Презентация решение квадратных уравнений по теореме виета

Решение квадратных уравнений сприменением теоремы Виета.
презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме

Материал к уроку по теме «Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета» представлен в виде презентации, содержит задание для устного счета на применение теоремы Виета, самостоятельную работу с проверкой ответов. самостоятельную работу по решению квадратных и дробных рациональных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение квадратных у равнений С применением теоремы Виета Г.Серпухов, школа№7

1) x 2 +6x+8=0 x=-2; x=-4 2) x 2 -10x+9=0 x=9; x=1 3) x 2 -8x+7=0 x=7; x=1 4) x 2 -x-2=0 x=2; x=-1 5) x 2 -3x+2=0 x=2; x=1 6) x 2 +x-2=0 x=-2; x=1 7) x 2 +14+48=0 x=-6; x=-8 8) x 2 -2x+1=0 x=1 Франсуа Виет 9) Разложите на множители: a) x 2 +x-2= б) x 2 +14+48= (x+2)(x-1) (x+6)(x+8)

Самостоятельная работа 1в. 2в. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 6 *. Разложите многочлены на множители а) а) б) б) 5. Решите уравнение

7. Сократите дробь: 1в. 2в. ; 8. Найти второй корень уравнения и значение а, если один корень равен 2 8. Найти второй корень уравнения и значение q , если один корень равен -3 9* . Не решая уравнения 2x 2 +2x-3=0, найдите:

Ответы 1в. 2в. 1 . 2,4; 2,-1; 2 . 3 . 4 . 3,1; -2,-1; 7,1; 2,1; -6,4; -3,1; 5 . (x-31)(x-1) a) (x-6)(x-8) б ) x(x-2)(x-1) x(x-7)(x-1) 6 . 7 . 9*. 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . a) б ) 6 . 8. a) -1 a) 9*. -1,5 б ) б ) 1,5 8. 7 . -6,-5,0,1. -6,-5,0,1.

Решение квадратных и дробных рациональных уравнений. 1в. 1) X 2 =4 ; 2 ) X 2 -9=0 ; 3 ) 0,5X 2 =0 ; 4 ) X 2 -5=0 ; 5 ) X 2 +4=0 ; 6 ) X 2 +3x=0 ; 7 ) (x-2)(x+3)=0 ; 8 ) x 2 -5x+6=0 ; 9 ) (X 2 +4)( X 2 -5)=0 ; 10 ) X 3 -5x 2 +6x=0 ; 11 ) (X 2 -5)(x 2 -4x+3)=0 ; 12 ) X 2 ( x 2 -5x+6)=9( x 2 -5x+6) ; 13 ) 14 ) 15 ) 16 ) 17 )

Ответы 1в. 1) 2;-2; 2) 3; -3; 3) √5; -√5; 4) 0; 5) нет корней 6) 2;-3; 7) 0;-3; 8) 2; 3; 9) √5; -√5; 10) 0; 2; 3; 11) √5; -√5; 1; 3 12) -3; 2; 3; 13) нет корней 14) -3; 15) 0; 16) 2; 17) √5; 3

Задачи на применение теоремы Виета

Найти второй корень уравнения и значение a, если один корень равен 2: x 2 +ax-12=0 Решение. По теореме Виета x 1 ·x 2 =-12 т.к. x 1 =2, то 2·x 2 =-12; x 2 =-6 . x 1 +x 2 =-a, 2 – 6 =-a, -4 = -a, a = 4 Ответ: x 2 =-6, a=4.

Один из корней уравнения 2x 2 +10x+q=0 на 3 меньше другого. Найдите корни Уравнения и свободный член q. Решение. x 2 +5x+0,5q=0 X 1 -1 корень x 2 = x 1 +3 -2 корень По теореме Виета x 1 +x 2 =-5, x 1 +x 1 +3=-5, 2x 1 =-8, x 1 =-4, x 2 =-4+3=-1 x 1 ·x 2 =0,5q -4·(-1)=0,5q 4 = 0,5q q=4 : 0,5 q = 8 Ответ: x 1 =-4,x 2 =-1,q=8.

