Презентация по теме комплексные числа в уравнениях

Комплексные числа
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Презентация к открытому уроку по теме «» Комплексные числа»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

www.themegallery.com Решите уравнение: x 2 – 6 x + 13 = 0

Множества чисел R Q Z N С N  Z  Q  R  C

Алгебраические операции Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷ , любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √ − 1

«Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа , почти амфибия между бытием и небытием «. Г. Лейбниц

Многовековая история развития представления человека о числах – одна из самых ярких сторон развития человеческой культуры.

Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано Джероламо Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a + b √−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i =√−1 предложил Эйлер (1777, опубл . 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius .

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс , который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс

Понятие комплексного числа Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi . i 2 = − 1 , i – мнимая единица . Число Re z называется действительной частью числа z , а число Im z – мнимой частью числа z . Их обозначают a и b соответственно: a = Re z , b = Im z . Определение : Числа вида a + bi , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными .

Пример. Решите уравнение: x 2 – 6 x + 13 = 0 Решение. Найдем дискриминант по формуле D = b 2 – 4 ac . Так как a = 1, b = – 6, c = 13 , то D = (– 6)2 – 4 × 1 × 13 = 36 – 52 = – 16; Корни уравнения находим по формулам

www.themegallery.com Решите уравнения: x 2 – 4 x + 13 = 0. 9 x 2 + 12 x + 29 = 0.

www.themegallery.com Взаимопроверка Ответы: 1) 2 )

Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i Вычитание ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i Умножение ( a + bi )  ( c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = ( a c − bd ) + ( b c + a d ) i Деление a + bi c + di a c + bd c 2 + d 2 = +  i bc − ad c 2 + d 2

Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными

Прокомментировать: (a + bi) + (c + di ) = (a + c) + (b + d) i (2 + 3 i ) + (5 + i ) = (2 + 5) + (3 + 1) i = 7 + 4 i ; (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i (5 – 8 i ) – (2 + 3 i ) = (3 – 2) + (– 8 – 3) i = 1 – 11 i ; (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i (– 1 + 3 i )(2 + 5 i ) = – 2 – 5 i + 6 i + 15 i 2 = – 2 – 5 i + 6 i – 15 = – 17 + i ; Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi  di = bdi 2 = − bd Например: 5 i •3 i = 15 i 2 = − 15; Работа в группах

(– 2 + 3 i ) + (1 – 8 i ) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8)) i = – 1 – 5 i ; (– 2 + 3 i ) + (1 – 3 i ) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3)) i = – 1 + 0 i = – 1 . (3 – 2 i ) – (1 – 2 i ) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2)) i = 2 + 0 i = 2 . (2 + 3 i )(2 – 3 i ) = 4 – 6 i + 6 i – 9 i 2 = 4 + 9 = 13 . − 2 i •3 i = − 6 i 2 = 6. www.themegallery.com

Примеры Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi )(a – bi ) = a 2 – abi + abi – b 2 i 2 = a 2 + b 2 Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0 , так как тогда c 2 + d 2 = 0 , т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. a + bi c + di a c + bd c 2 + d 2 = = +  i bc − ad c 2 + d 2 ( a + bi )( c − di ) ( c + d i )( c − di )

«Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью». Симон Стевин.

Комплексные числа и квадратные уравнения. -решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел; -алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемЛиана Ружникова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Комплексные числа и квадратные уравнения. -решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел; -алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного.» — Транскрипт:

1 Комплексные числа и квадратные уравнения. -решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел; -алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного числа; -полезные следствия для формулы корней квадратного уравнения Учитель математики МОУ СОШ 2 Чернышова Ирина Сергеевна

2 Квадратное уравнение с действительными коэффициентами ?

3 На множестве С можно находить корни любых квадратных уравнений! Как извлечь квадратный корень из отрицательных действительных чисел? Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и D

4 Как извлечь квадратный корень из отрицательных действительных чисел? Определение: квадратным корнем(корнем второй степени) из комплексного числа z называют комплексное число, квадрат которого равен z.

