Презентация приведенные квадратные уравнения теорема виета

Приведенное квадратное уравнение.
презентация к уроку по алгебре (8 класс)

Первый урок по данной теме.Знакомство с теоремой.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета

Франсуа Виет (1540-1603) — французский математик Родился в 1540 году во Франции, выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. Переезжает в Париж. С 1571 года занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.

Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax 2 +bx+c=0 , а = 1 , то квадратное уравнение вида x 2 + p x+q=0 называется приведенным .

Формула корней приведенного квадратного уравнения 1,2

Формула корней приведенного квадратного уравнения x 1, 2 = — «Пэ» со знаком взяв обратным, А под корнем, очень кстати, Мы на два его разделим. Половина «пэ» в квадрате, И от корня аккуратно Минус «ку». И вот решенье Знаком плюс – минус отделим. Небольшого уравненья. P – четное число

Теорема Виета (Доказанная теорема названа по имени знаменитого математика Франсуа Виета) Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q .

Если х 1 и х 2 – корни уравнения x 2 + px + q = 0, то x 1 + x 2 = – p , x 1 ∙ullet x 2 = q Если х 1 и х 2 – корни уравнения x 2 + px + q = 0, то x 1 + x 2 = – p , x 1 ∙ullet x 2 = q Если х 1 и х 2 – корни уравнения x 2 + px + q = 0, то x 1 + x 2 = – p , x 1 ∙ullet x 2 = q x 2 + px + q = 0 Если х 1 и х 2 – корни уравнения x 2 + p x + q = 0 , то x 1 + x 2 = – p x 1 ∙ x 2 = q Теорема Виета

Познакомили поэта С теоремою Виета. Оба корня он сложил, Минус «пэ» он получил, А корней произведение Дает «ку» из уравнения .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

Систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, расширить и углубить представления учащихся о решении уравнений, организовать поисковую деятельно.

Решение приведенных квадратных уравнений.

В работе рассмотрены различные способы решения приведенных квадратных уравнений:I способ. Общая формула для вычисления корней.II способ. Корни уравнения при чётном коэффициенте b.III способ. Фор.

Конспект урока с использованием ЭОР по теме «Квадратные уравнения. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.»

Конспект урока с использованием ЭОР по теме «Квадратные уравнения. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.» 8 класс.

Приведенное квадратное уравнение

Презентация к уроку «Теорема Виета», конспект урока объяснение нового материала.

Разработка урока алгебры в 8 классе «приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета»

Разработка урока алгебры в 8 классе «приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета». Урок с использованием проблемной технологии и исследовательской работы.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

План уроков «Приведенное квадратное уравнение, теорема Виета»

План двух уроков алгебры в 8 классе по теме «Приведенное квадратное уравнение, теорема Виета» на основе учебника Алгебра 8 класс Колягина, Ткачева, Федорова, Шабунина (2013г).

«Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета». — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемschool44.tyumen-edu.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета».» — Транскрипт:

1 «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

2 Квадратные уравнения Произвольные произвольные квадратные уравнения приведенные квадратные уравнения полные неполные Формула корней квадратного уравнения D =? Х =?

3 Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения. Определение. Квадратное уравнение вида называется приведенным. Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице. Пример: Всякое квадратное уравнение может быть приведено к указанному виду. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на

4 Вывод формулы корней приведенного квадратного уравнения

5 Реши уравнения УравнениеКорни уравнения Сумма корней Произведение корней 1.х 2 + х –12 = 0 2.х х – 45 = 0 3.у 2 + 8у +15 = у 2 — 5у +6 = 0 5.z 2 -10z +21 = z 2 — 3z -10 = 0 3 и –4 15 и и –5 3 и 7 2 и 3 5 и Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Сделайте вывод.

6 Как связаны между собой корни квадратного трёхчленаи его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета. Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

7 Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену Теорема Виета: х 2 + рх + q= 0, х 1 + х 2 = -р, х 1 х 2 = q. Докажите теорему самостоятельно по следующему плану: 1. Запишите приведенное квадратное уравнение. 2. Запишите формулы его корней. 3. Найдите сумму и произведение его корней. 4. Сделайте вывод.

8 Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II. Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом. Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»

9 Если числа и таковы,… …что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх+ q = 0 Справедливо ли это утверждение? Сформулируем утверждение, обратное теореме Виета.

10 Пример: Найти корни уравнения х 2 — 5х + 6 = 0 Решение: p = -5; q = 6. x 1 + x 2 = 5, x 1 x 2 = 6; Значит, числа х 1 и х 2 положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3, значит, х 1 = 2, х 2 = 3 – корни уравнения. Ответ: 2; 3.

11 Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 ? По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова? В числителе с, в знаменателе а. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда! В числителе b, в знаменателе а. Запиши символами то, что сказано словами.

12 Для чего нужна теорема Виета? 1. Она позволяет находить подбором корни квадратного уравнения. 2. По данным двум числам составлять квадратное уравнение. практическое значение 3. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его. 4. Зная один из корней, найти другой. 5. Определить знаки корней уравнения.

