Презентация способы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Презентация к уроку в 10 классе

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Шишкина Елена Павловна, учитель математики МБОУ г.Мурманска гимназии №2

I . СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ.

Пример: Пусть . Уравнение примет вид: — не удовлетворяет условию Ответ: .

II . ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ .

Уравнение вида называется однородным уравнением I степени.

Пример: Множество значений x , удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения. Поэтому можно обе части уравнения разделить на . Получим: Ответ : .

Уравнение вида называется однородным уравнением II степени.

Пример: Решение: Множество значений x , удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения. Разделим обе части уравнения на . Получим:

Пусть . Уравнение примет вид: Ответ:

III . ЕСЛИ В УРАВНЕНИИ СОДЕРЖИТСЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ SIN (А X ) SIN ( BX ) , SIN ( AX ) COS ( BX ) , COS ( AX ) COS ( BX ) , ТО ТАКИЕ УРАВНЕНИЯ РЕШАЮТСЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ (РАЗНОСТЬ) И НАОБОРОТ.

При этом применяют тождества:

Пример 1. Ответ: . или

IV . ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ.

Если в уравнении содержатся чётные степени sinx и cosx , то понижают степень уравнения с применением понижающих формул:

V . РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ.

VI . ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА.

Пример Решение: Разделим обе части уравнения на Получаем: Ответ:

VII . ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ПОДСТАНОВКИ.

Пример Решение: Пусть: . Уравнение примет вид . О.Д.З. . не удовлетворяет условию Ответ: ; .

Пример 2: Решение: Проверка: Ответ: ; .

VIII . ВВЕДЕНИЕ НОВОГО ПЕРЕМЕННОГО.

! Если в уравнении содержится сумма или разность sinx и cosx и их произведения, то уравнение решается введением нового переменного:

Пример: Пусть: (Решите самостоятельно)

IX . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ОГРАНИЧЕННОСТИ (МИНИМАКС).

Пример: k – целое Ответ: .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Основные методы решения тригонометрических уравнений (профильный уровень)

Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков, приобретенных при изучении данной темы. Сопровождается мультимедийной презентацией.

Методы решения тригонометрических уравнений

Данная презентация может быть использована как индивидуальная самостоятельная работа с последующей самопроверкой по теме «Методы решения тригонометрических уравнений».

Урок «Методы решения тригонометрических уравнений»

p < margin-bottom: 0.21cm; >Данный урок является заключительным в теме “Методы решения тригонометрических уравнений”. На изучение этой темы в программе отводится 12 часов.

Конспект и презентация урока алгебры в 10 классе по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений»

Урок систематизации знаний по теме «Решение тригонометрических уравнений» можно проводить как в 10 классе ( при изучении соответствующего материала), так и в 11 класе (при подготовке к ЕГЭ).

Методы решения тригонометрических уравнений

В работе рассматриваются различные способы решения тригонометрических уравнений и основные ошибки, которые при этом допускаются. Материал можно использоватьпри подготовке к ЕГЭ как наиболее подго.

Урок»Методы решения тригонометрических уравнений»

Решение тригонометрических уравнений одна из самых сложных тем математики для учащихся. Урок подготовлен для учащихся 10 класса. Можно использовать для повторения при подготовке к ЕГЭ в 11 класс.

Презентация к уроку Методы решения тригонометрических уравнений

Презентация к уроку позволяет детям усваивать учебный материал с наиболее полным использованием органов чувств, что повышает эффективность обучения.

Презентация по алгебре на тему «Способы решения тригонометрических уравнений» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Алгебра 10 класс Тема: «Способы решения тригонометрических уравнений»

Знать: Свойства тригонометрических функций. Определения обратных тригонометрических функций. Формулы тригонометрии. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Уметь: Вычислять значения тригонометрических функций. Вычислять значения обратных тригонометрических функций. Решать простейшие тригонометрические уравнения. Выполнять тождественные преобразования выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений Тригонометрические уравнения а – любое а = -1 а = 0 а = 1 sin x = a, a cos x = a, a tg x = a, a R ctg x = a, a R

Методы решения тригонометрических уравнений Разложение на множители Сведение к алгебраическому уравнению Введение вспомогательного угла Универсальная подстановка Сведение к однородному уравнению Использование формул преобразования суммы в произведение и обратно Применение формул понижения степени Обращение к условию равенства одноименных тригонометрических функций Использование свойства ограниченности функций (метод оценки)

Знать: Способы решения тригонометрических уравнений: сведения к квадратному уравнению разложения на множители понижения степени. однородные уравнения введения вспомогательного угла. Уметь: Классифицировать тригонометрические уравнения по способу решения. Решать тригонометрические уравнения следующими способами: способом сведения к квадратному уравнению способом разложения на множители способом понижения степени. однородные уравнения. способом введения вспомогательного угла.