Обучающая самостоятельная работа Решив каждое задание, выберите букву, соответствующую вашему ответу.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по теме: «Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений»

Урок по теме «Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений» это урок закрепления и обощения знаний. На данном уроке я использую частично-поисковый метод. Для закрепления материала использ.

Конспект к уроку алгебры в 8 классе по учебнику Алимов Ш.А. ТЕМА УРОКА «Решение квадратных уравнений. Теорема Виета»

Информационные технологии на уроках математики.Урок в системе деятельностного подхода обучения. Включает в себя слайдовую презентацию, с помощью которой можно активизировать познавательный интерес уч.

Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета

Решение квадратных кравнений с применением теоремы Виета.

Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме Виета

В данной публикации рассматривается метод быстрого решения квадратных уравнений общего вида. Дан алгоритм решения и метод краткости рассуждений. — Наличие своих технологических «находок».

Конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета»

Презентация к уроку по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета»

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

Теорема Виета (презентация)

Презентация по теме: «Теорема Виета», презентация предназначена для учащихся 8 класса при изучении нового материала, содержит 15 слайдов, которые помогут ввести теорему, отработать на практике, презентация содержит слайды на повторение теоретического материала, устную работу, задания для закрепления, историческую справку об ученом

Просмотр содержимого документа
«Теорема Виета (презентация)»

1. Сформулируйте определение квадратного уравнения; 2. Назовите виды квадратных уравнений; 3. Расскажите алгоритм решения квадратного уравнения по формуле.

Назовите корни уравнений:

Укажите коэффициенты квадратных уравнений

Найдите сумму и произведение корней

• Француз, жил в конце XVI — начале XVII веков, по профессии юрист, был адвокатом, советником королей Генриха III и IV. Во время войны Франции и Испании раскрыл шифры испанской тайной почты, за что испанская инквизиция приговорила ученого к сожжению на костре, провозгласив, колдуном и вероотступником. К счастью Генрих IV его не выдал священникам. Математик. Им была сформулирована теория синусов, без доказательства сформулировал всю систему плоской и сферической тригонометрии. “Отец алгебры” — так называют его за введение в эту науку буквенной символики, ввёл систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Выводы о корнях квадратного уравнения он сформулировал в виде теоремы и доказал её.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения и равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше , скажи, постоянства такого?

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

И сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда-

х 1 и х 2 корни квадратного уравнения; применяя теорему Виета составьте квадратные уравнения

Чему равна сумма и произведение корней уравнения:

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p , а произведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения

m+n=11 mn=18 нетрудно догадаться, что m=9 n=2

Определите корни квадратного уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета:

Квадратным уравнением называется уравнение вида а +bx+c=0 , где х- переменная, а, b ,с- некоторые числа, причём а 0.

• с – свободный член.

Приведенные квадратные уравнения

Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле:

• 1. Вычислить дискриминант по формуле

и сравнить его с нулём;

• 2. Если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой:

• 3. Если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Презентация к уроку «Теорема Виета»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Какое уравнение называется квадратным? Какие виды квадратных уравнений вы знаете? Какое уравнение называется неполным квадратным? Какое уравнение называется приведенным? Что значит — решить уравнение? Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Какое выражение называют дискриминантом?

Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты 3у²-5у+1=0, 12х-7х²+4=0 -х²+х-3=0, Х²-7=0. Замените уравнение равносильным ему приведенным уравнением. 3х² — 6х-12=0, 2у² + у-7=0 0,5х² — 3х +1,5=0. Сколько корней имеет квадратное уравнение? Х²-64=0, У²+49=0, 2р²-7р=0, Х²=0

12х²+7х= — 7х²- 2х Из предложенных уравнений выберите приведенные квадратные уравнения Решить оставшиеся уравнения

Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на свет в маленьком французском городке. В 1560 году он окончил парижский университет и начал адвокатскую практику, через несколько лет перешел на государственную службу, став сначала советником короля Генриха ΙΙΙ, а затем рекетмейстером – докладчиком по ходатайствам. Но был небольшой промежуток времени, когда из-за происков врагов Виет был отстранен от военной службы и получил неожиданный досуг. В 1569 году покровитель Виета – король – был убит, и Виет стал служить новому королю. Жизнь его проходила на фоне кровавых событий войны, которую вели две мощные религиозные группировки католиков и протестантов – гугенотов. Достаточно сказать, что он пережил Варфоломеевскую ночь.

