Презентация решение алгебраических уравнений 10 класс алимов

Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемАлевтина Хмелева

Похожие презентации

Презентация на тему: » Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.» — Транскрипт:

1 Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

2 Задача. Решить уравнение х³ 7 х + 6 = 0. Решение. 1) Подберём корень уравнения: х = 1: 1³ = 0 верно. 2) Разделим : х³ 7 х + 6 на х 1 х³ 7 х + 6 х 1 х² х³ х² х² 7 х + х х² х 6 х ) Перепишем уравнение х³ 7 х + 6 = 0 в виде (х 1) (х² + х 6) = 0 и решим его: х 1 = 0 или х² + х 6 = 0, откуда х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3. Ответ: 1, 2, 3.

3 Уравнение х³ 7 х + 6 = 0 называют алгебраическим уравнением третьей степени или кубическим уравнением. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение Рn ( х ) = 0, где Рn ( х ) многочлен степени n 1. Каждый корень уравнения Рn ( х ) = 0 называют нулём или корнем многочлена Рn ( х ). 1, 2, 3 нули многочлена Р 3 ( х ) = х³ 7 х + 6

4 В уравнении х³ 7 х + 6 = 0 корни 1, 2, 3 являются делителями свободного члена 6 этого уравнения. Вывод: целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, (если они есть), нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения. Этот вывод подтверждает теорема 1: если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

5 Решить уравнение х³ х² 8 х + 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ х² 8 х ) Делители 6: ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= целый корень уравнения 4) х³ х² 8 х + 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² 8 х + 2 х 2 х² 6 х 2 х х + 6 5) Найдём другие корни: х² + 2 х 2 = 0, D 1 = = 3; х = 1 ± Ответ: 3; 1 ±

6 Решить уравнение 6 х³ + 11 х² 3 х 2 = 0. Решение. 1) Р(х) = 6 х³ + 11 х² 3 х 2. 2) Делители ( 2) : ±1; ± 2. 3) Р(1)= ; Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(2)= ; 4) 6 х³ + 11 х² 3 х 2 х х²6 х³ + 12 х² х² 3 х х х² 2 х х ) Другие корни уравнения: 6 х² х 1 = 0, D = = 25; х 1 = ; х 2 = ½. Ответ: 2; ; ½. 2 целый корень уравнения

7 Решить уравнение х³ 5 х² + 8 х 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ 5 х² + 8 х 6. 2) Делители ( 6) : ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= ) х³ 5 х² + 8 х 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² + 8 х 2 х 2 х² + 6 х 2 х х 6 5) Другие корни: х² 2 х + 2 = 0, D 1 = 1 2 = 1; других корней нет. Ответ: 3. 3 целый корень уравнения

8 11 (2). Решить уравнение 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 = 0. Решение. 1) Р(х) = 9 х³ + 12 х² 10 х ) Делители 4: ±1; ± 2; ± 4. 3) Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(4)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(4)= ) 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 х х² 9 х³ + 18 х² 6 х² 10 х 6 х 6 х² 12 х 2 х х + 4 5) Другие корни: 9 х² 6 х + 2 = 0, D 1 = 9 18 = 9; других корней нет. Ответ: 2. 2 целый корень уравнения

9 Уравнение ах³ 2 х² 5 х + b = 0 имеет корни х 1 = 1, х 2 = 2. Найти а, b и третий корень уравнения. Решение. 1) х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравнения, значит: при х 1 = 1: а b = 0, откуда а = 7 b. при х 2 = 2 : 8 а b = 0, откуда b = 8 а 2. Тогда а = 7 8 а + 2, 9 а = 9, а = 1, b = 6 и уравнение принимает вид : х³ 2 х² 5 х + 6 = 0. х³ 2 х² 5 х + 6 разделим на (х 1 )(х 2 ) = (х 1)(х+2) (х 1)(х + 2) = х² + х 2, чтобы найти третий корень уравнения.

10 х³ 2 х² 5 х + 6 х² + х 2 х х³ + х² 2 х 3 х² 3 х х 3 = 0, х = 3. Ответ: а = 1, b = 6; х 3 = 1

11 Решение алгебраических уравнений, взятых из сборника заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе (авт. Л. В. Кузнецова и др.).

12 х² 3 х + 2 х² + 3 х 18 0 Другие корни: х² + 3 х 18 = 0; х 3 = 6, х 4 = 3. Ответ: 1; 2; 6; (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Заметим, при х = 1 и х = 2 левая часть уравнения равна 0, тогда х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравн. Разделим многочлен на произведение (х 1)(х 2) =х² 3 х + 2:

13 2.23 (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Перепишем уравнение: Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю (другие при этом существуют). 1) х 1 = 0; пусть х² = а тогда а² 9 а + 20 = 0, где а 1 = 4; а 2 = 5. Получаем: х ² = 4, тогда х 2 = 2, х 3 = 2; х ² = 5, тогда Ответ: 0; ± 2;

14 Интересные факты, связанные с решением алгебраических уравнений. Рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Это можно сделать, если удастся найти некоторые корни уравнения. Но, есть два главных вопроса: 2) Как его найти? 1) всегда ли алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень?

