Презентация по теме функциональные уравнения

Функциональные уравнения и методы их решений Калинина Елена Петровна Учитель математики МОУ Гимназия 5 Г. Саратов. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемВера Лосева

Похожие презентации

Презентация на тему: » Функциональные уравнения и методы их решений Калинина Елена Петровна Учитель математики МОУ Гимназия 5 Г. Саратов.» — Транскрипт:

1 Функциональные уравнения и методы их решений Калинина Елена Петровна Учитель математики МОУ Гимназия 5 Г. Саратов

2 Введение Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Примерами подобных уравнений могут являться уравнения вида (1)

3 Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это Они задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность…

4 1. Параметризуемые уравнения Функциональные уравнения, в которых требуется найти решение в классе функций из некоторого параметрического семейства, называются параметризуемыми.

5 Пример: Постановка задания Существует ли линейная функция у = f(x), удовлетворяющая при всех х соотношению 2f(x + 2) + f (4 — x)= 2 х + 5? Решение По определению, линейная функция это функция, которая представима в виде f(x) = kx + b. Числовые параметры k и b однозначно характеризуют линейную функцию, так как равенство при всех значениях переменной х равносильно равенствам,. Этот факт является частным случаем следующего важного утверждения, которое мы будем неоднократно использовать:

6 Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной (в частности, совпадают и степени многочленов).

7 Поэтому нашу задачу можно переформулировать следующим образом: существуют ли числа k и b такие, что при всех х верно равенство (3) 2(k(x + 2)+b) + (k (4 — х)+b)= 2 х + 5? Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим kx + 8k + 3b = 2 х + 5 при всех х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, мы преобразуем задачу к виду: существуют ли числа k и b такие, что верны равенства (4) В этом виде задача просто сводится к вопросу о совместности системы (4). Легко видеть, что эта система имеет единственное решение k = 2, b = -11/3. Итак, существует и притом единственная линейная функция f(x) = 2 х-11/3, удовлетворяющая исходному функциональному уравнению.

8 2. Общие функциональные уравнения Решим предыдущий пример в общем виде. Заменим х на х – 2. Тогда уравнение (1) примет вид (5) 2f(х)+ f(6 — х) = 2 х + 1 при всех х. Это равенство можно рассматривать как обычное уравнение относительно двух неизвестных А = f(x) и B= f(6 — х); переменная х в этом случае будет играть роль параметра: 2А + В = 2 х+ 1.

9 Поскольку у нас две неизвестные величины, хотелось бы получить еще одно уравнение относительно А и В. С этой целью заменим в равенстве (5) х на 6 — х (ведь оно верно при всех значениях х; поэтому вместо х можно ставить любое число или выражение): 2f(6 — х) + f(x) = -2 х + 13 при всех х. В терминах переменных А = f(x) и В=f(6 — х) это равенство означает, что 2В+А = -2 х+ 13. Итак, справедлива система Исключая из этих равенств В = f(6 — х), получим А =f(x) = 2 х -11/3.

10 3. Классические функциональные уравнения В математике есть несколько типов относительно простых функциональных уравнений, решения которых хорошо известны каждому математику. Самым простым из них является следующее уравнение для функций вида у = kx (оно рассматривалось еще Коши): f(x + у) = f(x) + f(y) (15) для всех действительных х.

11 Пример: Постановка задания Задана функция, причем (16) f(x + у) = f(x) + f(y) для всех рациональных чисел х и у. Известно, что. Найти. Решение Функции вида f(x) = kx удовлетворяют этому уравнению. Докажем, что никаких других решений уравнение (16) не имеет. Рассмотрим уравнение (16) при у = 0: f (x) = f(x) + f(0). Отсюда следует, что f (0) = 0. При у = -х уравнение (16) примет вид f (0) = f (x) + f (-x), откуда f(-x) = -f(x). Таким образом, всякое решение уравнения (16) является нечетной функцией. Положим в (16) у = х. Это даст следующее соотношение: при всех х Q. При у = 2 х получим: f (Зх) = f(x) + f(2x) = f(x) + 2f(x) = 3f(x) при всех х Q. Аналогично, при y = Зx из (16) имеем при всех х Q

