Презентация уравнения и неравенства 11 класс

Конспект и презентация к уроку математики «Показательные уравнения и неравенства».11 класс.

Урок обобщения знаний о способах решения показательных уравнений и неравенств. Задание с использованием показательных функций, показательных уравнений и неравенств являются весьма популярными заданиями во всех вариантах ЕГЭ.
На данном уроке рассматриваются способы решения показательных уравнений и неравенств (уравнивание оснований, вынесение общего множителя за скобку, введение вспомогательной переменной). Предусмотрена групповая работа. У каждого учащегося на столе лежат бланки разного цвета, пронумерованные. Эти бланки используются на каждом этапе урока. Из содержания по гиперссылкам можно перейти на необходимую страницу и вернуться вновь на содержание.

Целевая аудитория: для 11 класса

Автор: Маргиева Нелли Александровна
Место работы: БГОШИ Республиканский физико-математический лицей-интернат
Добавил: евклид

Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.

Уважаемые коллеги! Добавьте свою презентацию на Учительский портал и получите бесплатное свидетельство о публикации методического материала в международном СМИ.

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

© 2007 — 2022 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Урок в 11-м классе по теме «Решение неравенств»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (501 кБ)

Тип урока: урок применения знаний, умений, навыков в новой ситуации.

Цели урока:

• обучающая: в результате урока учащиеся обобщают и систематизируют знания по теме «Неравенства», знакомятся с новым способом решения некоторых логарифмических неравенств.
• развивающая: в результате урока учащиеся учатся анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы;
• воспитательная: в результате урока учащиеся развивают коммуникативные навыки, ответственное отношение к достижению цели.

Оборудование компьютер, мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний

«Решение неравенств» – тема очень актуальная в математике. С неравенствами мы встречались на уроках алгебры, начиная с 8 класса. Мы рассматривали разные виды и разные способы решения неравенств. Сегодня мы вспомним основные виды неравенств, назовём способы их решений и познакомимся с некоторыми приёмами, упрощающими их решения. Слайд 1

Чтобы решать сложные неравенства, надо хорошо знать решение простейших неравенств.

1. Виды неравенств и их решение.

Вид неравенства	Решение
Линейные
Содержащие чётную степень
Содержащие нечётную степень
Иррациональные
Иррациональные
Показательные
Логарифмические
Тригонометрические	При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции

Вопрос учащимся: Какие преобразования используют при решении неравенств?

Учащиеся называют: возведение в чётную или нечётную степень, логарифмирование, потенцирование, применение формул, позволяющие привести неравенство к более простому виду.

Вопрос: Что может произойти с множеством решений неравенства в процессе преобразований?

Учащиеся отмечают, что множество решений либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения).

Поэтому важно знать какие преобразования неравенств, являются равносильными и при каких условиях.

2. Равносильность неравенств.

Перечислим некоторые преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на множестве всех действительных чисел.

1. Перенос члена неравенства (с противоположным знаком) из одной части неравенства в другую;
2. Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число;
3. Применение правил умножения многочленов и формул сокращённого умножения;
4. Приведение подобных членов многочлена;
5. Возведение неравенства в нечётную степень;
6. Логарифмирование неравенства , т.е замена этого неравенства неравенством

Назовем преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел

1. Возведение неравенства в чётную степень; (на множестве где обе функции неотрицательны)
2. Потенцирование неравенства; (на множестве где обе функции положительны)
3. Умножение обеих частей неравенства на функцию; (на множестве где функция положительна)
4. Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) (на множестве где одновременно определены обе части применяемой формулы)

Вопрос учащимся: Равносильны ли неравенства? Почему?

4)

II. Изучение нового материала

Учитель: В зависимости от интерпретации неравенства различают

• алгебраический
• функциональный
• графический
• геометрический

подходы в решении неравенств. При алгебраическом подходе выполняют равносильные общие или частичные преобразования неравенств. При функциональном подходе используют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.). Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно заменяемые.

Среди алгебраических методов решения неравенств выделяют:

• Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
• Метод замены
• Разбиение области определения неравенства на подмножества

Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы попытаемся искать наиболее рациональные способы решения неравенств.

Логарифмическое неравенство можно свести к равносильной совокупности систем неравенств

Ответ:

Учитель: Оказывается, что данное неравенство можно решить иначе.

Зная свойства логарифма о том, что log_а b 0, если a и b по одну сторону от 1, можно получить очень интересный и неожиданный способ решения неравенства. Об этом способе написано в статье “Некоторые полезные логарифмические соотношения” в журнале “Квант” № 10 за 1990 год.

Решите это неравенство, используя новые соотношения (ученик у доски)

Ответ:

Оказывается, что при решении некоторых логарифмических неравенств можно использовать и другие соотношения

Заменяемое выражение	Используемое выражение

Решите неравенство

у доски составляем систему, которую решают самостоятельно

III. Домашнее задание

1. Решите неравенство

2. Повторите методы решения тригонометрических неравенств.