13 Для чего нужна теорема Виета? Практическое значение: зная корни квадратного уравнения, запишем само уравнение Пример: т = 6, n = -2 ; х 2 + р х + q = 0. т + n = 6 +(-2)= 4, р = -4; т n = 6 (-2)= -12, q = -12. х 2 – 4 х –12 = 0

14 Запишите квадратное уравнение, корни которого равны: а) 3 и 4 ; б) — 2 и 5 ; в) 0,4 и 1,5 х 2 – 7х + 12 = 0 х 2 – 3х – 10 = 0 х 2 – 1,9х + 0,6 = 0 Проверь себя!

15 Подведение итогов Ответьте на вопросы: 1. Какие уравнения называются приведенными? 2. Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным? 3. Сформулируйте теорему Виета. 4. Зачем нужна теорема Виета? 5. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

16 Подведение итогов Ответьте на вопросы: 6. Чему равна сумма и произведение корней уравнения:

Презентация к уроку «Теорема Виета»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Какое уравнение называется квадратным? Какие виды квадратных уравнений вы знаете? Какое уравнение называется неполным квадратным? Какое уравнение называется приведенным? Что значит — решить уравнение? Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Какое выражение называют дискриминантом?

Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты 3у²-5у+1=0, 12х-7х²+4=0 -х²+х-3=0, Х²-7=0. Замените уравнение равносильным ему приведенным уравнением. 3х² — 6х-12=0, 2у² + у-7=0 0,5х² — 3х +1,5=0. Сколько корней имеет квадратное уравнение? Х²-64=0, У²+49=0, 2р²-7р=0, Х²=0

12х²+7х= — 7х²- 2х Из предложенных уравнений выберите приведенные квадратные уравнения Решить оставшиеся уравнения

Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на свет в маленьком французском городке. В 1560 году он окончил парижский университет и начал адвокатскую практику, через несколько лет перешел на государственную службу, став сначала советником короля Генриха ΙΙΙ, а затем рекетмейстером – докладчиком по ходатайствам. Но был небольшой промежуток времени, когда из-за происков врагов Виет был отстранен от военной службы и получил неожиданный досуг. В 1569 году покровитель Виета – король – был убит, и Виет стал служить новому королю. Жизнь его проходила на фоне кровавых событий войны, которую вели две мощные религиозные группировки католиков и протестантов – гугенотов. Достаточно сказать, что он пережил Варфоломеевскую ночь.

Сейчас нам трудно представить математику без формул и уравнений, но именно такой была она для Виета. Виет завершил создание буквенного исчисления, введя обозначения не только для неизвестного и его степени, но и для параметров. Это позволило записать целые классы задач, которые можно решать с помощью одного правила. Он встал у истоков создания новой науки – тригонометрии. Многие тригонометрические формулы, которые ныне изучают в курсе математики средней школы, впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал теорему косинусов. Четыре года опалы оказались необычайно плодотворными для Виета. Он работал самозабвенно. По рассказам современников Виет мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд. Только иногда забываясь сном на несколько минут. В тот период он начал большой труд, который назвал «Искусство анализа, или Новая алгебра». Книгу он не завершил, но главное, что определило развитие всей математики Нового времени, было написано.

Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1, называется приведенным квадратным уравнением. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. х2 + px + q = 0 х1 + х2 = — р х1 · х2 = q

Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1· x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x² – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1. Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 * 3 ; 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х1 = 1; х2 = с/а . . Пример. 5х² — 8х +3 = 0 так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1= 1; х2 = 0,6 Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 выполняется равенство а + с = в, то х1= -1; х2 = — с/а . Пример. 5х² + 8х +3 = 0 так как 5 + 3 = 8, то Х1 = — 1; Х2 = — 0,6

Х1 + Х2 = — р ; Х1 · Х2 = q Теорема Виета. Нет формулы важней. Для приведенного уравнения Р – это сумма корней, q – его корень произведения.

Пример 1: Приведенное уравнение x² – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. В нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10. Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Решить квадратное уравнение х² – 2х – 24 = 0. Решение. Применяем теорему Виета и записываем два тождества: Х1 · Х2 = –24 Х1 + Х2 = 2 Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим: 6 · (– 4) = –24. 6 + (– 4) = 6 – 4 = 2. Пример 2.

Решите уравнение: 5x² − 35x + 50 = 0. Перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x² − 7x + 10 = 0. Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x1 + x2 = −(−7) = 7; x1 · x2 = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

По праву достойна в стихах быть воспета О свойстве корней Теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого? Умножишь ты корни и дробь уж готова В числителе “С”, в знаменателе “А”. А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь – это что за беда? В числителе “В”, в знаменателе “А”.