12 Повторив эту процедуру, мы получим, что для любого натурального п верно равенство (при п = 1 оно является тождеством): f (nх) = n f (х) (17) при всех х Q. Строго это можно доказать методом математической индукции. Справедливость равенства (17) при п = 1 (основание индукции) уже установлена. Допустим, что (17) доказано для некоторого натурального k; докажем его справедливость для значения п = k + 1: f ((k + 1) x) = f (k + х) = f (k x) + f (x) = = kf(x) + f(x) = (k + 1) f (x). Из нечетности функции f(x), которую мы установили в самом начале нашего решения, следует, что равенство (17) верно при всех целых п (а не только натуральных). Мы уже можем решить исходную задачу в том виде, как она была поставлена на экзамене. Поскольку 10 = (-35), из (17) при п = -35, х = имеем f (10) = -35 f, так что Но мы двинемся дальше и докажем, что на самом деле верно соотношение (18) при всех х Q, где г произвольное рациональное число.

13 Положим в (17) х=. Отсюда, так что (18) справедливо для. Если в этом равенстве положить t = mх, m Z, то, используя (17), мы получим:, то есть (18) справедливо для любого рационального г. В частности, при х = 1 (18) даст f(r) = rf (1). Если обозначить f (1) через k, а вместо переменной r использовать переменную х, то это соотношение можно записать в виде (19) f(x)=kx. Таким образом, если функция f(x) является реше­нием уравнения (16), то она дается формулой (19). Теперь вернемся к исходной задаче. Так как f (10) = k 10, мы можем определить коэффициент пропорциональности. Поэтому f(x) = х для рациональных х и, в частности,. Ответ:

14 В более сложных задачах уравнение (15) f(x + у) = f(x) + f(y) может быть «спрятано», и нужны определенные преобразования (обычно вводится новая неизвестная функция), чтобы свести дело к этому классическому уравнению.

15 4. Примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Пример 1. Найти f(x) Решение 1) Пусть тогда 2) Подставим в исходное уравнение, получим 3)Заменим z на получим или после преобразований в правой части уравнения:

16 4)Итак, получили два уравнения: 5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим: Тогда

17 Пример 2. Найти x, если Решение Рассмотрим уравнение: Получим: Если функция нечетная то -f(3x)=f(-3x) Проверим: -нечетная Значит f(2x+1)=f(-3x) 2x+1=-3x x=-1/5

18 Пример 3. Решите неравенство: Решение Сначала решим уравнение: Преобразуем уравнение: выделим полный квадрат f(2x-1)= -f(x) f(2x-1)= f(-x) 2x-1=-x x=1/3 Вернемся к решению неравенства: построим графики функций и найдем значения х, при которых f(2x-1)>f(-x) Слайд 19 Слайд 19 Получим: x>1/3 Ответ: Слайд 20 f(-x) Слайд 19 Слайд 19 Получим: x>1/3 Ответ: Слайд 20″>

x=t+1 Получим» title=»Пример 4. Решить неравенство: если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе Решение Умножим второе уравнение на -1 и сложим с первым 1)Выразим из первого уравнения g(x-1): Найдем g(x). Введем замену x-1=t => x=t+1 Получим» > 20 Пример 4. Решить неравенство: если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе Решение Умножим второе уравнение на -1 и сложим с первым 1)Выразим из первого уравнения g(x-1): Найдем g(x). Введем замену x-1=t => x=t+1 Получим x=t+1 Получим»> x=t+1 Получим»> x=t+1 Получим» title=»Пример 4. Решить неравенство: если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе Решение Умножим второе уравнение на -1 и сложим с первым 1)Выразим из первого уравнения g(x-1): Найдем g(x). Введем замену x-1=t => x=t+1 Получим»>

21 2)Вернемся к системе: Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым: Получим: Введем замену Получим:

22 Решим неравенство: Ответ:

23 Список литературы Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н. Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999 Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, – 96 с Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, 2, с. 116 – 120 Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, – 160 с Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов — М: Просвещение, 1991 г. Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: Просвещение, 1978 г.

