Презентация уравнения неравенства решение задач

Презентация «Решение уравнений и неравенств» (подготовка ОГЭ)

Данная презентация подготовлена в рамках подготовки к ОГЭ.

Цели работы: 1. обобщение и систематизация знаний, умений и навыков решения уравнений, неравенств; 2. развитие логического мышления, алгоритмической культуры; 3. овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне; 4.воспитание средствами математики культуры личности, осознание значимости математики, содействовать воспитанию интереса к предмету.

Урок, способствует формированию у обучающихся универсальных учебных действий:

• личностные: воспитание положительного отношения к учению, желание приобретать новые и совершенствовать имеющиеся знания;
• регулятивные: умение контролировать и оценивать свои действия, вносить соответствующие коррективы в их выполнение;
• познавательные: развитие учебно-познавательного интереса к новому учебному материалу и способам решения новых задач.

Тип урока: урок повторения и закрепления изученного материала

Методы обучения: частично-поисковый, метод самопроверки, взаимопроверки.

Презентация по математике для 11 класса по теме «Уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Повторение.11 класс. Учитель математики МБОУ СОШ №20 Мелюхина Т.А.

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Примеры: 2х–3=5х+1; ; х2–2х+1=0.

cos t = a t = ± arccos a + 2πn, nЄZ cos t = 1 cos t = -1 cos t = 0 t=2πn, nЄZ t=π+2πn, nЄZ t=π/2+πn, nЄZ sin t = a t = (-1)karcsin a + πk, kЄZ sin t = 1 sin t = -1 sin t = 0 t=π/2+2πn, nЄZ t=-π/2+πn, nЄZ t=πn, nЄZ tg t = a ctg t = a t=arctg a+πn, nЄZ t=arcctg a+πn, nЄZ

Значения sinα, cosα, tgα, ctgα. x y 0 1 1 -1 -1 α sinα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tgα 0 1 — 0 — 0 ctgα — 1 0 — 0 —

Простые уравнения: 2sinx = 1; -3cosx + 1 = 0 Уравнения, приводимые к квадратным: 2sin2x + sinx – 1 = 0 cos2x + 3sinx = 3 Уравнения с разложением на множители: cos2x – cosx = 0; sin2x + cosx=0; cos6x – cos2x=0 Однородные уравнения первой степени: asinx + bcosx = 0 sinx +2cosx = 0 Однородные уравнения второй степени: 3sin2x+ sinxcosx – 2cos2x = 0

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Алгоритм решения уравнения: 1способ: 2способ 1) Решить уравнение, Привести уравнение к возведя обе части равносильной системе, уравнения в квадрат; используя определение и 2) Сделать проверку. возведение в квадрат. Пример:

а) 2x -1 = x2 – 4x + 4 x2 — 6x + 5 = 0 x1 = 5, x2 = 1 Проверка: Равенство верное ═> ═>x=5 явл. корнем Возведем обе части уравнения в квадрат √2∙1-1 =1-2 1=-1 √2∙5-1 = 5-2 3 = 3 Равенство неверное ═> ═>x=1 не явл. корнем Ответ: x=5. b) 2x-1=(x-2)2, x-2≥0 x=5, x=1, x≥2 x=5 Ответ: x=5 2x-1=x2-4x+4, x≥2 x2-6x+5=0, x≥2

Простейшее показательное уравнение: аx = b , где a>0 и a ≠ 1. Уравнение имеет единственный корень, если b>0. Алгоритм решения простейшего показательного уравнения: ax = b (b представить в виде b = ac) ax = ac (основания равны ═> показатели равны) x = c Уравнение не имеет решений, если b≤0.