Сейчас нам трудно представить математику без формул и уравнений, но именно такой была она для Виета. Виет завершил создание буквенного исчисления, введя обозначения не только для неизвестного и его степени, но и для параметров. Это позволило записать целые классы задач, которые можно решать с помощью одного правила. Он встал у истоков создания новой науки – тригонометрии. Многие тригонометрические формулы, которые ныне изучают в курсе математики средней школы, впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал теорему косинусов. Четыре года опалы оказались необычайно плодотворными для Виета. Он работал самозабвенно. По рассказам современников Виет мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд. Только иногда забываясь сном на несколько минут. В тот период он начал большой труд, который назвал «Искусство анализа, или Новая алгебра». Книгу он не завершил, но главное, что определило развитие всей математики Нового времени, было написано.

Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1, называется приведенным квадратным уравнением. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. х2 + px + q = 0 х1 + х2 = — р х1 · х2 = q

Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1· x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x² – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1. Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 * 3 ; 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х1 = 1; х2 = с/а . . Пример. 5х² — 8х +3 = 0 так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1= 1; х2 = 0,6 Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 выполняется равенство а + с = в, то х1= -1; х2 = — с/а . Пример. 5х² + 8х +3 = 0 так как 5 + 3 = 8, то Х1 = — 1; Х2 = — 0,6

Х1 + Х2 = — р ; Х1 · Х2 = q Теорема Виета. Нет формулы важней. Для приведенного уравнения Р – это сумма корней, q – его корень произведения.

Пример 1: Приведенное уравнение x² – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. В нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10. Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Решить квадратное уравнение х² – 2х – 24 = 0. Решение. Применяем теорему Виета и записываем два тождества: Х1 · Х2 = –24 Х1 + Х2 = 2 Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим: 6 · (– 4) = –24. 6 + (– 4) = 6 – 4 = 2. Пример 2.

Решите уравнение: 5x² − 35x + 50 = 0. Перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x² − 7x + 10 = 0. Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x1 + x2 = −(−7) = 7; x1 · x2 = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

По праву достойна в стихах быть воспета О свойстве корней Теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого? Умножишь ты корни и дробь уж готова В числителе “С”, в знаменателе “А”. А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь – это что за беда? В числителе “В”, в знаменателе “А”.

Задание 1. У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение равно -11 х² — 6х + 11 = 0 х² + 6х — 11 = 0 х² + 6х + 11 = 0 х² — 11х — 6 = 0 х² + 11х — 6 = 0

Задание 2.) Если х1 = -5 и х2 = -1 — корни уравнения х² + px +q = 0, то 1) p = -6, q = -5 2) p = 5, q = 6 3) p = 6, q = 5 4) p = -5, q = -6 5) p = 5, q = -6 6) p = -6, q = -5

Задание 3. Сумма и произведение корней уравнения х² — 3х — 5 = 0 равны х1 + х 2= -3, х1 ∙ х2 = -5 х1 + х 2= -5, х1 ∙ х1 = -3 х1 + х 2= 3, х1 ∙ х2 = -5 х1 + х 2= 5, х1 ∙ х2 = -3

Устная работа У какого из данных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение-11 1.x²- 6x+11=0 2. x²+6x- 11=0 3. x²+6x+11=0 4. x²- 11x- 6=0 5. x²+11x- 6=0

Если х=-5 и х=-1 корни приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0? 1. р=-6 q=-5 2. p=5 q=6 3. p=6 q=5 4. p=-5 q =-6 5. p=6 q=5