Презентация по математике на тему «Функциональный метод решения уравнений и неравенств»(10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Функциональный метод решения уравнений и неравенств. 1. Использование понятия области определения функции. 4. Использование свойств чётности и нечётности. 2. Использование понятия области значения функции. 5. Использование свойства периодичности функции. 3. Использование свойства монотонности функции.

1. Решите уравнение: Решение. ОДЗ: , решений нет. Ответ:Ø.

2. Решите уравнение: Решение. ОДЗ: , решений нет. Ответ:Ø.

3. Решите уравнение: Решение. ОДЗ: , , x=1 Если x=1, то — верно Ответ: x=1.

4. Решите неравенство: Решение. ОДЗ: , , x=5 Проверка: — верно Ответ: 5.

5. Решите неравенство: Решение. ОДЗ: , , x=1 Проверка: , — верно Ответ: 1.

1. Решите уравнение: Решение. ОДЗ: , , , уравнение не имеет корней. Ответ: Ø.

2. Решите уравнение: Решение. Для допустимых значений x: Равенство достигается, если . Из первого уравнения x=0. При x=0 второе уравнение обращается в верное числовое равенство. Ответ: 0.

3. Решите уравнение: Решение. , ; x=4. Ответ: 4.

4. Решите уравнение Решение. , Следовательно, Решение 1 системы: ; 2 система решений не имеет. Ответ: . или

5. Решите неравенство: Решение. ОДЗ: При любом x из области определения sin(x-1)>0, следовательно, . Так как , то на всей области определения. Ответ: .

6.Решите неравенство: ОДЗ: На ОДЗ правая часть неравенства неположительна, а левая – положительная. Ответ: [5; +∞).

1. Решите уравнение: Решение. ОДЗ: . — возрастает на R, — убывает на R. Значит уравнение имеет не более одного корня. Подбором x=-3. Ответ: -3.

2. Решите уравнение: Решение. ОДЗ: . — возрастает на [-1;+∞), — убывает на [-1;+∞). Значит уравнение имеет не более одного корня. Подбором x=3. Ответ: 3.

3. Решите систему уравнений. Решение. Рассмотрим функцию , тогда Так как > 0 при любом t, то функция f-возрастающая, и поэтому каждое своё значение принимает только при одном значении аргумента. Уравнение равносильно уравнению x=y. , x=y=3. Ответ: x=3; y=3.

1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение иметь пять корней . Решение. Число 0 не является корнем данного уравнения. Так как левая часть уравнения — чётная функция, то вместе с каждым ненулевым корнем уравнение имеет противоположный корень, и следовательно, число его корней при любом а чётно. Поэтому пяти корней оно иметь не может. Ответ: не может.

2. Решите уравнение: Решение. ОДЗ: . Функция — чётная. Поэтому достаточно найти решение для . x=0 – не является корнем уравнения. , , x=3. Тогда x =-3 – также является корнем уравнения. Ответ: -3; 3.

1. Решите неравенство: Решение. Рассмотрим функцию , Решение неравенства достаточно найти на промежутке, равном периоду функции. . . . За такой промежуток возьмём . — чётная, решение найдём на промежутке . Функция на данном промежутке имеет два корня: , — которые разбивают промежуток на два интервала знакопостоянства: , . Неравенство выполняется при всех . Но тогда оно будет выполняться и для всех . Учитывая периодичность:

Решите уравнение. Пусть , тогда ; . . Ответ: .

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 952 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 293 материала в базе

Другие материалы

• 03.10.2015
• 3455
• 40

• 03.10.2015
• 666
• 1

• 03.10.2015
• 1541
• 17

• 03.10.2015
• 1113
• 6

• 02.10.2015
• 502
• 1

• 02.10.2015
• 1046
• 5

• 02.10.2015
• 447
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 03.10.2015 1144
• PPTX 1.4 мбайт
• 10 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мягкова Марина Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 30075
• Всего материалов: 8

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация к уроку алгебры в 11 классе «Функционально-графические методы решения уравнений».
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Презентацию можно использовать на уроках итогового повторения.

