Презентация по теме уравнения и неравенства

презентация «Изучение уравнений и неравенств в школьном курсе математики»
презентация по теме

зачётная работа на курсах повышения учителей математики

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Изучение уравнений и неравенств в школьном курсе математики Зачётная работа на курсах повышения квалификации учителя высшей категории по математике Войтенко Е.В. МОУ СОШ № 1 с.Арзгир Арзгирского района Ставропольского края

Содержание Рациональные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения и неравенства Тригонометрические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства Трансцендентные уравнения и неравенства Литература

Изучение рациональных уравнений и неравенств презентация

Уравнения, где левая и правая части являются рациональными выражениями называются рациональными Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называется целым Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным Решим целое уравнение Решим дробное рациональное уравнение

Рациональным называется всякое неравенство, сводящееся к неравенству вида или вида где P(x), Q(x) – некоторые многочлены. Поскольку то для решения рациональных неравенств удобно применять метод интервалов. Решим неравенство:

Изучение иррациональных уравнений и неравенств

Иррациональные уравнения Иррациональное уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства 1. Замечание. Из двух систем выбирают ту, которая решается проще. ПРИМЕР 1

Иррациональные уравнения Иррациональное уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства 2. Замечание. Иногда иррациональное уравнение можно свести к приведённому виду с помощью введения новой переменной. ПРИМЕР 2 Если а Иррациональные уравнения Иррациональное уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства 3. ПРИМЕР 3

Иррациональные неравенства Как правило, иррациональное неравенство сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств. Пример 4

Изучение тригонометрических уравнений и неравенств

Уравнение cost = a 0 x y 2 . Отметить точку а на оси абсцисс . 3 . Построить перпендикуляр в этой точке . 4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью . 5 . Полученные точки – решение уравнения cost = a. 6 . Записать общее решение уравнения . 1 . Проверить условие | a | ≤ 1 a t 1 -t 1 -1 1 Тригонометрические уравнения

Частные случаи уравнения cost = a x y cost = 0 cost = — 1 cost = 1 0 1 -1 π 2 π 2 0 π

Уравнение sint = a 0 x y 2 . Отметить точку а на оси ординат . 3 . Построить перпендикуляр в этой точке . 4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью . 5 . Полученные точки – решение уравнения sint = a. 6 . Записать общее решение уравнения . 1 . Проверить условие | a | ≤ 1 a t 1 π -t 1 -1 1

Частные случаи уравнения sin t = a x y Sin t = 0 Sin t = — 1 Sin t = 1 0 1 -1 π 2 0 π π 2

Неравенство cost > a 0 x y 1 . Отметить на оси абсцисс интервал x > a . 2 . Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу . 3. Записать числовые значения граничных точек дуги . 4. Записать общее решение неравенства . a t 1 -t 1 -1 1 Тригонометрические неравенства

Неравенство cost ≤ a 0 x y 1 . Отметить на оси абсцисс интервал x ≤ a . 2 . Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу . 3. Записать числовые значения граничных точек дуги . 4. Записать общее решение неравенства . a t 1 2 π -t 1 -1 1

Неравенство sint > a 0 x y 1 . Отметить на оси ординат интервал y > a . 2 . Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу . 3. Записать числовые значения граничных точек дуги . 4. Записать общее решение неравенства . a t 1 π -t 1 -1 1

Неравенство sint ≤ a 0 x y 1 . Отметить на оси ординат интервал y ≤ a . 2 . Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу . 3. Записать числовые значения граничных точек дуги . 4. Записать общее решение неравенства . a 3 π -t 1 t 1 -1 1

Изучение логарифмических уравнений и неравенств

Логарифмические уравнения Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду. Простейшее логарифмическое уравнение где а > 0, а ≠1. Уравнение имеет один положительный корень при любом b : . Примеры из журнала «Квант»

Логарифмические неравенства , где а > 1 0

Трансцендентное уравнение — это уравнение не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции. Например: Трансцендентное уравнение – это уравнение вида f(x) = g(x), где функции f и g являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

Методы решения трансцендентных уравнений Рассматриваются следующие методы уточнения корня: метод дихотомии, метод Ньютона (касательных), модифицированный метод Ньютона, метод хорд и подвижных хорд. Примеры Журнал «Квант»

Литература П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. Показательные и логарифмические уравнения неравенства: учебно-методическое пособие.-М. Илекса, 2006 П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. Тригонометрические уравнения неравенства и методика их решения: учебно-методическое пособие.-М. Илекса, 2004 П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. Готовимся к экзаменам по математике.:-М. Илекса, 2003 Е.М. Родионов, Л.А.Филимонов. Уравнения, неравенства. Параметры. Тригонометрия, Логарифмы.-М.:Ориентир 2004 http://artides.mathedu.ru/alg/uravneniya/-/1/5 http://ito.ede.ru/2008/Moscow/ http://www.allbest.ru/referat/

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

методика решения логарифмических неравенств в школьном курсе математики

разбор методов решений неравенств в свете подготовки к ЕГЭ.