Простые уравнения: 4х+2 = 64 4х∙42=64 4х=64:16 4х=41 х=1 Уравнения, решаемые другими способами: 7х+2 + 4∙7х+1 = 539 49∙7х + 28∙7х = 539 7х(49+28) = 539 7х∙77 = 539 7х = 539:77 7х = 7 х=1 Решений нет

Простейшее логарифмическое уравнение: logax = b , где a>0,a≠1 и x>0. Алгоритм решения логарифмических уравнений: 1 способ: 2 способ: Найти ОДЗ; 1) Решить уравнение, приведя 2) Решить уравнение, приведя обе обе части к логарифмам с части к логарифмам с одинаковыми основаниями; одинаковыми основаниями; 2) Выполнить проверку. 3) Сравнить корни с ОДЗ. Пример: log2(x — 4) = 3

Простые уравнения: log5(x-4) = 2 ОДЗ: х-4 > 0 log5(x-4) = log525 х > 4 x-4 = 25 x=29 Уравнения, приводимые к квадратным: lg2x + 2lgx – 1 = 0 ОДЗ: х>0 Пусть lgx = y y2 + 2y – 1 = 0 y=1 lgx =1 x=10

Уравнения с использованием свойств логарифмов: log3(x+1) + log3(x+3) = 1 log3(x+1)(x+3) = log33 log3(x2+4x+3) = log33 x2+4x+3=3 x2+4x=0 x(x+4)=0 x=0 x=-4 Проверка: x=0 log31+log33=1 1=1 => x=0 является корнем х=-4 log(-3)+log(-1)=1 Выражение не имеет смысла =>х=-4 не является корнем Ответ: х=0

Неравенства – это выражения, содержащие переменную и записанные с помощью знаков >, 6, -4x ≤ 8, x2 -16 1 показательная функция возрастает ═>знак между показателями не меняем, при 0 знак между показателями меняем на противоположный); 3). Решаем неравенство относительно показателей. Примеры: 2х ≥ 8 32х + 2∙3х – 15 > 0

Основание => знак неравенства меняем на противоположный х ≥ 3 Ответ: х ≥ 3 32х +2∙3х-15 ≥ 0 Пусть 3х = у, ОДЗ: у>0 у2+2у-15 ≥ 0 у1= 3, у2= -5 ¢ ОДЗ Решаем методом интервалов у ≥ 3 => 3х ≥ 3 Основание 3>0 =>знак неравенства не меняем х ≥ 1 Ответ: х ≥ 1. 0 3 + —

Алгоритм решения неравенств: 1). Находим ОДЗ; 2). Решаем логарифмическое неравенство: — приводим обе части к логарифмам с одинаковыми основаниями; — сравниваем основания с единицей( при a>1 функция логарифмическая возрастает ═> знак между подлога- рифмическими выражениями не меняем, при 0 меняем на противоположный); — решаем неравенство с подлогарифмическими выражениями; 3). Находим общие решения. Примеры: log4(x-2) ≤ 3 log0,3(x2-1) > -3

log4(x-2) ≤ 3 ОДЗ: х-2 > 0 log4(x-2) ≤ log464 х > 2 Основание 4≥0 => знак между подлогарифмическими выражениями не меняем х-2 ≤ 64 х ≤ 66 Общее решение => 2

Краткое описание документа:

«Описание материала:

План урока и презентация по теме «Уравнения и неравенства» для 11 класса.

Цель урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Уравнения и неравенства».

Задачи:

• Образовательная: Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся. Проверка уровня усвоения материала.
• Воспитательная: Развитие самостоятельности, уверенности в своих силах.
• Развивающая: Развитие познавательных способностей — внимания, памяти, восприятия, воображения.

Тип урока: Повторительно-обобщающий.

Технология: Личностно-ориентированная с применением новых информационных технологий.

Время проведения: 1 урок.

Оборудование:— ноутбук; -компьютеры; -мультимедиапроектор; -экран; -диск с презентацией «Уравнения и неравенства»; -тесты с заданиями по теме «Уравнения и неравенства» (на бумажных носителях и в электронном виде).

План урока:

I. Организация класса.

Объявление темы и цели урока.

II.Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся с использованием презентации:

1) Повторение по теме «Уравнения» (слайд 2):  дать определение уравнения.  что называется корнем уравнения?  что значит решить уравнение?  рассмотрение примеров уравнений, изучаемых в курсе основной школы: линейные, дробно-рациональные, квадратные и как они решаются.