+ для сильных учащихся

2. Решите неравенство

IV. Итог урока

Что нового узнали на уроке?

Можно ли данный материал использовать при выполнении заданий ЕГЭ?

Каждый ученик получает буклет Решение неравенств. Приложение

Презентация по математике для 11 класса по теме «Уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Повторение.11 класс. Учитель математики МБОУ СОШ №20 Мелюхина Т.А.

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Примеры: 2х–3=5х+1; ; х2–2х+1=0.

cos t = a t = ± arccos a + 2πn, nЄZ cos t = 1 cos t = -1 cos t = 0 t=2πn, nЄZ t=π+2πn, nЄZ t=π/2+πn, nЄZ sin t = a t = (-1)karcsin a + πk, kЄZ sin t = 1 sin t = -1 sin t = 0 t=π/2+2πn, nЄZ t=-π/2+πn, nЄZ t=πn, nЄZ tg t = a ctg t = a t=arctg a+πn, nЄZ t=arcctg a+πn, nЄZ

Значения sinα, cosα, tgα, ctgα. x y 0 1 1 -1 -1 α sinα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tgα 0 1 — 0 — 0 ctgα — 1 0 — 0 —

Простые уравнения: 2sinx = 1; -3cosx + 1 = 0 Уравнения, приводимые к квадратным: 2sin2x + sinx – 1 = 0 cos2x + 3sinx = 3 Уравнения с разложением на множители: cos2x – cosx = 0; sin2x + cosx=0; cos6x – cos2x=0 Однородные уравнения первой степени: asinx + bcosx = 0 sinx +2cosx = 0 Однородные уравнения второй степени: 3sin2x+ sinxcosx – 2cos2x = 0

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Алгоритм решения уравнения: 1способ: 2способ 1) Решить уравнение, Привести уравнение к возведя обе части равносильной системе, уравнения в квадрат; используя определение и 2) Сделать проверку. возведение в квадрат. Пример:

а) 2x -1 = x2 – 4x + 4 x2 — 6x + 5 = 0 x1 = 5, x2 = 1 Проверка: Равенство верное ═> ═>x=5 явл. корнем Возведем обе части уравнения в квадрат √2∙1-1 =1-2 1=-1 √2∙5-1 = 5-2 3 = 3 Равенство неверное ═> ═>x=1 не явл. корнем Ответ: x=5. b) 2x-1=(x-2)2, x-2≥0 x=5, x=1, x≥2 x=5 Ответ: x=5 2x-1=x2-4x+4, x≥2 x2-6x+5=0, x≥2

Простейшее показательное уравнение: аx = b , где a>0 и a ≠ 1. Уравнение имеет единственный корень, если b>0. Алгоритм решения простейшего показательного уравнения: ax = b (b представить в виде b = ac) ax = ac (основания равны ═> показатели равны) x = c Уравнение не имеет решений, если b≤0.

Простые уравнения: 4х+2 = 64 4х∙42=64 4х=64:16 4х=41 х=1 Уравнения, решаемые другими способами: 7х+2 + 4∙7х+1 = 539 49∙7х + 28∙7х = 539 7х(49+28) = 539 7х∙77 = 539 7х = 539:77 7х = 7 х=1 Решений нет

Простейшее логарифмическое уравнение: logax = b , где a>0,a≠1 и x>0. Алгоритм решения логарифмических уравнений: 1 способ: 2 способ: Найти ОДЗ; 1) Решить уравнение, приведя 2) Решить уравнение, приведя обе обе части к логарифмам с части к логарифмам с одинаковыми основаниями; одинаковыми основаниями; 2) Выполнить проверку. 3) Сравнить корни с ОДЗ. Пример: log2(x — 4) = 3

Простые уравнения: log5(x-4) = 2 ОДЗ: х-4 > 0 log5(x-4) = log525 х > 4 x-4 = 25 x=29 Уравнения, приводимые к квадратным: lg2x + 2lgx – 1 = 0 ОДЗ: х>0 Пусть lgx = y y2 + 2y – 1 = 0 y=1 lgx =1 x=10

Уравнения с использованием свойств логарифмов: log3(x+1) + log3(x+3) = 1 log3(x+1)(x+3) = log33 log3(x2+4x+3) = log33 x2+4x+3=3 x2+4x=0 x(x+4)=0 x=0 x=-4 Проверка: x=0 log31+log33=1 1=1 => x=0 является корнем х=-4 log(-3)+log(-1)=1 Выражение не имеет смысла =>х=-4 не является корнем Ответ: х=0

Неравенства – это выражения, содержащие переменную и записанные с помощью знаков >, 6, -4x ≤ 8, x2 -16 1 показательная функция возрастает ═>знак между показателями не меняем, при 0 знак между показателями меняем на противоположный); 3). Решаем неравенство относительно показателей. Примеры: 2х ≥ 8 32х + 2∙3х – 15 > 0

