисел, более широкой, чем система действительных чисел, у нас пока нет, её нужно построить. Построение следует начать с указания того, из какого «материала» будет «строиться» новая система чисел, т.е. какие объекты будут играть роль новых чисел, а затем нужно определить, как над этими объектами, т.е. над этими будущими числами, должны производиться алгебраические операции – сложение и умножение, вычитание и деление. Так как мы хотим построить такие числа, которые бы изображались всеми точками плоскостями, то проще всего сами точки плоскости рассматривать в качестве новых чисел. Для того, чтобы эти точки действительно могли бы считаться числами, следует лишь определить, как производить над ними алгебраические операции, т.е. какая точка должна называться суммой двух точек плоскости, какая – произведением и т. д.

Подобно тому как положение точки на прямой вполне определяется одним действительным числом – его координатой, положение всякой точки на плоскости может быть определено парой действительных чисел. Для этого возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О, и на каждой из них зададим положительно направление и отметим единицу масштаба (рис. 2.) Подобно тому как положение точки на прямой вполне определяется одним действительным числом – его координатой, положение всякой точки на плоскости может быть определено парой действительных чисел. Для этого возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О, и на каждой из них зададим положительно направление и отметим единицу масштаба (рис. 2.) Назовём эти прямые осями координат, в частности, горизонтальную прямую – осью абсцисс, вертикальную – осью ординат. Таким образом, вся плоскость разбивается осями координат на четыре четверти, которые нумеруются так, как указано на рисунке. Положение любой точки А из первой четверти вполне определяется заданием двух положительных действительных чисел – числа а, выражающего в выбранных единицах масштаба расстояние от данной точки до оси ординат (абсцисса точки А), и числа b, выражающего в выбранных единицах масштаба её расстояние до оси абсцисс (ордината точки А). Обратно для любой пары (a,b) положительных действительных чисел можно указать в первой четверти вполне определённую точку, имеющую а своей абсциссой и b – своей ординатой. Аналогично задаются точки и в других четвертях. Однако, для того чтобы обеспечить взаимную однозначность соответствия между всеми точками плоскости и парами их координат (a,b), т.е. избежать того, чтобы нескольким различным точкам плоскости соответствовала одна и та же пара координат (a,b), мы считаем отрицательными абсциссы точек, лежащих в четвертях II и III, и ординаты точек, лежащих в четвертях III и VI. Заметим, что точки, лежащие на оси абсцисс, задаются координатами вида (а,0), а точки, лежащие на оси ординат, — координатами вида (0,b), где а и b –некоторые действительные числа. Пусть на плоскости даны точки (a,b) и (c,d). До сих пор мы не знали, что следует подразумевать под суммой и произведением этих точек. назовем теперь их суммой точку с абсциссой a+c и ординатой b+d, т.е. (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d). Назовём, с другой стороны, произведением заданных точек точку с абсциссой ас–bd и ординатой ad+bc, т.е. (a,b)∙(c,d) = (ас–bd, ad+bc).