2) Рассмотрение всех видов уравнений, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов, их способов и алгоритмов решений: — Тригонометрические уравнения (слайды 3,4,5):  простейшие тригонометрические уравнения, таблица значений sinα, cosα, tgα, ctgα.  разбор примеров тригонометрических уравнений и способы их решений (простые, уравнения, приводимые к квадратным, уравнения с разложением на множители, однородные уравнения I степени, однородные уравнения II степени).

— Иррациональные уравнения (слайды 6,7):

• определение иррационального уравнения, примеры, рассмотрение алгоритмов 2 способов решения уравнений.
• разбор примеров решения иррациональных уравнений по I и II способам.

— Показательные уравнения (слайды 8,9):

• определение показательного уравнения, разбор количества корней уравнения, рассмотрение алгоритма решения простейшего показательного уравнения.
• разбор примеров решения уравнений: простые уравнения, уравнения с применением свойств степеней, уравнения, приводимые к квадратным.

— Логарифмические уравнения (слайды 10,11,12):

• определение логарифмического уравнения, примеры, рассмотрение алгоритмов 2 способов решения уравнений.
• разбор примеров решения уравнений: простые уравнения, уравнения, приводимые к квадратным, уравнения с применением свойств логарифмов.

3) Повторение по теме «Неравенства» (слайд 13):

• дать определение неравенства.
• что значит решить неравенство?
• примеры решения неравенств основной школы, рассмотрение свойств неравенств и способы решения линейных неравенств, неравенств II степени, дробно-рациональных неравенств.

4) Рассмотрение всех видов неравенств, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов, их способов и алгоритмов решений:

— Показательные неравенства (слайд 14,15):  примеры неравенств, рассмотрение алгоритма решения показательных неравенств.  разбор примеров решения неравенств: простые неравенства, неравенства, приводимые к квадратным. — Логарифмические неравенства (слайд16,17):  примеры неравенств, рассмотрение алгоритма решения логарифмических неравенств.  разбор примера решения неравенств.

5) Рассмотрение способов решения систем уравнений (слайд 18).

III. Выполнение теста

(тест на бумажном носителе, содержащий части А, В и С тестов ЕГЭ) (слайд 19).

VI. Подведение итогов тестирования

(самопроверка) (слайд 20).

V. Домашнее задание:

выполнение оставшихся заданий теста на бумажном носителе и по желанию проверка своих знаний с помощью электронных тестов по всем темам (почти у всех учащихся 11 класса есть дома компьютеры, поэтому и презентация и тесты розданы всем на электронных носителях, у кого нет компьютера могут позаниматься в школе)

VI. Итоги урока (рефлексия).

Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемНаталья Шлыкова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств.» — Транскрипт:

1 Способы решения уравнений и неравенств : Уметь решать простые уравнения и неравенства 1. Алгебраические Выполнять основные приемы решения уравнений и неравенств 2. Иррациональные 3. Тригонометрические 4. Показательные 5. Логарифмические Вернуться 6. Неравенства

2 1. Алгебраические уравнения Линейные уравнения Неполные квадратные уравнения Полные квадратные уравнения Дробные рациональные уравнения Уравнения в виде пропорции Главное менюВернуться

3 Линейные уравнения. kx = b, если k 0. b 0, то х = k/b (коэффициент разделить на свободный член). kx = b, если k = 0, b 0, то уравнение решений не имеет. kx = b, если k = 0. b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, х R. Помните! Если свободный член представляет произведение, то не надо перемножать, так как потом возможно сократить дробь. 3 х = 6 Ключевые слова. 1. Неизвестные в одну сторону (влево), свободные члены в другую (вправо). 2.Свободный член делить на коэффициент при неизвестном. Решить уравнения. Пример 1. 9(2х – 18) = — 9х 18х – 9 18 = — 9х, 18х + 9х = 9 18, 27х = 9 18 х = Главное меню Оглавление

4 Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения 1. ax 2 + bx = 0 с = 0 Вынесите х за скобку х(ах + b) = o Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл. х =0 или ах + b = 0 2. ax 2 + с = 0 b = 0 ax 2 = -с; х 2 = ; х 1,2 =. плюс, минус При извлечении корня не забывать ставить плюс, минус Главное меню Оглавление