15 Эти трудные вопросы рассматриваются в специальном разделе математики «Высшая алгебра». Основной теоремой высшей алгебры является следующая теорема. Теорема 2. На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. Напомним, о появлении комплексных чисел: среди известных действительных чисел не оказалось числа, квадрат которого равен минус единице. Пришлось расширить множество действительных чисел, добавив к ним число i, которое назвали мнимой единицей. Итак, i ² = 1.

16 Числа, полученные умножением ранее известных чисел на мнимую единицу, например, 5 i или i, стали называть мнимыми, а суммы действительных и мнимых чисел, таких как i, 7 i +14, 8 3 i, стали называть комплексными числами. На протяжении многих веков выдающиеся математики развивали теорию решения алгебраических уравнений. Одним из первых основную теорему высшей алгебры сформулировал в 1629 г голландский математик Альбер Жирар, но первое строгое доказательство дал лишь в 1799 г немецкий математик Карл Гаусс. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге «Арифметика» греческого математика Диофанта в III в.

17 Формулы корней кубического уравнения впервые опубликованы в 1545 г итальянским математиком Джероламо Кардано. В том же 1545 г другим итальянским математиком Лудовико Феррари был найден способ решения уравнений 4-й степени. Однако практически найти хотя бы один корень любого алгебраического уравнения удаётся чрезвычайно редко. Более того, доказано, что в общем случае нет и не может быть способа нахождения хотя бы одного корня алгебраического уравнения, несмотря на то, что по теореме 2 такой корень существует.

18 Нами был рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Для этого приходилось делить многочлен на двучлен х а. Схема Горнера. Существенно сократить и упростить вычисления помогает один несложный приём сокращённого деления, называемый схемой Горнера (Горнер Вильямс Джордж английский математик ). Покажем его практическое применение на конкретном примере.

19 Многочлен х³ х² 8 х + 6 1) разделить на х 3; 2) представить в виде произведения В n первых клетках второй её строки мы получаем коэффициенты частного, расположенные в порядке убывания степеней х; в (n + 1) — й клетке получаем остаток от деления. х³ х² 8 х + 6 = (х 3) (х² + 2 х 2). а 1 а 1 b2b2 а 2 а 2 а 3 а 3 а 0 а 0 b1b1 b0b0 R Построенная таблица и называется схемой Горнера.

20 Схема Горнера. 1. В верхней строке таблицы записываем коэффициенты при х, располагая их в порядке убывания степеней, если соответствующая порядку степень отсутствует, то соответствующий коэффициент равен Перед таблице записываем известный целый корень многочлена. 3. Нижнюю строку таблицы заполняем по правилу: а) значение первого коэффициента переписываем; б) в каждой следующей клетке записываем число, равное сумме коэффициента, стоящего над ним и произведения числа, расположенного перед таблицей, на число находящееся в соседней слева клетке.

Презентация урока по алгебре 10 класс «Два основных метода решения тригонометрических уравнений»
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Презентация к уроку по алгебре 10 класс «Два основных метода решения тригонометрических уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 4» Учитель математики МАОУ СОШ № 4 Г. Покачи Мухамедгалина Р.Р. Мультимедийная разработка урока по алгебре 10 класс

Тема урока: Два основных метода решения тригонометрических уравнений. Оборудование: мультимедиа-проектор, презентация. Тип урока: урок формирования новых знаний. Форма урока: комбинированная.

Цели урока: 3 образовательные: повторение и расширение сведений учащихся о тригонометрических уравнениях и способах их решения; воспитательные: воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, умения обобщать и систематизировать. развивающие: развитие умений самостоятельно приобретать новые знания и использовать уже полученные для решения более сложных задач;

План урока: Организационная работа на уроке ( 5 мин. ), 4 Актуализация опорных знаний (7 мин.), IV . Закрепление изученного материала (17 мин.), VI . Рефлексия, итог урока (3 мин.). III . Объяснение нового материала (10 мин.), V . Домашнее задание (3 мин.),

Ход урока. Организационный момент. Цель этапа: создание эмоционально-психологического настроя на работу; 2) определить содержательные рамки урока; 3) познакомить с историей возникновения тригонометрических уравнений. Вступительное слово учителя. Историческая справка, подготовленная учащимся. 5