Содержание и роль уравнений в школьном курсе математики

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объевляется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных пр.

Методические особенности изучения неравенств в школьном курсе математики

Предлагаю Вашему вниманию материал о методических особенностях изучения неравенств в школьном курсе математики.

Иррациональные уравнения в школьном курсе математики. Методы решения.

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Однако в школе иррациональным уравнениям уделяется достаточно мало внимания, но задания по теме «Ирр.

уравнения и неравенства в школьном курсе математики

теоретический материал. лекции.

Уравнения и неравенства в школьном курсе математики

Данный конспект занятия предлагается для в неурочной работы.

Уравнения и неравенства в школьном курсе математики

Данный конспект занятия предлагается для в неурочной работы.

Презентация на тему: Уравнения и неравенства

Многообразие видов уравнений и методов их решений во всех частях КИМ показательные; логарифмические; тригонометрические; иррациональные; уравнения, содержащие неизвестную в основании и показателе степени; комбинированные; уравнения с параметрами.

Формулировки заданий укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения; найдите сумму ( произведение) корней уравнения; укажите количество корней уравнения;

Неравенства в КИМах дробно-рациональные; логарифмические; показательные; степенные; иррациональные; комбинированные, содержащие функции разных видов.

Формулировки заданий решите неравенство; укажите множество решений неравенств; вычислите сумму всех натуральных решений неравенства; найдите наименьшее (наибольшее) целое число, удовлетворяющее неравенству и т.д.

1 2 -1 0 1. Укажите промежуток, содержащий корни уравнения. 2. Найдите сумму корней уравнения 3. Сколько корней имеет уравнение? 1. Решите неравенство 0 2 -1 -2 2. Найдите сумму чисел, удовлетворяющих неравенству 3. Найдите промежуток, содержащий наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

Применение методов решения уравнений и неравенств

Способы решения систем уравнений подстановка сложение графически

Абсциссы точек пересечения графиков функций и служат корнями уравнения Графический способ решения уравнения заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций и находят абсциссы точек пересечения графиков этих функций 1

Пусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0 Координаты вершины xb=-b/2a=1 yb= -4 Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1 Построить по таблице график y=x2 -2x -3 Примеры графического решения квадратных уравнений 3 -1 Решение уравнения x2-2x –3=0 Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ x 0 2 -1 3 y -3 -3 0 0

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3 Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 и y= 2x + 3 3 -1 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2x Пусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 –3 и y =2x -1 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

Графический метод решения некоторых уравнений весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение.

Графический метод при определении количества корней уравнения 1 2 3 4 5

Неравенства Найти наименьшее натуральное решение неравенства Решить неравенства Найти область определения функции

Решение системы графическим способом y=10 — x y=x+2 Выразим у через х Построим график первого уравнения у=х+2 Построим график второго уравнения у=10 — х Ответ: (4; 6)

Решение систем уравнений Найти сумму х+у, где (х;у) – решение системы Найти произведение х*у, где (х;у) – решение системы

ЕГЭ. Задания из части С. При каком значении р уравнение имеет три корня При каком значении а число корней уравнения на 2 больше а ? Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций

Презентация по математике для 11 класса по теме «Уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Повторение.11 класс. Учитель математики МБОУ СОШ №20 Мелюхина Т.А.