5 5х 2 — 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х =0 или 5х – 2 = 0 х= 0 ; х=0,4. Пример 1 х = 0; х 2 = 4; х = ± 2 ; Пример 2 ± Полные квадратные уравнения. ax 2 + bx + c = 0 х 2 + px + q = 0 Приведенное квадратное уравнение ax 2 + 2kx + c = 0 Коэффициент при х – четный С обратным знаком Главное меню Оглавление

0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″ title=»Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x 2 + px + q = 0. х 1 +х 2 = р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″ > 6 Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x 2 + px + q = 0. х 1 +х 2 = р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент р (с обратным знаком). Пункт 4. Записать ответ. Пример. х 2 — 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный. 40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Теперь можно расставлять знаки: = 3, т.к. b = — 3 Пункт 4. х 1 = 5; х 2 = 8. Главное меню Оглавление 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″> 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент р (с обратным знаком). Пункт 4. Записать ответ. Пример. х 2 — 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный. 40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Теперь можно расставлять знаки: 5 + 8 = 3, т.к. b = — 3 Пункт 4. х 1 = 5; х 2 = 8. Главное меню Оглавление»> 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″ title=»Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. x 2 + px + q = 0. х 1 +х 2 = р; х 1 х 2 = q Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, то перейти к п. 2; Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей; Пункт 3″>

7 Решение специальных видов квадратных уравнений. ax 2 + bx + c = 0 Если a + b +c = 0, то х 1 = 1, х 2 =Если a — b +c = 0, то х 1 = — 1, х 2 = Пример. 2х х + 41 = 0; 2 – = 0 х 1 = 1, х 2 = 41/2, х 2 = 20,5 Пример. 24х х + 6 = 0; 24 – = 0 х 1 = — 1, х 2 = — 6/24, х 2 = — 0,25 Главное меню Оглавление

8 Пункт 1. Разложить знаменатели на множители; Пункт 2. Найти общий знаменатель (ОЗ); Пункт 3. Найти значения неизвестного, при котором ОЗ неравен (равен) нулю. Записать область определения уравнения; Пункт 4. Привести уравнение к целому виду, для чего: а) поставить черточки к каждому члену уравнения; найти и записать дополнительные множители (доп. множ); Доп. множ = б) записать результат умножения допмнож. на числитель. Запись производить без знаменателя в целом виде; Пункт 5. Решить полученное уравнение; Пункт 6. Сравнить полученные корни с областью определения уравнения и исключить посторонние. Дробные рациональные уравнения. Главное меню Оглавление Вернуться

9 Пример1. Пункт1. Пункт 3. х — 4 х Пункт4. х – 4 – х 2 + х +20 = 8 х 2 — 2х – 8 = 0; х = — 2; х = 4 посторонний корень. Ответ: -2. Алгоритм Главное меню Оглавление

10 Уравнения в виде пропорции. Основное свойство пропорции: ad = bc Пункт 1. Найти область определения; Пункт 2. Перемножить крест на крест; Пункт 3. Решить соответствующее уравнение. Пример 1. х = 2х х 2 – 1 = 0, х = ± 1 Пример 2. 3х = х х 2 — 3х + 2 = 0 х 1 = 1, х 2 = 2 Главное меню Оглавление

11 2. Иррациональные уравнения 1. Уравнение вида = b2. Уравнение вида 3. Уравнение вида 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Главное меню Вернуться

12 2. Иррациональные уравнения 1. Уравнение вида = b f(x) = b 2, при b 0; при b

13 Примеры. 3. Уравнение вида Выберите неравенство, которое проще. либо Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Оглавление Главное меню

14 Примеры. Решать уравнения можно без равносильности, путем возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой полученных корней Проверка: х = — 1 Равенство верно х = 5 Равенство неверно Главное меню Оглавление

15 Уравнения, сводящиеся к квадратным Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза ( ). Решаются путем замены корня, с учетом ограничений. Примеры. = t, где t 0 t 2 – 2 t – 3 = 0, t = — 1, t = 3, учитывая, что t 0, t = 3 Ответ: х = ± 7 х — любое Главное меню Оглавление

16 3. Тригонометрические уравнения 1. Решение простейших тригонометрических уравнений 2. Решение простых тригонометрических уравнений Главное меню Вернуться

