Презентация равносильность уравнений 10 класс

равносильные уравнения и неравенства
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Презентация предназначена для 10 класса по учебнику Колягина. В ней дается таблица, показывающая какие преобразования приводят к равносильным уравнениям.Рассматриваются примеры, когда происходит потеря корня или появляются посторонние корни.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Равносильные уравнения и неравенства

Актуализация знаний Решите уравнения: 6х-3=5х+12; ( х-8)/2=1; Какие преобразования вы использовали при решении уравнений?

Объяснение нового материала Задача №1 Найдите точки пересечения графиков функций У=3 √х и у=х+2

запомни определение примеры Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными 9х-5=5х+3 и 4х=8 (х-3)(х+7)=0 и х 2 +4х-21=0 (Х-2)(х+2)=0 и х 2 =4 уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными .

Объяснение нового материала Задача Решите уравнение √х=х-2 Х=(х-2) 2 Х=х 2 -2х+4 х 1 =4 , х 2 =1 Ответ: 4; 2.

запомни Если при переходе от одного уравнения к другому потери корня не происходит, то второе уравнения является следствием первого. Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

запомни При решении уравнений может произойти потеря корня При решении уравнений могут появиться посторонние корни . Их можно установить проверкой

Решение задач Решите уравнение

Решение задач Решите уравнение

запомни При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут появиться посторонние корни При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , может произойти потеря корня

Преобразования, приводящие к равносильному уравнению Примеры равносильных уравнений Перенос членов уравнения из одной части в другую с противоположными знаками 4х-3=2х+5 и 4х-2х=5+3 Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, или на выражение, имеющее постоянный знак при всех значениях неизвестного Замена части уравнения тождественно равным ему выражением Х(х+3)=0

Решение задач Выполнить №38 (1,3) стр.191 Выполнить № 39(1,3) Выполнить № 42(1),43(1)

Домашнее задание Выучить определения § 4 Выучить таблицу Выполнить № 38(2,4), № 41(2,4), №43(2,4)

Конспект урока по математике для 10-11 классов «Равносильность уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: «Равносильность уравнений».

Образовательная: ввести определение равносильности, следствия уравнения, записать теоремы равносильности.

Развивающая: развивать память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся, умение анализировать и сравнивать, развивать познавательный интерес к предмету, развивать умение выделять главное, логически излагать мысли .

Воспитательная: воспитывать коммуникативную культуру учащихся, навыки коллективной деятельности, сотрудничества, взаимопомощи , воспитание дисциплинированности, аккуратности записей в тетради, внимательности, активизировать деятельность учащихся на уроке.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудования: учебники, блокноты, интерактивная доска, карточки с заданиями.

Формулирование новой темы, определение основных целей.

Объяснение нового материала.

Закрепление нового материала.

а) Решение примеров.

б) Работа в группах.

в) Самостоятельная работа.

Приветствие, проверка отсутствующих в группе. Проверка выполнения домашнего задания. Как справились с домашним заданием? Что вызвало затруднение?

Формулирование новой темы, определение основных целей.

Сегодня мы с вами рассмотрим тему: «Равносильность уравнений». Узнаем, что такое равносильность уравнений, дадим определение «равносильности», запишем с вами определения и теоремы равносильности, порешаем примеры, в конце занятия напишем самостоятельную работу.

Давайте вместе с вами посмотрим на слайд и распознаем, какие из этих примеров являются уравнениями, какие неравенствами и системами.

а) Уравнение

б) Неравенство

в) Система

г) Неравенство

д) Уравнение

е) Система неравенства

Что вы понимаете под словом «уравнение»? И под словом «равносильность»?

Объяснение нового материала.

Изучая курс алгебры, мы постоянно решали уравнения и неравенства с одной переменной, системы уравнений с двумя переменными, системы неравенств с одной переменной. В сегодняшней теме мы снова обращаемся к уравнениям, чтобы рассмотреть их с самых общих позиций.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) =h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Закрепление нового материала.

а) Решение примеров.

№ 1663, № 1665(а, б), № 1667, № 1673 (а, б, в), № 1674 (а, г), № 1675(б, в)

б) Работа в группах.

Придумайте 2 уравнения, равносильных уравнению:

а) sinx =5 б)

а) б) 3(х-2)=5х+9

Найдите корни уравнения:

а) б)

Придумайте 2 уравнения, равносильных уравнению:

а) tgx=2 б)

а) б) 4(х+3)=2х-6

Найдите корни уравнения:

а) б)

Придумайте 2 уравнения, равносильных уравнению:

а) ctg x =9 б)

а) б) 5(х-3)+4х=6(х-8)

Найдите корни уравнения:

а) б)

в) Самостоятельная работа.

Сегодня мы с вами рассмотрели тему: «Равносильность уравнений». Узнали, что такое равносильность уравнений, дали определение «равносильности», записали с вами определения и теоремы равносильности, порешали примеры, в конце занятия написали самостоятельную работу, результаты которой сообщу на следующей паре.

1. Было ли интересно на уроке? 2. Все ли было на уроке понятно?

Читать § 55 по учебнику; решить уравнения № 1665(в), № 1674 (б), № 1675 (г) по задачнику .

Презентация «Равносильность уравнений»

Документы в архиве:

Название документа 23.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Пример 1. Выяснить, являются ли уравнения х2 – 1 = 0 и х –1 = 0 равносильными? Решение. х2 – 1 = 0; х1 = 1, х2 = –1; х – 1 = 0; х = 1; Ответ: уравнения х2 – 1 = 0 и х – 1 = 0 не являются равносильными.