Определите знаки корней данного уравнения x²+4x-12=0

Решите квадратное уравнение: x² − 9x + 14 = 0; x² − 12x + 27 = 0; 3x² + 33x + 30 = 0; −7x² + 77x − 210 = 0.

x² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета имеем: Х1 + Х2 = −(−9) = 9; Х1 ·Х2 = 14. Корни — числа 2 и 7; x² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное. По теореме Виета: Х1 + Х2 = −(−12) = 12; Х1 ·Х2 = 27. Корни: 3 и 9; 3x² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Разделим обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x²+ 11x + 10 = 0. По теореме Виета: Х1 + Х2 = −11; Х1 ·Х2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1; −7x² + 77x − 210 = 0 — коэффициент при x² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x² − 11x + 30 = 0. По теореме Виета: Х1 + Х2 = −(−11) = 11; Х1 ·Х2 = 30; ⇒ корни: 5 и 6.

Евклид (3 в. до н.э.) Древнегреческий математик, работал в Александрии. Главный труд «Начала»(15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

Диофант Александрийский (около 3 в.). Диофант — древнегреческий математик из Александрии (возможно, что он был эллинизированный вавилонянин). Мы очень мало знаем о нем. Автор трактата Арифметика в 13 книгах(сохранились 6 книг) посвященного главным образом исследованию неопределенных уравнений (т.н. диофантовых уравнений). Одним из первых Диофант стал использовать при записи алгебраических рассуждений специальные знаки. На результаты, полученные Диофантом, впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс и др.

Брахмагупта (около 598 – 660 г. г.) Последний и наиболее выдающийся из древних индийских математиков и астрономов. Родом из Удджайна в Средней Индии, где у него была астрономическая обсерватория. В 628 г. изложил четвертую индуистскую астрономическую систему в стихотворной форме в сочинении Открытие Вселенной (Брахма-спхута-сиддханта). Две его главы посвящены математике, в том числе арифметической прогрессии и доказательству различных геометрических теорем. Остальные 23 главы посвящены астрономии: в них описаны фазы Луны, соединения планет, солнечные и лунные затмения, даны расчеты положений планет. Труд Брахмагупты был переведен на арабский язык и таким образом попал в Египет, а оттуда в Европу. Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к форме ах2 + bх = с, а > 0. В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Памятник аль-Хорезми в Тегеранском университете. Мухаммад ибн Муса Хорезми (ок. 783 – ок. 850) – великий персидский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. Сведений о жизни ученого сохранилось крайне мало. Значительный период своей жизни он провел в Багдаде, возглавляя при халифе аль-Мамуне (сыне знаменитого Гаруна аль-Рашида) библиотеку «Дома мудрости». Согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма — с берегов Сыр-Дарьи) работал в первой половине 9 века. Главная книга Хорезми названа скромно: «Учение о переносах и сокращениях», то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит «Китаб аль-джебр валь-мукабала»; отсюда произошло наше слово «алгебра». Другое известное слово — «алгоритм», то есть четкое правило решения задач определенного типа — произошло от прозвания «аль-Хорезми». Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем — это «синус». Аль — Хорезми

В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх. «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с. «Корни равны числу», т. е. ах = с. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2. Для аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами аль-джабр и валь-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Если числа m и п таковы,… …что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + рх+ q = 0

Обратная теорема Виета Если два числа в сумме дают -р, а в произведении q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения х2+рх+q=0. С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно подбором найти корни квадратного уравнения .

Для чего нужна теорема Виета? 1. Она позволяет находить подбором корни квадратного уравнения. 2. По данным двум числам составлять квадратное уравнение.

а) 3 и 4 ; б) — 2 и 5 ; в) 0,6 и 1,5

Решить уравнение: Решить самостоятельно

Работа с учебником № 715, 717, 719, 721, 722 Домашнее задание Читать § 21, выполнить № 716, 718, 720, 723; подготовиться к контрольной работе