17 Уравнения sinх = 0, ± 1 Уравнения sinх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 0 sinх = 0 х = 0 Придем в следующий «нуль» через пол оборота х = πn, n х = πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 1 sinх = 1 х = π/2 Придем в единицу через целый оборот sinх = -1 sinх = -1 х = π/2 +2πn, n х = π/2 +2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π х = -π/2 х = — π/2 +2πn, n х = — π/2 +2πn, n Главное меню Оглавление

18 0 -π/2 π/2 3π/2 π Уравнения cosх = 0, ± 1 Уравнения cosх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = 1 cosх = 1 х = 0 Придем в следующую 1 через целый оборот х = 2πn, n х = 2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = -1 cosх = -1 х = π Придем в единицу через целый оборот cosх = 0 cosх = 0 х = π +2πn, n х = π +2πn, n х = π/2 х = π/2 +πn, n х = π/2 +πn, n Придем в 0 через пол оборота Главное меню Оглавление

0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 19 sinх = а Для а > 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а 0 Для а

0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений» title=»Минус единица в степени. Минус единица в степени. Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений» > 20 Минус единица в степени. Минус единица в степени. Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a + πn Для уравнения cosx = a +2πn+2πn+2πn+2πn Главное меню Оглавление 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений»> 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a + πn Для уравнения cosx = a +2πn+2πn+2πn+2πn Главное меню Оглавление»> 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений» title=»Минус единица в степени. Минус единица в степени. Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений»>

21 Минус единица в степени n +1… Минус единица в степени n +1… Плюс, минус, скобка, пи минус… Плюс, минус, скобка, пи минус… минус арктангенс пи минус арккотангенс пи минус арккотангенс Считая а

22 Алгоритм. Пункт 1. Привести угол в стандартный вид; Пункт 2. Выразить «чистый» sin, cos, tg, ctg; Пункт 3. Записать весь угол; Пункт 4. Записать формулу решения; Пункт 5. Найти неизвестное. Примечания. Пункт 1.х должен быть с плюсом, при наличии формулы приведения — применить; Пункт 3. Угол записывается таким какой он получился после пункта 1; Пункт 4. Формула решения записывается в соответствии с вопросом: «Чье уравнение?» Алгоритм решения простых уравнений Главное меню Оглавление

23 1. Решите уравнение: 3 + 4sin (π/4 – 2х) = Угол в стандартный вид Найти «чистый sin» Весь угол равен: Уравнение sin: начинается с (-1) n+1 Найти х sin (2х — π/4) = 5 sin (2х — π/4) = — ½ 2х — π/4 = 2х — π/4 = (-1) n + 1 π/6 + πn n Z 2х = (-1) n + 1 π/6 + π/4 + πn х = (-1) n + 1 π/12 + π/8 + πn/2 Главное меню Оглавление

24 Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наименьший положительный корень n = — 1 5/4 – 3/2

25 4. Показательные уравнения 1. Уравнение вида а f(x) = а g(x) 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x), а f(x) b f(x) = 1 3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + … 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным 5. Однородные уравнения Главное меню Вернуться

26 а f(x) = а g(x) f(x) = g(x) f(x) = g(x) 1. Уравнения вида а f(x) = а g(x). Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители и свойства степеней. Примеры. 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 2) х = 5х, х 2 – 5х + 6 = 0 х 1 = 2, х 2 = 3 2. Решение полученного уравнения 1. Выбор основания и приведение к нему (основание – 6/5) 2х – 1 = х + 2 х = 3 2. Решение полученного уравнения Главное меню Оглавление

27 Золотое правилоУравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. Золотое правило. Уравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание. 0,125 = 1/8 = ,25 = ¼ = 2 -2 Золотое правилоКорни, знаменатели привести к степеням. Золотое правило. Корни, знаменатели привести к степеням. Золотое правилоПривести обе части к видуа f(x) =a g(x), используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями Золотое правило. Привести обе части к виду а f(x) =a g(x), используя свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями 2 4х – 9 = 2 х = 6. Главное меню Оглавление