Гиппарх Никейский, предполагаемый автор первых тригонометрических таблиц Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели к необходимости разработки способа вычисления элементов геометрических фигур, по известным значениям других их элементов, найденных путем непосредственных измерений. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: ( тригонон ) – треугольник, ( метрейн ) – измерение. Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II веке до н.э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. Историческая справка

Развитию аналитической теории тригонометрических функций содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основоположником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории было положено в XIX в. Н. И. Лобачевским и другими учёными. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения. Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение. Историческая справка

Актуализация опорных знаний. Цель этапа: уточнение основных понятий, коррекция знаний по изученной ранее теме «Решение простейших тригонометрических уравнений»; развитие внимания, памяти; развитие умений математически грамотно выражать свою мысль. Теоретический опрос (устный). 8

9 Теоретический опрос С какими функциями вы познакомились на прошлом уроке? Назовите аналитические и графические модели данных функций. В каких реальных ситуациях нашли применение данные функции? Перечислите основные свойства функций. Какие виды задач вы умеете решать?

На какие вопросы надо уметь отвечать при изучении функции: Имя функции Модели (аналитическая и графическая) Реальные ситуации, которые могут быть описаны с помощью этой функции Свойства функции Типы задач Тригонометрические y=cosx, y=sinx, y=tgx, y=ctgx Косинусоида, синусоида, тангенсоида, котангенсоида Гармонические колебания Область определения, периодичность, четность-нечетность, промежутки возрастания (убывания), ограниченность, наименьшее и наибольшее значения, непрерывность, множество значений Построить график функции, прочитать график функции, решить уравнение, решить неравенство

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности? sin x = 1/2 1.

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности? cos x = √ 2 /2 2.

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности? tg x = — √ 3 / 3 3 .

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности? ctg x = √ 3 4 .

Проблема… sint =-2 cost=0,7 sint =-0,3 Решение данной проблемы – это задача на следующий урок!

Изучение нового материала. Цель этапа: 1) выделить новые типы уравнений, которые можно решить на основе имеющихся знаний и указать способы их решения (попытаться свести к ранее известным алгебраическим уравнениям); 2) способствовать формированию применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти. 16

На какие вопросы надо уметь отвечать при изучении нового вида уравнения: Что называется таким уравнением (его вид)? Что называется корнем (решением) уравнения? Что значит решить уравнение? Способы решения.

Разбейте уравнения на группы, объединив по каким-либо признакам: 4х= ; х 2 = ; х (1-х)=0; 2х 2 + 3 х -2 =0; 2х- =0; (2х- )(х+1)=0; | x -1|=1; cos 2 x= ; |cost-1|=1; 2cos х — =0; 2sin 2 t+3sint-2=0; sin 4х= ; (2sint- )(cost+1)=0; tgx (1-sinx)=0; cos 2 x-sin 2 x-cosx=0. 4х = х 2 = ; х (1-х)=0; 2х 2 + 3 х -2 =0; 2х- = 0; (2х- )(х+1 )=0; | x -1|=1;

По каким признакам вы объединили уравнения? 1 вариант: линейные: 1; 5 квадратные: 2; 4 рациональные: 3; 6 с модулем: 7; 9 тригонометрические: 8-15 2 вариант: линейность: 1 и 12; 5 и 10; квадратичность: 2 и 8; 4 и 11; 15 рациональность: 3 и 14; 6 и 13 модуль: 7 и 9

Метод введения новой переменной. Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение. Пример: решить уравнение 2 sin 2 + 3 sin —2 = 0. Это уравнение является квадратным относительно sinx . Его корни: sinx =1/2 , sinx = -2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как | sinx | Мне нравится

Презентация к уроку алгебры в 10 классе «Системы показательных уравнений и неравенств» (учебник Алимова и др.)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Системы показательных уравнений и неравенств

у 1 =3
х 1 =−7
х 2 =1
у 2 =−1

Пусть 𝟐 х =𝒖, 𝟑 𝒚 =𝒗, тогда
нет решения

Проверочная работа.
Вариант 1.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 898 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 14. Системы показательных уравнений и неравенств

Другие материалы

• 01.10.2021
• 577
• 154

• 01.10.2021
• 1866
• 592

• 01.10.2021
• 2815
• 604

• 01.10.2021
• 1008
• 185

• 30.09.2021
• 117
• 0

• 30.09.2021
• 116
• 0

• 30.09.2021
• 834
• 7

• 30.09.2021
• 672
• 24

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.10.2021 1007
• PPTX 761.2 кбайт
• 284 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Артемьева Оксана Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 19870
• Всего материалов: 21

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Рособрнадзоре рассказали, как будет меняться ЕГЭ

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: управление детским садом, коучинг, немецкий язык и другие

Время чтения: 18 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.