Урок + презентация «Равносильность уравнений» 11класс.
презентация к уроку (алгебра, 11 класс) по теме
Урок, объяснение нового материала, составлен для учащихся 11 класса профильного уровня.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
«Равносильность уравнений» | 206.52 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок алгебры и начала анализа по теме: «Равносильность уравнений».
Пашкина Любовь Владимировна, учитель математики.
Краткая аннотация урока:
Учебный предмет – алгебра и начала анализа.
Уровень образования школьников : 11 класс общеобразовательной школы, профильный уровень.
Раздел программы : Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.
Место урока в изучении раздела : первый урок.
Форма учебной работы – классно-урочная.
Продолжительность урока: 45 минут .
Дидактическое оснащение урока и ТСО: компьютер учителя, проектор.
Основные понятия: равносильные уравнения, уравнения – следствия, теоремы равносильности («спокойные» и «беспокойные»), лишние корни, потеря корней.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: традиционный урок.
Методы обучения: фронтальный, индивидуальный, групповой, наглядно-практический.
Приобретаемые навыки детей: применение знаний к решению уравнений.
Формы организации работы детей : индивидуальная и групповая работа.
- выработать у учащихся умение пользоваться теоремами равносильности уравнений.
- осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений.
- познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений
Учебник.11 класс/Под ред. Мордкович А.Г. – изд. «Мнемозина» Москва 2008г.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка: предполагаемый план проведения урока — При подготовке к уроку использовать как вспомпгательный ориентир для каждого этапа урока. Презентация отражает создание условий для учебных действий на уроке.
При подготовке к уроку использовать как вспомпгательный ориентир для каждого этапа урока. Презентация отражает создание условий для учебных действий на уроке.
Методическая разработка урока литературы по теме «Творчество Сергея Есенина»(11 класс). Тема урока — «Голубая Русь» Сергея Есенина. Тип урока –урок-исследование.
Знакомство со стихотворениями С.Есенина, посвящёнными теме родины, с творческим методом поэта.
Конспект открытого урока по технологии в 6 классе. Тема урока: Игровые технологии на уроках обслуживающего труда. Одежда и требование к ней. Снятие мерок для построения чертежа юбки. (Презентация к уроку)
Разработка урока с презентацией помогает учителю более доступно и понятно познакомить учащихся с историей юбки. На уроке используются игровые технологии, что помогают учащимся лучше усвоить материал у.
Урок изобразительного искусства в 5-ом классе.Тема урока: « Деревья как люди». Вид работы: рисование по представлению Тип урока: комбинированный, урок – сказка
Тема урока: « Деревья как люди».Вид работы: рисование по представлениюТип урока: комбинированный, урок – сказка Цель урока:ü Средствами изобразительного языка .
Класс 9 Урок №24. Тема урока: Системы счисления. Перевод чисел Тип урока; Урок «построения » системы знания.
Урок для учащихся 9 класса по теме «Системы счисления. Перевод чисел». Урок в разделе программы по счету третий. Цель:Образовательная: систематизация и расширение знаний обучающихся о операциях п.
Урок обобщающего повторения по теме Южная Америка.Урок-игра.Особый колорит уроку придаёт просмотр ролика»Танго и футбол», вопрос от шеф повара с угощением мамалыгой и синквейн. Легенда рассказанная в начале урока настраивает ребят на работу.
Урок географии в 7-м классе по теме «Южная Америка». Подготовила и провела: учитель географии 1квалификационной категории Васильева Елена Тихоновна в МБОУ СОШ №21 г. Коврова, в рамках подго.
Конспект урока Вторая война Рима с Карфагеном 5 класс, Конспект урока кубановедения Появление человека современного облика 5 класс, Конспект урока Королевство франков и христианская церковь в VI— VIII вв. 6 класс, Конспект урока Московское княжество и его
В ходе подготовки к урокам использовались современные информационные технологии. Участники проектной деятельности в ходе подготовки к уроку использовали свободное образовательное пространство сети Инт.
Презентация к уроку алгебры в 11 классе по теме «Равносильность уравнений»
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему
Презентация содержит теоретический и практический материал для проведения урока. Даны ответы к предложенным лоя решения уравнениям. Подобраны разнообразные уравнения.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
fevral.ppt | 269 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному .
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же выражение, не равное нулю, имеющее смысл для любого x из области определения, то получится уравнение, равносильное данному.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентации к урокам алгебры 7 класс по теме «Линейные уравнения с одной переменной»
Презентации к трём последовательным урокам, соответствующим программе по алгебре для 7 класса , содержат как теоретический , так и практический материал, а также упражнения для устного счёта. В .
Презентация к уроку алгебры 8 класса по теме «Неполные квадратные уравнения»
Данная презентация содержит материал для актуализации знаний по теме «Квадратные уравнения», знакомству с понятием «Неполные квадратные уравнения» и отработке навыков решения этих уравнений.
Презентация к уроку алгебры 7 класса . Линейные уравнения
Данный материал может быть использован в качестве презентации к уроку алгебры по теме:»Линейное уравнение».
Презентация к уроку. Алгебра 7 класс. «Решение систем линейных уравнений методом подстановки»
урок открытия нового материала.
Презентация к уроку алгебра 8 класс » Решение квадратных уравнений»
Даны разного типа квадратные уранения.
Презентация к уроку алгебры на тему: » График линейного уравнения с двумя переменными» 7 класс
Презентация к уроку алгебры 7 класс «Линейное уравнение и линейная функция(обобщение).
Презентация к уроку алгебры 7 класс «Линейное уравнение и линейная функция(обобщение).
Равносильность уравнений
Презентация к уроку по теме «Равносильность уравнений»
Просмотр содержимого документа
«Равносильность уравнений»
Определение 1. Два уравнения с одной переменной
Иными словами, два уравнения называют равносильными , если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.
Например , уравнения х 2 — 4 = 0 и (х + 2)(2 x — 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х 2 +1=0и √ x =-3, поскольку оба они не имеют корней.
Определение 2. Если каждый корень уравнения
является в то же время корнем уравнения
то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
Например , уравнение х — 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение (х — 2) 2 = 9 имеет два корня: х 1 = 5, х 2 = -1. Корень уравнения х — 2 = 3 является одним из корней уравнения (х — 2) 2 = 9. Значит, уравнение (х — 2) 2 = 9 — следствие уравнения х — 2 = 3.
Достаточно очевидным является следующее утверждение.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого .
В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.
Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3) → (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.
0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х). » width=»640″
Теоремы о равносильности уравнений
- «Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.
Теорема 1 . Е сли какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение а f ( x ) = а g ( x ) (где а 0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х).
Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.
Определение 3. Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения
0 и a ≠1, X — решение системы неравенств f (х) О, g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х) » width=»640″
« Беспокойные теоремы » работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.
Теорема 4. Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) умножить на одно и то же выражение h (х), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f ( x ) = g (х)
б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение
Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 5 . Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение ( f ( x )) n =( g ( x )) n равносильное данному в его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть а0 и a ≠1, X — решение системы неравенств
Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней.
Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.
Умножим обе части на (х – 2):
(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень ⇒ проверка!
Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.
(2) (3) — (4) — . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки. Последовательно получаем: 100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ² 9х ² — 416х + 796 = 0 х ₁ = 2; х₂ = 398/9 Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными. Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение. х₂ = 398/9 — посторонний корень. Ответ: х = 2 » width=»640″
Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) — (2) (3) — (4) — . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ²
9х ² — 416х + 796 = 0
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.
х₂ = 398/9 — посторонний корень.
Решение. Первый этап . Воспользуемся правилом «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением
ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
Второй этап . В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.
Третий этап . Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств
Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.
О потере корней
Укажем две причины потери корней при решении уравнений:
1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h (х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h (х) ≠ 0);
2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f (х ) h (х) = g <х ) h <х) к уравнению h ( x )( f ( x ) – g ( x ))=0 ( а не к уравнению f ( x )= g ( x ) ). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.
Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х 2 = 4 и решим его двумя способами.
Первый способ . Воспользовавшись определением логарифма, находим:
Обратите внимание: при втором способе произошла потеря корня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х 2 = 2 lg l х l мы воспользовались непра вильной формулой
lg х 2 = 2 lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.
Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2015/06/07/prezentatsiya-k-uroku-algebry-v-11-klasse-po-teme-ravnosilnost
http://multiurok.ru/files/ravnosil-nost-uravnienii.html