28 2. Уравнения вида а f(x) = b f(x), а f(x) b f(x) = 1 а f(x) = b f(x) Решение: Разделить а f(x) на b f(x) а f(x) b f(x) = 1, (ab) f(x) = (ab) 0, f(x) = 0 Примеры. 1) 25 х – 1 = 3 2х – 2,т.к 25 = 5 2, то 5 2х – 2 = 3 2х – 2, Главное меню Оглавление

29 2) 12 х – 2 = 3 3х 2 6х з х – 2 2 2х – 4 = 3 3х 2 6х. Теперь выполним действие, при котором левую часть разделим на 3 3х, а правую на 2 2х – 4, т. е. крест на крест, чтобы тройки собрать с тройками, а двойки с двойками. Получим: 3 – 2х – 2 = 2 4х + 4 или 3 –( 2х + 2) = 4 2х + 2 или 4 2х х +2 = 1, 12 2х+2 = х + 2 = 0, х = — 1. Главное меню Оглавление

30 3. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + … Данные уравнения решаются путем «очищения показателя», т.е. приведения каждого слагаемого к виду k a m а f(x) + h a n а f(x) + … Далее — приведение подобных слагаемых Обратим внимание, что член, не содержащий а f(x) (9), преобразовывать не нужно. Примеры. 23 х + 1 – 63 х – 1 – 3 х = х – 61/33 х – 3 х = 9, 63 х – 23 х – 3 х = 9, Приведем подобные: легко подсчитать «штучки». Шесть штучек, минус две штучки, минус одна штучка, будет три штучки. 33 х = 9, 3 х = 3, х = 1. Главное меню Оглавление

31 2) 2 х – х – х – 3 = 448 Очистим показатель и приведем к целому виду х + 22 х + 2 х = 8448 Было бы лишним действием умножать 8448, т.к. потом все равно сокращать. 2 х = 64 2 х =8 64, 2 х = 2 9, х = Уравнения, сводящиеся к квадратным Если степени разнятся в два раза (а f(x) и а 2f(x) ), то необходимо сделать замену: а f(x) = t, где t > 0, т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел. Главное меню Оглавление 0, т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел. Главное меню Оглавление»>

32 Общий алгоритм поиска решения показательного уравнения основания показатели 1. Привести к одному основанию 2. «Очистить» показатель» 3. Привести к определенному виду 4. Решить согласно полученному виду

0 При замене не забывай» title=»2t 2 + 4t – 16 = 0, t 2 + 2t – 8 = 0, t = — 4, t = 2. t = — 4 — посторонний корень. 2 х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Примеры. 2 2х+1 + 2 х +2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 22 2х +4 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t, t > 0 При замене не забывай» > 33 2t 2 + 4t – 16 = 0, t 2 + 2t – 8 = 0, t = — 4, t = 2. t = посторонний корень. 2 х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Примеры. 2 2х х +2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 22 2х +4 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t, t > 0 При замене не забывайте нанести ограничения! Главное меню Оглавление 0 При замене не забывай»> 0 При замене не забывайте нанести ограничения! Главное меню Оглавление»> 0 При замене не забывай» title=»2t 2 + 4t – 16 = 0, t 2 + 2t – 8 = 0, t = — 4, t = 2. t = — 4 — посторонний корень. 2 х = 2, х = 1. Ответ: х = 1. Примеры. 2 2х+1 + 2 х +2 – 16 = 0. Сначала очистим показатель: 22 2х +4 2 х – 16 = 0. Сделаем замену 2х = t, t > 0 При замене не забывай»>

34 5. Однородные уравнения Однородные уравнения 2-го порядка должны содержать следующие обязательные элементы: — функций две; — степень одинаковая; — свободный член равен нулю. Решаются путем деления всех членов уравнения на одну из функций в большей степени. 16 х +36 х = 2 81 х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4 х · 9 х х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 9 2х 0 почленно. Главное меню Оглавление

35 t 2 + t — 2 = 0, t = — 2, t = 1 t = — 2 посторонний корень х = 0 Ответ: х = 0 16 х +36 х = 2 81 х Приведем степени к нужным основаниям: 4 2х +4 х · 9 х х = 0 Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 9 2х 0 почленно. Главное меню Оглавление