Задание 1. У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение равно -11 х² — 6х + 11 = 0 х² + 6х — 11 = 0 х² + 6х + 11 = 0 х² — 11х — 6 = 0 х² + 11х — 6 = 0

Задание 2.) Если х1 = -5 и х2 = -1 — корни уравнения х² + px +q = 0, то 1) p = -6, q = -5 2) p = 5, q = 6 3) p = 6, q = 5 4) p = -5, q = -6 5) p = 5, q = -6 6) p = -6, q = -5

Задание 3. Сумма и произведение корней уравнения х² — 3х — 5 = 0 равны х1 + х 2= -3, х1 ∙ х2 = -5 х1 + х 2= -5, х1 ∙ х1 = -3 х1 + х 2= 3, х1 ∙ х2 = -5 х1 + х 2= 5, х1 ∙ х2 = -3

Устная работа У какого из данных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение-11 1.x²- 6x+11=0 2. x²+6x- 11=0 3. x²+6x+11=0 4. x²- 11x- 6=0 5. x²+11x- 6=0

Если х=-5 и х=-1 корни приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0? 1. р=-6 q=-5 2. p=5 q=6 3. p=6 q=5 4. p=-5 q =-6 5. p=6 q=5

Определите знаки корней данного уравнения x²+4x-12=0

Решите квадратное уравнение: x² − 9x + 14 = 0; x² − 12x + 27 = 0; 3x² + 33x + 30 = 0; −7x² + 77x − 210 = 0.

x² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета имеем: Х1 + Х2 = −(−9) = 9; Х1 ·Х2 = 14. Корни — числа 2 и 7; x² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное. По теореме Виета: Х1 + Х2 = −(−12) = 12; Х1 ·Х2 = 27. Корни: 3 и 9; 3x² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Разделим обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x²+ 11x + 10 = 0. По теореме Виета: Х1 + Х2 = −11; Х1 ·Х2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1; −7x² + 77x − 210 = 0 — коэффициент при x² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x² − 11x + 30 = 0. По теореме Виета: Х1 + Х2 = −(−11) = 11; Х1 ·Х2 = 30; ⇒ корни: 5 и 6.

Евклид (3 в. до н.э.) Древнегреческий математик, работал в Александрии. Главный труд «Начала»(15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

Диофант Александрийский (около 3 в.). Диофант — древнегреческий математик из Александрии (возможно, что он был эллинизированный вавилонянин). Мы очень мало знаем о нем. Автор трактата Арифметика в 13 книгах(сохранились 6 книг) посвященного главным образом исследованию неопределенных уравнений (т.н. диофантовых уравнений). Одним из первых Диофант стал использовать при записи алгебраических рассуждений специальные знаки. На результаты, полученные Диофантом, впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс и др.

Брахмагупта (около 598 – 660 г. г.) Последний и наиболее выдающийся из древних индийских математиков и астрономов. Родом из Удджайна в Средней Индии, где у него была астрономическая обсерватория. В 628 г. изложил четвертую индуистскую астрономическую систему в стихотворной форме в сочинении Открытие Вселенной (Брахма-спхута-сиддханта). Две его главы посвящены математике, в том числе арифметической прогрессии и доказательству различных геометрических теорем. Остальные 23 главы посвящены астрономии: в них описаны фазы Луны, соединения планет, солнечные и лунные затмения, даны расчеты положений планет. Труд Брахмагупты был переведен на арабский язык и таким образом попал в Египет, а оттуда в Европу. Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к форме ах2 + bх = с, а > 0. В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Памятник аль-Хорезми в Тегеранском университете. Мухаммад ибн Муса Хорезми (ок. 783 – ок. 850) – великий персидский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. Сведений о жизни ученого сохранилось крайне мало. Значительный период своей жизни он провел в Багдаде, возглавляя при халифе аль-Мамуне (сыне знаменитого Гаруна аль-Рашида) библиотеку «Дома мудрости». Согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма — с берегов Сыр-Дарьи) работал в первой половине 9 века. Главная книга Хорезми названа скромно: «Учение о переносах и сокращениях», то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит «Китаб аль-джебр валь-мукабала»; отсюда произошло наше слово «алгебра». Другое известное слово — «алгоритм», то есть четкое правило решения задач определенного типа — произошло от прозвания «аль-Хорезми». Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем — это «синус». Аль — Хорезми

В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх. «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с. «Корни равны числу», т. е. ах = с. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2. Для аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами аль-джабр и валь-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Если числа m и п таковы,… …что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + рх+ q = 0

Обратная теорема Виета Если два числа в сумме дают -р, а в произведении q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения х2+рх+q=0. С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно подбором найти корни квадратного уравнения .

Для чего нужна теорема Виета? 1. Она позволяет находить подбором корни квадратного уравнения. 2. По данным двум числам составлять квадратное уравнение.

а) 3 и 4 ; б) — 2 и 5 ; в) 0,6 и 1,5

Решить уравнение: Решить самостоятельно

Работа с учебником № 715, 717, 719, 721, 722 Домашнее задание Читать § 21, выполнить № 716, 718, 720, 723; подготовиться к контрольной работе