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Примеры: 2х–3=5х+1; ; х2–2х+1=0.

cos t = a t = ± arccos a + 2πn, nЄZ cos t = 1 cos t = -1 cos t = 0 t=2πn, nЄZ t=π+2πn, nЄZ t=π/2+πn, nЄZ sin t = a t = (-1)karcsin a + πk, kЄZ sin t = 1 sin t = -1 sin t = 0 t=π/2+2πn, nЄZ t=-π/2+πn, nЄZ t=πn, nЄZ tg t = a ctg t = a t=arctg a+πn, nЄZ t=arcctg a+πn, nЄZ

Значения sinα, cosα, tgα, ctgα. x y 0 1 1 -1 -1 α sinα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tgα 0 1 — 0 — 0 ctgα — 1 0 — 0 —

Простые уравнения: 2sinx = 1; -3cosx + 1 = 0 Уравнения, приводимые к квадратным: 2sin2x + sinx – 1 = 0 cos2x + 3sinx = 3 Уравнения с разложением на множители: cos2x – cosx = 0; sin2x + cosx=0; cos6x – cos2x=0 Однородные уравнения первой степени: asinx + bcosx = 0 sinx +2cosx = 0 Однородные уравнения второй степени: 3sin2x+ sinxcosx – 2cos2x = 0

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Алгоритм решения уравнения: 1способ: 2способ 1) Решить уравнение, Привести уравнение к возведя обе части равносильной системе, уравнения в квадрат; используя определение и 2) Сделать проверку. возведение в квадрат. Пример:

а) 2x -1 = x2 – 4x + 4 x2 — 6x + 5 = 0 x1 = 5, x2 = 1 Проверка: Равенство верное ═> ═>x=5 явл. корнем Возведем обе части уравнения в квадрат √2∙1-1 =1-2 1=-1 √2∙5-1 = 5-2 3 = 3 Равенство неверное ═> ═>x=1 не явл. корнем Ответ: x=5. b) 2x-1=(x-2)2, x-2≥0 x=5, x=1, x≥2 x=5 Ответ: x=5 2x-1=x2-4x+4, x≥2 x2-6x+5=0, x≥2

Простейшее показательное уравнение: аx = b , где a>0 и a ≠ 1. Уравнение имеет единственный корень, если b>0. Алгоритм решения простейшего показательного уравнения: ax = b (b представить в виде b = ac) ax = ac (основания равны ═> показатели равны) x = c Уравнение не имеет решений, если b≤0.

Простые уравнения: 4х+2 = 64 4х∙42=64 4х=64:16 4х=41 х=1 Уравнения, решаемые другими способами: 7х+2 + 4∙7х+1 = 539 49∙7х + 28∙7х = 539 7х(49+28) = 539 7х∙77 = 539 7х = 539:77 7х = 7 х=1 Решений нет

Простейшее логарифмическое уравнение: logax = b , где a>0,a≠1 и x>0. Алгоритм решения логарифмических уравнений: 1 способ: 2 способ: Найти ОДЗ; 1) Решить уравнение, приведя 2) Решить уравнение, приведя обе обе части к логарифмам с части к логарифмам с одинаковыми основаниями; одинаковыми основаниями; 2) Выполнить проверку. 3) Сравнить корни с ОДЗ. Пример: log2(x — 4) = 3

Простые уравнения: log5(x-4) = 2 ОДЗ: х-4 > 0 log5(x-4) = log525 х > 4 x-4 = 25 x=29 Уравнения, приводимые к квадратным: lg2x + 2lgx – 1 = 0 ОДЗ: х>0 Пусть lgx = y y2 + 2y – 1 = 0 y=1 lgx =1 x=10

Уравнения с использованием свойств логарифмов: log3(x+1) + log3(x+3) = 1 log3(x+1)(x+3) = log33 log3(x2+4x+3) = log33 x2+4x+3=3 x2+4x=0 x(x+4)=0 x=0 x=-4 Проверка: x=0 log31+log33=1 1=1 => x=0 является корнем х=-4 log(-3)+log(-1)=1 Выражение не имеет смысла =>х=-4 не является корнем Ответ: х=0

Неравенства – это выражения, содержащие переменную и записанные с помощью знаков >, 6, -4x ≤ 8, x2 -16 1 показательная функция возрастает ═>знак между показателями не меняем, при 0 знак между показателями меняем на противоположный); 3). Решаем неравенство относительно показателей. Примеры: 2х ≥ 8 32х + 2∙3х – 15 > 0

Основание => знак неравенства меняем на противоположный х ≥ 3 Ответ: х ≥ 3 32х +2∙3х-15 ≥ 0 Пусть 3х = у, ОДЗ: у>0 у2+2у-15 ≥ 0 у1= 3, у2= -5 ¢ ОДЗ Решаем методом интервалов у ≥ 3 => 3х ≥ 3 Основание 3>0 =>знак неравенства не меняем х ≥ 1 Ответ: х ≥ 1. 0 3 + —