Пусть всякая точка (a,0) оси абсцисс служит изображением действительного числа а – своей абсциссы, т.е. отождествим точку (а,0) с самим числом а, то ось абсцисс просто превратится в числовую прямую. Мы можем теперь считать, что построенная нами из точек плоскости новая числовая система содержит, в частности, все действительные числа, а именно в качестве точек оси абсцисс. Пусть всякая точка (a,0) оси абсцисс служит изображением действительного числа а – своей абсциссы, т.е. отождествим точку (а,0) с самим числом а, то ось абсцисс просто превратится в числовую прямую. Мы можем теперь считать, что построенная нами из точек плоскости новая числовая система содержит, в частности, все действительные числа, а именно в качестве точек оси абсцисс. Точки оси ординат уже не могут быть отождествлены с действительными числами. Рассмотрим, например, точку (0,1), лежащую на оси ординат на расстоянии 1 вверх от точки О. Обозначим эту точку буквой i: i=(0,1), и найдём её квадрат в смысле умножения точек плоскости: i2=(0,1)(0,1)=(0∙0-1∙1,0∙1+1∙0)=(-1,0). Точка (-1,0) лежит, однако, не на оси ординат, а на оси абсцисс и поэтому изображает действительно число -1, т.е. i2= -1. Мы нашли, следовательно, в нашей новой числовой системе такое число, квадрат которого равен действительному числу -1, т.е. теперь уже можно извлекать из -1 квадратный корень. Другим значением этого корня будет точка i = (0, -1). Построенная нами числовая система, более широкая чем система действительных чисел, называется системой комплексных чисел, а сами точки плоскости с определёнными выше операциями над ними -комплексными числами. Легко показать, используя эти операции, что всякое комплексное число может быть выражено через действительные числа и число i. Пусть, в самом деле, дана точка (a,b). Ввиду определения сложения справедливо равенство (a,b)=(a,0)+(0,b). Слагаемое (а,0) лежит на оси абсцисс и поэтому является действительным числом а. Второе же слагаемое может быть записано по определению умножения в виде (0,b)=(b,0) ∙ (0,1). Первый множитель правой части этого равенства совпадает с числом b, а второй равен i. Таким образом, (a,b)=a+b ∙ i, где сложение и умножение нужно понимать в смысле операций над точками плоскости. Получив эту обычную запись комплексных чисел, мы сейчас же можем соответственно переписать приведённые выше формулы для операций над комплексными числами: (a + b∙i) + (c + d∙i) = (a + c) + (b + d) ∙i; (a + b∙i) − (c + d∙i) = (a − c) + (b − d) ∙i; (a + b∙i) ∙ (c + d∙i) = a∙c + b∙c∙i + a∙d∙i + b∙d∙i2 = (a∙c − b∙d) + (b∙c + a∙d) ∙i;

Располагая комплексными числами, мы можем извлекать квадратный корень не только из числа -1, но и из любого другого отрицательного действительного числа, причём будем получать два различных значения. Именно, если –а есть отрицательное действительное число, т.е. а>0, то Располагая комплексными числами, мы можем извлекать квадратный корень не только из числа -1, но и из любого другого отрицательного действительного числа, причём будем получать два различных значения. Именно, если –а есть отрицательное действительное число, т.е. а>0, то где — положительное значение квадратного корня из положительного числа а. Возвращаясь к решению рассматривавшегося во введении квадратного уравнения с действительными коэффициентами, мы можем теперь сказать, что и в случае это уравнение имеет два различных корня, но уже комплексных. Комплексных чисел достаточно и для того, чтобы извлекать корни из любых комплексных чисел. Именно, если дано комплексное число a+b∙i, то где оба раза берётся положительное значение радикала . Видно, конечно, что при любых значениях a и b и первое слагаемое правой части и коэффициент i будут действительными числами. Каждый из этих двух радикалов имеет два значения, которые комбинируются друг с другом по следующему правилу: если b>0, то положительное значение одного радикала складывается с положительным значением другого, а отрицательное – с отрицательным; если же b № слайда 8

Переходя к вопросу об извлечении корня из любой целой положительной степени n из комплексных чисел можно доказать, что для любого комплексного числа α существует ровно n таких различных комплексных чисел, что каждое из них при возведении в n-ю степень, даёт число α. Иными словами справедлива следующая очень важная теорема: Переходя к вопросу об извлечении корня из любой целой положительной степени n из комплексных чисел можно доказать, что для любого комплексного числа α существует ровно n таких различных комплексных чисел, что каждое из них при возведении в n-ю степень, даёт число α. Иными словами справедлива следующая очень важная теорема: Корень n-й степени из любого комплексного числа имеет ровно n различных комплексных значений. Эта теорема применима и к действительным числам, которые являются частным случаем комплексных чисел: корень n-й степени из действительного числа А имеет ровно n различных значений, в общем случае комплексных; действительных среди этих значений, как известно, будет два, одно или ни одного в зависимости от знака числа А и чётности числа n. Так, кубичный корень из единицы имеет три значения: 1, легко проверяется, что каждое из этих трёх значений , взятое в кубе, даёт единицу. Значениями корня четвёртой степени для единицы являются числа 1, -1, i и –i. Выше была приведена формула для извлечения квадратного корня из комплексного числа a+b∙i. Эта формула сводит извлечение указанного корня к извлечению квадратных корней из двух положительных действительных чисел. К сожалению, при n>2 не существует формулы, которая бы выражала корень n-й степени из комплексного числа a+b∙i через действительные значения радикалов из некоторых вспомогательных действительных чисел; доказано, что такая формула и не может быть получена. Корни n-й степени из комплексных чисел извлекаются, как правило, путём перехода к новой записи этих чисел, т.н. тригонометрической.