5 Формула извлечения квадратного корня из отрицательных действительных чисел

6 Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и D

7 Как извлечь квадратный корень из любого комплексного числа? (в алгебраической и тригонометрической форме записи). Теорема: Если b0, то Что равносильно системе условий:

9 Избежать громоздких вычислений позволяет тригонометрическая форма записи комплексного числа. Теорема: Теорема: Доказательство: Доказательство: Всегда 2 корня!

10 == = Аналогично: Важно запомнить! При возведении комплексного числа в квадрат – его аргумент удваивается.

11 Алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного числа: 1)Найти модуль ρ и аргумент α этого числа; 2)Провести окружность радиусом ρ с центром в начале координат; 3)Провести через начало координат прямую под углом к положительному направлению оси абсцисс; 4)Две точки пересечения проведённых окружности и прямой – дают ответ.

13 Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами. Так как множества и совпадают между собой, то для решения квадратных уравнений с комплексными коэффициентами можно сохранить привычную формулу корней квадратного уравнения:

14 Полезные следствия для формулы корней квадратного уравнения: (теорема Виета) Если Z 1 и Z 2 –корни квадратного уравнения то (формула разложения квадратного трёхчлена на линейные множители) Если Z 1 и Z 2 –корни квадратного уравнения то

Презентация по математике на тему»Комплексные числа и квадратные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Комплексные числа и квадратные уравнения.

Действительные числа. Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами. Решение квадратных уравнений во множестве комплексных чисел. Содержание:

Действительные числа R

Квадратное уравнение с действительными коэффициентами ?

На множестве С – комплексных чисел можно находить корни любых квадратных уравнений!

Важное условие комплексного числа Существует число, квадрат которого = -1. Элемент, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей. Обозначается i (переводится «мнимый», «воображаемый»)

Общий вид: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА РАВНЫ, КОГДА РАВНЫ ИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И МНИМЫЕ ЧАСТИ. a+bi=c+di, если a=c, b=d КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО Z = х + уi х — действительная часть числа уi-мнимая часть комплексного числа Например: 4+ 3i; 7- 2i;

Сопряжённые числа СОПРЯЖЕННЫМ ЧИСЛОМ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА НАЗЫВАЕТСЯ КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО, ОТЛИЧАЮЩЕЕСЯ ОТ ДАННОГО ЗНАКОМ МЕЖДУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ. Например: a+bi и a-bi – сопряженные числа. 2±3i, 1±5i КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА РАВНЫ, КОГДА РАВНЫ ИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И МНИМЫЕ ЧАСТИ. a+bi=c+di, если a=c, b=d Равенство комплексных чисел

Умножение и деление комплексных чисел

Как извлечь квадратный корень из отрицательных действительных чисел? Определение: квадратным корнем(корнем второй степени) из комплексного числа z называют комплексное число, квадрат которого равен z.

Формула извлечения квадратного корня из отрицательных действительных чисел

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и D

Краткое описание документа:

Презентация по математике на тему «Комплексные числа и квадратные уравнения».

За весь курс школьной программы я мало встречалась с комплексными числами — вещественными (мнимыми) числами, работая лишь с действительными.

Первый вопрос, на который необходимо ответить для полноты понимания явления комплексных чисел это вопрос «Зачем же нужны комплексные числа?». Они нужны при решении дифференциальных уравнений — при расчетах электрических цепей; без них невозможна так называемая спектральная теория, практическое значение которой огромно. В целом, комплексные числа расширяют возможности математики. И одну такую возможность я рассматриваю с учащимися при решении квадратных уравнений, когда дискриминант отрицательный.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 591 996 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 22.01.2015
• 570
• 0

• 22.01.2015
• 3053
• 12

• 22.01.2015
• 1279
• 1

• 22.01.2015
• 723
• 0

• 22.01.2015
• 1683
• 0

• 22.01.2015
• 783
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.01.2015 5850
• PPTX 1.2 мбайт
• 340 скачиваний
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Закирова Гульнара Вазыгуллаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 20
• Всего просмотров: 45552
• Всего материалов: 19

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.