Алгоритм решения неравенств: 1). Находим ОДЗ; 2). Решаем логарифмическое неравенство: — приводим обе части к логарифмам с одинаковыми основаниями; — сравниваем основания с единицей( при a>1 функция логарифмическая возрастает ═> знак между подлога- рифмическими выражениями не меняем, при 0 меняем на противоположный); — решаем неравенство с подлогарифмическими выражениями; 3). Находим общие решения. Примеры: log4(x-2) ≤ 3 log0,3(x2-1) > -3

log4(x-2) ≤ 3 ОДЗ: х-2 > 0 log4(x-2) ≤ log464 х > 2 Основание 4≥0 => знак между подлогарифмическими выражениями не меняем х-2 ≤ 64 х ≤ 66 Общее решение => 2

Краткое описание документа:

«Описание материала:

План урока и презентация по теме «Уравнения и неравенства» для 11 класса.

Цель урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Уравнения и неравенства».

Задачи:

• Образовательная: Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся. Проверка уровня усвоения материала.
• Воспитательная: Развитие самостоятельности, уверенности в своих силах.
• Развивающая: Развитие познавательных способностей — внимания, памяти, восприятия, воображения.

Тип урока: Повторительно-обобщающий.

Технология: Личностно-ориентированная с применением новых информационных технологий.

Время проведения: 1 урок.

Оборудование:— ноутбук; -компьютеры; -мультимедиапроектор; -экран; -диск с презентацией «Уравнения и неравенства»; -тесты с заданиями по теме «Уравнения и неравенства» (на бумажных носителях и в электронном виде).

План урока:

I. Организация класса.

Объявление темы и цели урока.

II.Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся с использованием презентации:

1) Повторение по теме «Уравнения» (слайд 2):  дать определение уравнения.  что называется корнем уравнения?  что значит решить уравнение?  рассмотрение примеров уравнений, изучаемых в курсе основной школы: линейные, дробно-рациональные, квадратные и как они решаются.

2) Рассмотрение всех видов уравнений, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов, их способов и алгоритмов решений: — Тригонометрические уравнения (слайды 3,4,5):  простейшие тригонометрические уравнения, таблица значений sinα, cosα, tgα, ctgα.  разбор примеров тригонометрических уравнений и способы их решений (простые, уравнения, приводимые к квадратным, уравнения с разложением на множители, однородные уравнения I степени, однородные уравнения II степени).

— Иррациональные уравнения (слайды 6,7):

• определение иррационального уравнения, примеры, рассмотрение алгоритмов 2 способов решения уравнений.
• разбор примеров решения иррациональных уравнений по I и II способам.

— Показательные уравнения (слайды 8,9):

• определение показательного уравнения, разбор количества корней уравнения, рассмотрение алгоритма решения простейшего показательного уравнения.
• разбор примеров решения уравнений: простые уравнения, уравнения с применением свойств степеней, уравнения, приводимые к квадратным.

— Логарифмические уравнения (слайды 10,11,12):

• определение логарифмического уравнения, примеры, рассмотрение алгоритмов 2 способов решения уравнений.
• разбор примеров решения уравнений: простые уравнения, уравнения, приводимые к квадратным, уравнения с применением свойств логарифмов.

3) Повторение по теме «Неравенства» (слайд 13):

• дать определение неравенства.
• что значит решить неравенство?
• примеры решения неравенств основной школы, рассмотрение свойств неравенств и способы решения линейных неравенств, неравенств II степени, дробно-рациональных неравенств.

4) Рассмотрение всех видов неравенств, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов, их способов и алгоритмов решений:

— Показательные неравенства (слайд 14,15):  примеры неравенств, рассмотрение алгоритма решения показательных неравенств.  разбор примеров решения неравенств: простые неравенства, неравенства, приводимые к квадратным. — Логарифмические неравенства (слайд16,17):  примеры неравенств, рассмотрение алгоритма решения логарифмических неравенств.  разбор примера решения неравенств.

5) Рассмотрение способов решения систем уравнений (слайд 18).

III. Выполнение теста

(тест на бумажном носителе, содержащий части А, В и С тестов ЕГЭ) (слайд 19).

VI. Подведение итогов тестирования

(самопроверка) (слайд 20).

V. Домашнее задание:

выполнение оставшихся заданий теста на бумажном носителе и по желанию проверка своих знаний с помощью электронных тестов по всем темам (почти у всех учащихся 11 класса есть дома компьютеры, поэтому и презентация и тесты розданы всем на электронных носителях, у кого нет компьютера могут позаниматься в школе)

VI. Итоги урока (рефлексия).