Пусть дано уравнение x3+a∙x2+b∙x+c=0. Преобразуем это уравнение, положив x=y-а/3, где у- новое неизвестное. Подставим это выражение х в наше уравнение, мы получим кубичное уравнение относительно некоторого неизвестного у, причём более простое, т.к. коэффициент при у2 окажется равным нулю. Коэффициентом при первой степени у и свободным членом будут соответственно числа: Пусть дано уравнение x3+a∙x2+b∙x+c=0. Преобразуем это уравнение, положив x=y-а/3, где у- новое неизвестное. Подставим это выражение х в наше уравнение, мы получим кубичное уравнение относительно некоторого неизвестного у, причём более простое, т.к. коэффициент при у2 окажется равным нулю. Коэффициентом при первой степени у и свободным членом будут соответственно числа: т.е. уравнение сокращенно запишется в виде y3+p∙y+q=0. Если мы найдём корни этого нового уравнения, то, вычитая из них по а/3, получим корни исходного уравнения. Корни нашего нового уравнения выражаются через его коэффициенты при помощи следующей формулы: Каждый из входящих в неё кубичных радикалов имеет, как мы знаем, три значения. Нельзя, однако, комбинировать их произвольным образом. Оказывается, что для каждого значения первого радикала можно указать одно единственное значение второго радикала, что произведение их равно числу –р/3. Именно эти два значения радикалов и нужно складывать для того, чтобы получить, таким образом, три корня нашего уравнения. Всякое кубичное уравнение с любыми числовыми коэффициентами имеет , следовательно три корня, в общем случае комплексных; некоторые из корней могут, конечно, совпасть, т.е. превратиться в кратный корень. Однако, практическое значение приведённой формулы весьма невелико.

Формулы для нахождения формул для решения уравнений третьей и четвертой степеней были найдены еще в XVI веке. В это же время начались поиски более сложной формулы для решения уравнений пятой степени и более высоких степеней. Эти поиски безуспешно продолжались до начала XIX века, когда был доказан следующий замечательный результат: Формулы для нахождения формул для решения уравнений третьей и четвертой степеней были найдены еще в XVI веке. В это же время начались поиски более сложной формулы для решения уравнений пятой степени и более высоких степеней. Эти поиски безуспешно продолжались до начала XIX века, когда был доказан следующий замечательный результат: Ни для какого n, большего или равного пяти , нельзя указать формулу, выражающую корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. Если бы существовало уравнение с числовыми коэффициентами, действительными или комплексными, такое, которое не имело бы ни одного действительного или комплексного корня, то возникла бы задача дальнейшего расширения запаса чисел. В этом, однако, нет необходимости: комплексных чисел достаточно для решения любого уравнения с числовыми коэффициентами. Именно, справедлива следующая теорема: Всякое уравнение n-й степени с любыми числовыми коэффициентами имеет n корней, комплексных или, в частности, действительных; некоторые из них могут, конечно, совпасть, т.е. оказаться кратными. Эта теорема называется «Основной теоремой высшей алгебры». Она была доказана Даламбером и Гауссом ещё в XVIII веке, хотя лишь в XIX веке эти доказательства были доведены до полной строгости.

Пусть дано уравнение n-й степени. Оно имеет, как мы знаем, n корней. Первые вопросы, которые естественно возникают, таковы: имеются ли среди них действительные, сколько их, где примерно они расположены? Ответ на эти вопросы может быть получен следующим путем. Обозначим многочлен, стоящий в левой части уравнения через f(x). Построим график многочлена f(x). Пусть дано уравнение n-й степени. Оно имеет, как мы знаем, n корней. Первые вопросы, которые естественно возникают, таковы: имеются ли среди них действительные, сколько их, где примерно они расположены? Ответ на эти вопросы может быть получен следующим путем. Обозначим многочлен, стоящий в левой части уравнения через f(x). Построим график многочлена f(x). Пример. Построить график функции f(x)=x3-5∙x2+2∙x+1. Составим таблицу значений многочлена f(x), со значениями α, лежащими между -1 и 5 и построим график. График показывает, что все три корня находятся на промежутках (-1;0), (0;1) и (4;5). Иногда полезны следующие теоремы, дающие некоторые сведения о существовании действительных и даже положительных корней: Всякое уравнение нечётной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Если в уравнении с действительными коэффициентами старший коэффициент А0 и свободный член Аn имеют разные знаки, то оно имеет хотя бы один положительный корень. Если же, уравнение имеет, кроме того, чётную степень, то оно обладает также и хотя бы одним отрицательным корнем.