Пример 2. Выяснить, являются ли уравнения х2 – 9 = 0 и (х + 3)(2х – 8) = 0 равносильными? Решение. Ответ: уравнения х2 – 9 = 0 и (х + 3)(2х – 8) = 0 являются равносильными. х2 – 9 = 0; х1= 3, х2= –3; (х + 3)(2х – 8) = 0; х1= 3, х2= –3;

Решение. х2 + 3 = 0 – не имеет корней;

Если каждый корень уравнения f(x) = g(х) (1) является в то же время корнем уравнения р(х) = h(х) (2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Пример 4. Выяснить, какое из уравнений х – 2 = 0 и х2 – 5х + 6 = 0 является следствием другого? Решение. Ответ: уравнение х2 – 5х + 6 = 0 является следствием уравнения х – 2 = 0. х – 2 = 0; х = 2; х2 – 5х + 6 = 0; х1 = 2; х2 = 3;

Пример 5. Выяснить, какое из уравнений х2 – 4х + 3 = 0 и х2 – 5х + 6 = 0 является следствием другого? Решение. Ответ: ни одно из уравнений не является следствием другого. х2 – 4х + 3 = 0; х1=1; х2= 3; х2 – 5х + 6 = 0; х1 = 2; х2 = 3;

Запомни: если каждое из двух уравнений является следствием другого, то такие два уравнения равносильны.

Первый этап – технический. Второй этап – анализ решения. Третий этап – проверка.

Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению. Теорема 1. х5 + 3х2 – 7 = 4х + 10; х5 + 3х2 – 4х = 17.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению. Теорема 2.

Показательное уравнение аf(x) = аg(x), где а > 0, a≠1, равносильно уравнению f(x) = g(х). Теорема 3.

Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х, при которых одновре­менно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое: 1. имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х); 2. нигде в этой области не обращается в 0; то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ. Теорема 4.

Решение. 2х – 1 ≥ 0; х + 3 ≠ 0; х ≥ 0,5;

Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение (f(x))n=(g(x))n равносильное данному в его ОДЗ. Теорема 5.

Решение. 6х – 11=(х – 1)2 ; х1 = 6, х2 = 2.

Пусть а > 0, a ≠ 1 и f(х) > 0, g(х) > 0,, то логарифмическое уравнение loga f(x) = loga g(x) равносильно уравнению f(x) = g(х). Теорема 6.

Пример 8. Решить уравнение log7 (3х2+2) = log7 (4|х|+1). Решение. f(х) = 3х2+2; g(х)= 4|х|+1; 3х2 + 2 = 4|х| + 1;

Краткое описание документа:

В презентации по алгебре для 11-го класса рассмотрим понятие равносильных уравнений, их свойства и теоремы, разберем решение примеров.

Для начала дадим определение равносильности уравнений (слайд 1) и рассмотрим несколько примеров.

В примерах 1 и 2 необходимо определить, равносильны ли два уравнения. В примере 1 корни уравнений разные, поэтому уравнения не равносильны. В примере 2 уравнение имеют одинаковые решения, следовательно, являются равносильными.

В примере 3 рассмотрен случай, когда два заданные уравнения не имеют корней. Но они являются равносильными, т.к. имеют одинаковые решения.

Далее автор обращает внимание на утверждение о следствии (слайд 5) – при каких условиях одно уравнение является следствием другого.

Посмотрим на примеры в презентации. В примере 4 даются два уравнения, нужно выяснить, какое из уравнений является следствием другого. Найдем корни уравнений. Т.к. корень первого уравнения одновременно является корнем второго, значит второе уравнение – это следствие первого.

В примере 5 также нужно определить, какое из двух уравнений является следствием. Уравнения имеют разные решения. Условия, при которых одно уравнение будет следствием другого, не выполняются. Значит, первое уравнение не будет следствием второго, и наоборот.

Решать уравнения удобно в несколько этапов:

– записать равносильное уравнение, найти его решения;

– проанализировать найденные решения;

Перейдем к изучению теорем. В теоремах 1-6 о равносильности уравнений утверждается, каким образом можно получить уравнение, равносильное заданному.

Для нахождения равносильного уравнения, можно применить следующие способы:

1) перенести один из членов уравнения из одной части в другую;

2) возвести части уравнения в одинаковую нечетную степень;

3) записать равенство степеней: уравнение f (x) = g (x) равносильно a f ( x ) = a g ( x ) ;

4) умножить части уравнения на одинаковое значение h (x);

5) возвести части уравнения в одинаковую четную степень;

6) f (x) и g (x) больше нуля, то уравнение f (x) = g (x) равносильно уравнению log_af(x) = log_ag (x).

Теоремы более развернуто показаны на слайдах презентации, в некоторых теоремах необходимо обращать внимание на область определения уравнения, значение выражения, на которое умножаются части уравнения, и другие условия.

Пример 6. Выяснить, являются ли равносильными два уравнения. Для первого уравнения запишем, что подкоренное выражение больше или равно нулю, а делитель (x +3) не равен нулю. Тогда x будет больше или равен 0,5. Умножив обе части первого уравнения на (x +3), получим уравнение, равносильное второму.

В примере 7 показано решение уравнения, когда применяется способ возведения его частей в четную степень.

В примере 8 рассмотрено решение уравнения с применением утверждения по теореме 6.