36 5. Логарифмические уравнения 1. Справочный материал Уравнение вида log а f(x) = b 2. Уравнение вида log а f(x) = b Уравнение вида log а f(x) = log a g(x) 3. Уравнение вида log а f(x) = log a g(x) 5. Уравнения, сводящиеся к квадратным Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) 4. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) Главное меню Вернуться

0 a 1 Главное меню Оглавление» title=»а > 0 a 1 Главное меню Оглавление» > 37 а > 0 a 1 Главное меню Оглавление 0 a 1 Главное меню Оглавление»> 0 a 1 Главное меню Оглавление»> 0 a 1 Главное меню Оглавление» title=»а > 0 a 1 Главное меню Оглавление»>

38 а = b log a b Основания должны быть одинаковые; логарифм должен быть «чистый» (коэффициент перед логарифмом равен 1). При применении помнить, что выражение под знаком логарифма больше нуля. 1. log a M · N = log a | M | + log a | N | 1) log 2 2x = 1 + log 2 x 2) lgx( 2x-3 ) = lg|x| + lg |2x-3| 2. log a M/N = log a | M | — log a | N | 1) log 2 2/x = 1 — log 2 x 2) lgx/( 2x-3 ) = lg|x| — lg |2x-3| 3.log a M 2n = 2n log a | M | 1) log 2 (-8) 2 = 2 log 2 | -8 | = 6 2) lg( 2x-3 ) 2 = 2 lg |2x-3| Главное меню Оглавление

39 При применении записать: равно, дробная черта; в числителе log c, в знаменателе – log c ; в числитель – b; в знаменатель -а = = = — 3 Главное меню Оглавление

40 5. Логарифмические уравнения 1. Уравнение вида log а f(x) = b Примеры: х -3, х – 2 = 3х + 9, х = 11/2, х = 5,5 Главное меню Оглавление

41 2. Уравнение вида log а f(x) = log а g(x) Можно выбрать одну систему, где неравенство легче Можно решать без равносильности, но надо сделать проверку и исключить посторонние корни. или Главное меню Оглавление

0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление» title=»Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление» > 42 Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление»> 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление»> 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление» title=»Примеры: Неравенство х – 2 > 0 проще, чем неравенство х 2 – 9 >0, поэтому лучше избрать для равносильности следующую систему Разнесите логарифмы Главное меню Оглавление»>

43 3. Уравнения, сводящиеся к виду log а f(x) = log а g(x) или log а f(x) = b Алгоритм решения 1. Найти ОДЗ уравнения; 2. Применить свойства логарифмов; 3. Решить согласно полученному виду; 4. Отобрать корни. Главное меню Оглавление

44 1) log 2 (x +1) + log 2 (x +2) = 1 1. ОДЗ 2. Сумма логарифмов log 2 (x +1)(x +2) = 1 3. Решение log 2 (x +1)(x +2) = 1 (x +1)(x +2) = 2, х 2 + 3х + 2 = 2, х = 0, х = посторонний корень Ответ: 0 Главное меню Оглавление

45 2) log 2 (x +1) — 2log 2 x = 1 Целесообразно избегать разности логарифмов, т. к. это приводит к дробям, что усложняет решение Любое число можно представить в виде логарифма по нужному основанию: c = log a a c 1 = log 2 2 Главное меню Оглавление

46 ОДЗ /3 7/3 1/ /3 x 7/3 Главное меню Оглавление

47 / /3 x 7/3 34/3 x = 3 Главное меню Оглавление

48 Уравнения, в которых степени логарифмов разнятся в два раза, решаются как квадратные с заменой логарифма. Например: log 2 и log, log 4 и log 2 и т.д. 4. Уравнения, сводящиеся к квадратным Следует отличать логарифм в квадрате и логарифм от квадрата: log 2 а f(x) = log а f(x) · log а f(x), a log a f 2 (x) = 2 log a |f (x)| Помните, что Логарифм в квадратеЛогарифм от квадрата 1) (lgx) 2 – 3lgx +2 = 0 lg 2 x– 3lgx +2 = 0, lgx = t, t R t 2 — 3t + 2 = 0, t= 1, t = 2 lgx = 1, lgx = 2 x = 10, x = 100 Главное меню Оглавление