Зная значения, между которыми заключены корни уравнения x3-5∙x2+2∙x+1=0, мы можем уточнить корни уравнения. Пусть, например, нас интересует корень α2, лежащий между нулём и единицей. Вычисляя значения левой части уравнения при х=0,1; 0,2; 0,3; . . . ; 0,9 , мы нашли бы, между какими двумя из этих последовательностей значений для х график многочлена f(x) пересекает ось абсцисс, т.е. вычислили корень α2 уже с точностью до одной десятой. Зная значения, между которыми заключены корни уравнения x3-5∙x2+2∙x+1=0, мы можем уточнить корни уравнения. Пусть, например, нас интересует корень α2, лежащий между нулём и единицей. Вычисляя значения левой части уравнения при х=0,1; 0,2; 0,3; . . . ; 0,9 , мы нашли бы, между какими двумя из этих последовательностей значений для х график многочлена f(x) пересекает ось абсцисс, т.е. вычислили корень α2 уже с точностью до одной десятой. Продолжая так далее, мы могли бы найти значение корня с точностью до одной сотой, и до любой нужной точности. Однако, такой метод связан с громоздкими вычислениями, которые быстро становятся невыполнимыми. Ввиду этого разработаны различные методы, определяющие приближённые значения действительных корней уравнения. Полезно, сначала найти более узкие границы корня. Для этого вычислим корень с точностью до одной десятой. Так f(0,7)=0,293, а f(0,8)= — 0,88, а так как знаки значений различны, то 0,7 № слайда 13

Так, для рассматриваемого нами многочлена f(x)=x3-5∙x2+2∙x+1 будет: Так, для рассматриваемого нами многочлена f(x)=x3-5∙x2+2∙x+1 будет: f ’(x)=3∙х2-10∙х+2 и f ’’(x)=6∙х-10. Граница d вычисляется по одной из следующих формул: Первая из них выбирается если знаки f ’’(a) и f(а) совпадают. В противном случае выбирается вторая. В рассматриваемом примере вторая производная f ’’(х) отрицательна как при а=0.7, так и при b=0.8. Поэтому, так как f(а)>0, то следует взять для d вторую формулу. Так как f ’(0.8)= — 4.08, то d=0.8-(-0.088/(-4.08)=0.8-0.0215≈0.7784. Таким образом, мы нашли для корня α2 следующие границы, много более узкие, чем те, которые были известны нам раньше: 0.7769 № слайда 14

Мы рассматривали всё время уравнения некоторой степени с одним неизвестным. Начало этой теории лежало еще в элементарной алгебре, где после изучения уравнений первой степени переходят к квадратным уравнениям. Однако в элементарной алгебре был сделан один шаг и в другом направлении: после изучения одного уравнения первой степени с одним неизвестным перешли к рассмотрению системы из двух уравнений с двумя неизвестными и системы из трёх уравнений с тремя неизвестными. Это направление получает дальнейшее развитие в курсе высшей алгебры, где изучаются методы решения любой системы из n уравнений c n неизвестными. Теория систем уравнений первой степени и связанные с ними методы решения, составляют особую ветвь алгебры – линейную алгебру; по своим применениям в геометрии и в других отраслях математики, а также в физике и теоретической механике она является первой среди всех частей алгебры. Мы рассматривали всё время уравнения некоторой степени с одним неизвестным. Начало этой теории лежало еще в элементарной алгебре, где после изучения уравнений первой степени переходят к квадратным уравнениям. Однако в элементарной алгебре был сделан один шаг и в другом направлении: после изучения одного уравнения первой степени с одним неизвестным перешли к рассмотрению системы из двух уравнений с двумя неизвестными и системы из трёх уравнений с тремя неизвестными. Это направление получает дальнейшее развитие в курсе высшей алгебры, где изучаются методы решения любой системы из n уравнений c n неизвестными. Теория систем уравнений первой степени и связанные с ними методы решения, составляют особую ветвь алгебры – линейную алгебру; по своим применениям в геометрии и в других отраслях математики, а также в физике и теоретической механике она является первой среди всех частей алгебры.