Лейбниц «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.»

Сведения к квадратному уравнению Пусть a = sin x Ответ:

Сведения к квадратному уравнению Пусть a = sin x уравнение решения не имеет, так как Ответ:

Сведения к квадратному уравнению Пусть a = ctg x Выполним обратную замену Ответ:

Алгоритм решения тригонометрических уравнений. Привести уравнение к квадратному, относительно тригонометрических функций, применяя тригонометрические тождества. Ввести новую переменную. Записать данное уравнение, используя эту переменную. Найти корни полученного квадратного уравнения. Перейти от новой переменной к первоначальной. Решить простейшие тригонометрические уравнения. Записать ответ.

Разложения на множители Ответ:

Однородные уравнения Первой степени: a∙sinx + b∙cosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение a∙tgx + b = 0 или tgx = m. Второй степени: a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

Пусть a = tg x Ответ: Однородные уравнения

Метод понижения степени

Метод понижения степени Ответ: Метод понижения степени

Метод понижения степени Ответ:

Метод введения вспомогательного угла >0

Метод введения вспомогательного угла

Правила. Увидел квадрат – понижай степень. Увидел произведение – делай сумму. Увидел сумму – делай произведение.

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

1.Потеря корней: делим на g(х). опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями мы сужаем область определения. 2. Лишние корни: возводим в четную степень. умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями мы расширяем область определения.

Можно ли насладиться решением уравнения sinx+cosx=1? Да, если стать его исследователем!

1 способ: Введение вспомогательного аргумента

2 способ: Применение универсальной подстановки

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.» А. Эйнштейн

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 570 271 материал в базе

Другие материалы

• 22.01.2016
• 586
• 0

• 22.01.2016
• 1460
• 1

• 22.01.2016
• 1332
• 4

• 22.01.2016
• 815
• 0

• 22.01.2016
• 4216
• 21

• 22.01.2016
• 474
• 1

• 22.01.2016
• 1352
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.01.2016 6748
• PPTX 619.5 кбайт
• 515 скачиваний
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бутурлина Тамара Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 11825
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Тригонометрические уравнения и методы их решений. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемФёдор Кавелин

Похожие презентации

Презентация на тему: » Тригонометрические уравнения и методы их решений.» — Транскрипт:

1 Тригонометрические уравнения и методы их решений

2 Тригонометрические уравнения — уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Рассмотрим десять основных методов решения тригонометрических уравнений.

3 Содержание: 1. Алгебраический метод Алгебраический метод 2. Метод разложения на множители Метод разложения на множители 3. Метод вспомогательного угла Метод вспомогательного угла 4. Однородные уравнения Однородные уравнения 5. Универсальная подстановка Универсальная подстановка 6. Метод оценки Метод оценки 7. Метод понижения степени Метод понижения степени 8. Метод сравнения множеств Метод сравнения множеств 9. Переход к половинному углу Переход к половинному углу 10. Преобразование произведения в сумму Преобразование произведения в сумму

4 Алгебраический метод Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как метод замены переменной и подстановки.

5 Пример. Решить уравнение: 2cos 2 x-sinx+1=0 Решение. 2(1-sin 2 x)-sinx+1=0 -2sin 2 x-sinx+3=0 2sin 2 x+sinx-3=0 Пусть sinx=y, -1y1 2y 2 +y-3=0 y 1 =-1,5- не подходит по условию y 2 =1 Возвращаемся к старой переменной: sinx=1 x=/2+2k, k є Z

6 Метод разложения на множители Пример. Решить уравнение: sinx — sin2x = 0 Решение. sinx – 2sinx · cosx = 0 sinx(1- cosx) = 0 1. sinx=0 x=k, k є Z 2. 1-cosx=0 cosx=1 x=2n, n є Z Ответ: x=k, k є Z

7 Метод вспомогательного угла Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=5 Решение =25 25=5 5(3sinx/5-4cosx/5)=5 3sinx/5-4cosx/5=1 Т.к. (3/5) 2 +(4/5) 2 =1, то 3/5=cosφ φ=arccos(3/5) 4/5=sinφ φ=arcsin(4/5) sinxcosφ-cosxsinφ=1 sin(x-φ)=1 x-φ= /2+2k, k є Z x=/2+φ+2k, k є Z x=/2+arcsin(4/5)+2k, k є Z

8 Однородные уравнения Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg.

9 Пример. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4sinx · cosx + 5cos 2 x = 2. Решение. 3sin 2 x + 4sinx · cosx + 5cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x sin 2 x + 4sinx · cosx + 3cos 2 x = 0 tg 2 x + 4tgx + 3 = 0, отсюда y 2 + 4y +3 = 0, корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда 1) tg x = –1, x=-/4+k, k є Z 2) tg x = –3, x=-arctg3+n, n є Z

10 Универсальная подстановка Универсальная подстановка применяется для тригонометрических уравнений, содержащих 2 и более тригонометрические функции. Пусть tg(x/2)=t, тогда sinx=2t/(1+t 2 ) (1) cosx=(1-t 2 )/(1+t 2 ) (2) tgx=2t/(1-t 2 ) В конце решения следует обязательно сделать проверку!