Основание => знак неравенства меняем на противоположный х ≥ 3 Ответ: х ≥ 3 32х +2∙3х-15 ≥ 0 Пусть 3х = у, ОДЗ: у>0 у2+2у-15 ≥ 0 у1= 3, у2= -5 ¢ ОДЗ Решаем методом интервалов у ≥ 3 => 3х ≥ 3 Основание 3>0 =>знак неравенства не меняем х ≥ 1 Ответ: х ≥ 1. 0 3 + —

Алгоритм решения неравенств: 1). Находим ОДЗ; 2). Решаем логарифмическое неравенство: — приводим обе части к логарифмам с одинаковыми основаниями; — сравниваем основания с единицей( при a>1 функция логарифмическая возрастает ═> знак между подлога- рифмическими выражениями не меняем, при 0 меняем на противоположный); — решаем неравенство с подлогарифмическими выражениями; 3). Находим общие решения. Примеры: log4(x-2) ≤ 3 log0,3(x2-1) > -3

log4(x-2) ≤ 3 ОДЗ: х-2 > 0 log4(x-2) ≤ log464 х > 2 Основание 4≥0 => знак между подлогарифмическими выражениями не меняем х-2 ≤ 64 х ≤ 66 Общее решение => 2

Краткое описание документа:

«Описание материала:

План урока и презентация по теме «Уравнения и неравенства» для 11 класса.

Цель урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Уравнения и неравенства».

Задачи:

• Образовательная: Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся. Проверка уровня усвоения материала.
• Воспитательная: Развитие самостоятельности, уверенности в своих силах.
• Развивающая: Развитие познавательных способностей — внимания, памяти, восприятия, воображения.

Тип урока: Повторительно-обобщающий.

Технология: Личностно-ориентированная с применением новых информационных технологий.

Время проведения: 1 урок.

Оборудование:— ноутбук; -компьютеры; -мультимедиапроектор; -экран; -диск с презентацией «Уравнения и неравенства»; -тесты с заданиями по теме «Уравнения и неравенства» (на бумажных носителях и в электронном виде).

План урока:

I. Организация класса.

Объявление темы и цели урока.

II.Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся с использованием презентации:

1) Повторение по теме «Уравнения» (слайд 2):  дать определение уравнения.  что называется корнем уравнения?  что значит решить уравнение?  рассмотрение примеров уравнений, изучаемых в курсе основной школы: линейные, дробно-рациональные, квадратные и как они решаются.

2) Рассмотрение всех видов уравнений, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов, их способов и алгоритмов решений: — Тригонометрические уравнения (слайды 3,4,5):  простейшие тригонометрические уравнения, таблица значений sinα, cosα, tgα, ctgα.  разбор примеров тригонометрических уравнений и способы их решений (простые, уравнения, приводимые к квадратным, уравнения с разложением на множители, однородные уравнения I степени, однородные уравнения II степени).

— Иррациональные уравнения (слайды 6,7):

• определение иррационального уравнения, примеры, рассмотрение алгоритмов 2 способов решения уравнений.
• разбор примеров решения иррациональных уравнений по I и II способам.

— Показательные уравнения (слайды 8,9):

• определение показательного уравнения, разбор количества корней уравнения, рассмотрение алгоритма решения простейшего показательного уравнения.
• разбор примеров решения уравнений: простые уравнения, уравнения с применением свойств степеней, уравнения, приводимые к квадратным.

— Логарифмические уравнения (слайды 10,11,12):

• определение логарифмического уравнения, примеры, рассмотрение алгоритмов 2 способов решения уравнений.
• разбор примеров решения уравнений: простые уравнения, уравнения, приводимые к квадратным, уравнения с применением свойств логарифмов.

3) Повторение по теме «Неравенства» (слайд 13):

• дать определение неравенства.
• что значит решить неравенство?
• примеры решения неравенств основной школы, рассмотрение свойств неравенств и способы решения линейных неравенств, неравенств II степени, дробно-рациональных неравенств.

4) Рассмотрение всех видов неравенств, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов, их способов и алгоритмов решений:

— Показательные неравенства (слайд 14,15):  примеры неравенств, рассмотрение алгоритма решения показательных неравенств.  разбор примеров решения неравенств: простые неравенства, неравенства, приводимые к квадратным. — Логарифмические неравенства (слайд16,17):  примеры неравенств, рассмотрение алгоритма решения логарифмических неравенств.  разбор примера решения неравенств.

5) Рассмотрение способов решения систем уравнений (слайд 18).

III. Выполнение теста

(тест на бумажном носителе, содержащий части А, В и С тестов ЕГЭ) (слайд 19).

VI. Подведение итогов тестирования

(самопроверка) (слайд 20).

V. Домашнее задание:

выполнение оставшихся заданий теста на бумажном носителе и по желанию проверка своих знаний с помощью электронных тестов по всем темам (почти у всех учащихся 11 класса есть дома компьютеры, поэтому и презентация и тесты розданы всем на электронных носителях, у кого нет компьютера могут позаниматься в школе)

VI. Итоги урока (рефлексия).