Скачать:

Подписи к слайдам:

Урок итогового повторенияАлгебра 11классРазработан учителем математики МОУ СОШ №1 г.Юрюзани Кобзенко Е.Е.
Развивающие — развивать логическое мышление, умение анализировать условие математической задачи,Образовательные — формировать умения и навыки решения уравнений функциональным методом, умение определять тип уравнения и находить несколько способов решения, выбирать из них рациональный.делать выводы и обобщения.Воспитательные — воспитывать способность доводить учебное задание до конца, умение анализировать ситуацию. Мотивация познавательной деятельности учащихся: сообщить учащимся, что на этом уроке они будут продолжать рассматривать общие методы решения уравнений, готовиться к сдаче ЕГЭ.
Функциональные методы решения уравнений:
Графический метод Метод монотонностиМетод ограничений
Графический метод
Построить графики функций у=f(x)и у=g(x) и найти точки их пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.Пример Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ:
Решить уравнение:

Большинство учащихся будут пытаться разложить левую часть на множители:Уравнения не имеют корней,значит , заданное уравнение не имеет корней.
Сделаем графическую прикидку:
Метод монотонности
Если одна из функций у=f(x), y=g(x) убывает, а другая возрастает на промежутке Х,то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня.Пример:
Графики функций у=2х и у=(3/5)х+7/5 пересекаются в точке х= 1
Решить уравнение5х+12х=13х
Несложно заметить, что х=2-корень уравнения. Но рассуждать также, как в предыдущем примере мы не можем: все составляющие (5х,12х,13х)имеют одинаковый характер монотонности- возрастают.
Разделим обе части уравнения на 12х
(5/12)х+1=(13/12)ху=(5/12)х+1-функция убывающаяУ=(13/12)х- функция возрастающаяУравнение имеет не более одного корня. Х=2Проверка: 52+122=132 25+144=169Ответ: 2.
Метод ограничений
Если на некотором промежутке наибольшее значение функции f(x) равно числу А, а наименьшее значение функции g(х) тоже равно А, то равенство f(x)=g(x) возможно при их одновременном равенстве А.Решить уравнение:
У=log2p- функция непрерывная монотонно возрастающая, принимает наименьшее значение при наименьшем значении р;р=х2-4х+8 принимает наименьшее значение в вершине х0=4/2=2; у0=4-8+8=4; унаим=log24=2 g=gнаиб=2Равенство левой и правой части возможно при их одновременном равенстве 2, т.е.при х=2Проверка: log 2(4-8+8)=sin(10П/4)-cos(П)=2
Решить уравнения:
№1742,а)№1740,а) № 1741, а),б).Д/З №1740 б); №1742 б).
Литература:
УМК Алгебра и начала анализа 10-11кл /А.Г.Мордкович/Журнал «Математика для школьников №4, 2005г.»Журнал «Математика в школе №7, 2004г.»ЦОР «Открытая математика»(модель 2.17; Графёр)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку алгебры в 8 классе «Графическое решение квадратного уравнения»

Данную презентацию можно использовать при графическом решении квадратного уравнения.

Презентации к урокам алгебры 7 класс по теме «Линейные уравнения с одной переменной»

Презентации к трём последовательным урокам, соответствующим программе по алгебре для 7 класса , содержат как теоретический , так и практический материал, а также упражнения для устного счёта. В .

Урок-практикум по теме «Общие методы решения уравнений» п.56, «Алгебра и начала анализа 10-11 классы», авт.А.Г. Мордкович и презентации по данной теме.

Цели: Систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению различных методов решения уравнений.Развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математич.

Презентация к уроку алгебры в 8 классе по теме:»Уравнение х^2 = а».

Урок алгебры в 8 общеобразовательном классе по теме: «Уравнение х2 = а».

Презентация к уроку алгебры в 8 классе «Неполные квадратные уравнения»

Презентация может быть использована на уроках алгебры в 8 классе при изучении темы «Неполные квадратные уравнения».

презентация к уроку алгебры 7 класс «Алгебраический способ решения задач»

Первый урок по алгебре в 7 классе «Алгебраический способ решения задач» к учебнику Дорофеева Г.В.