0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» title=»Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» > 11 Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2k, k є Z tg(x/2)=1 x=/2+2n, n є Z 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=»> 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2k, k є Z tg(x/2)=1 x=/2+2n, n є Z»> 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» title=»Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=»>

12 Метод оценки При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает полезно оценить значения тригонометрических функций, входящих в уравнение.

13 Пример. Решить уравнение: sinxsin5x=1 sinx=1 x=/2+2m, m є Z sin5x=1 — ? sin5(/2+2n)=1 sin(5/2+52n)=1 sin(5/2)=1 sin(/2)=1 — верно Ответ:x= /2+k, k є Z sinx=-1 x=-/2+2n, n є Z sin5x=-1 — ? sin5(-/2+2n)=-1 sin(-5/2+52n)=-1 sin(-5/2)=-1 sin(-/2)=-1 — sin(/2)=-1 — верно

14 Метод понижения степени Для решения уравнений данным методом применяются формулы понижения степени: 2sin 2 x=1-cos2x 2cos 2 x=1+cos2x

15 Пример. Решить уравнение: sin 4 x+cos 4 x= ½ sin 2 2x Решение. (sin 2 x) 2 +(cos 2 x) 2 = ½ sin 2 2x ¼ (1-2cos2x+cos 2 2x+1+2cos2x+cos 2 2x)= ½ (1-cos 2 2x) ½ (2+2cos 2 2x)=1-cos 2 2x 1+cos 2 2x= 1-cos 2 2x 2cos 2 2x=0 cos2x=0 2x=/2+k, k є Z x= /4+k/2, k є Z

16 Метод сравнения множеств Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения множеств. Если Е(f) E(φ) – пустое множество, то уравнение не имеет решений Если Е(f) E(φ) состоит только из одной общей точки, то уравнение решается системой 2-х уравнений, левые части которых равны f и φ, а правые части равны значению общей точки.

17 Пример. Решить уравнение: 6cos 2 5x-5cosx+5,1=0 (1) Решение. 6cos 2 5x+5,1=5cosx (2) Пусть f(x)=6cos 2 5x+5,1 и φ(x)=5cosx. Е(f)=[5,1;11,1]-область значений функции f(x), Е(φ)=[-5;5]-область значений функции φ(x). Так как Е(f) E(φ) является пустое множество, то равенство (2) невозможно. Уравнение (2) решений не имеет, а, значит, и равносильное ему уравнение (1) тоже решений не имеет.

18 Переход к половинному углу При решении уравнений данным методом используются формулы двойного аргумента: sin2x=2sinxcosx cos2x=cos 2 x-sin 2 x В конце решения следует обязательно сделать проверку!

19 Пример. Решить уравнение: 2sinx–cosx=2. Решение. 4sin(x/2)·cos(x/2)-cos²(x/2)+sin²(x/2)= =2sin²(x/2)+2cos²(x/2) sin²(x/2)–4sin(x/2)·cos(x/2)+3cos²(x/2)=0 tg²(x/2)–4tg(x/2)+3=0 tg 1 (x/2)=1 x=/2+2k, k є Z tg 2 (x/2)=3 x=2arctg3+2k, k є Z

20 Преобразование произведения в сумму Данным методом решаются уравнения вида: 1. singxsingx=sinγxsinδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 2. cosαxcosβx=cosγxcosδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 3. singxsingx=cosγxcosδx, если α-β=±(γ+δ) 4. cosαxcosβx=sinγxsinδx, если α+β=γ±δ или α-β=γ±δ

21 Этот метод включает в себя применение формул: преобразования произведения в сумму: 2singsing=cos(α-β)-cos(α+β) 2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β) 2singcosβ=sin(α+β)+sin(α-β) 2cosαsing=sin(α+β)-sin(α-β) преобразования суммы в произведение: sing+sing=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) sing-sing=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2) cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

22 Пример. Решить уравнение: sinxsin5x=cos4x Решение. Преобразуем левую часть в сумму: ½ cos4x – ½ cos6x = cos4x ½ cos6x+ ½ cos4x= 0 cos6x+cos4x=0 Преобразуем левую часть в произведение: 2cos5xcosx=0 cos5xcosx=0 cos5x=0, x=/10+2k/5, k є Z cosx=0, x=/2+2n, n є Z. Ответ:x=/10+2k/5, k є Z

23 Презентацию подготовила ученица 11 «А» класса Мозжухина Софья