49 Решение неравенств 1. Линейные неравенства Квадратные неравенства 2. Квадратные неравенства Показательные неравенства 3. Показательные неравенства Логарифмические неравенства 4. Логарифмические неравенства Главное меню Вернуться

b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление» title=»Неравенства вида kx >b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление» > 50 Неравенства вида kx >b; kx x х 2 – 8 > x (х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление»> b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление»> b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление» title=»Неравенства вида kx >b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Главное меню Оглавление»>

b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен» title=»Неравенства вида kx >b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен» > 51 Неравенства вида kx >b; kx x х 2 – 8 > x (х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравенств: 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k Главное меню Оглавление b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен»> b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравенств: 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k 1. Раскрыть скобки; 2. Привести подобные; 3. Найти х, разделив b на k Главное меню Оглавление»> b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен» title=»Неравенства вида kx >b; kx x + 62. 2х 2 – 8 > x + 6 3. 2(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 4. 2x(х – 8) + 5x x + 6 – 3 (7x +2) 2; 31; 41; 31; 3;4 Создайте алгоритм решения линейных неравен»>

52 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные — в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k Если коэффициент при х положительный, то знак неравенства не изменять Если коэффициент при х отрицательный, то знак неравенства изменить на противоположный Главное меню Оглавление

11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 53 Неизвестные – в одну сторону, свободные члены – в другую. Свободный член разделить на коэффициент.. 4(2 – х) – 5 + х > 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х 11 – x; Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3х > 11- x Пункт 2. — 2x > 8; Пункт 3. х

0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 54 D>0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c 0 D=0 D0 D=0 D0 a 0 ах 2 + bx + c

0 или f(x) 0 или f(x) 55 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид (раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные, расположить в порядке убывания степеней); Пункт 2. Записать функцию f(x) >0 или f(x) 0 или f(x) 0 или f(x) 0 или f(x) 0 или f(x)

0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст» title=»Пример 1. х 2 — 3х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст» > 56 Пример 1. х 2 — 3х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; 1 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; 1) (2;) Главное меню Оглавление 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст»> 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; 1 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; 1) (2;) Главное меню Оглавление»> 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст» title=»Пример 1. х 2 — 3х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 — 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенст»>

57 Пример 2. — х 2 — 3х + 4 0; f(x)= -x 2 — 3x + 4. Функция квадратичная, графиком является парабола. а = -1

58 1. Перенести все в одну сторону 2. Направление ветвей 3. Нули, координатная прямая, знаки: «+ — +» или «- + -» Главное меню Оглавление

4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» title=»Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» > 59 Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; -2) (2;) Главное меню Оглавление 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ»> 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; -2) (2;) Главное меню Оглавление»> 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» title=»Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ»>

0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» title=»Пример 3. х 2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» > 60 Пример 3. х 2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. -2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ»> 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. -2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ» title=»Пример 3. х 2 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х + — + Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функ»>

0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап» title=»Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап» > 61 Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x R Ответ: х R + Главное меню Оглавление 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап»> 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x R Ответ: х R + Главное меню Оглавление»> 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап» title=»Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х 2 + 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Зап»>

0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 62 Пример 5. -х > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= — х 2 — 4 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1

0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. » title=»Пример 6. х 2 — 4 x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. » > 63 Пример 6. х x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Ответ: + 2 x = 2 Главное меню Оглавление 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. «> 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Ответ: + 2 x = 2 Главное меню Оглавление»> 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. » title=»Пример 6. х 2 — 4 x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 — 4х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. «>

0 а 0 а 64 а > 0 а 2,5 > 2,5 3х – 1 ______ x + 4 х ______ Составим алгоритм: 3 x — 1 > 9 x a f(x) > a g(x ) ___________ f(x) g(x) a f(x) a g(x ) ___________ a f(x) g(x) f(x) 3 2x x — 1 > 2x, x 0 а 0 а 2,5 > 2,5 3х – 1 ______ x + 4 х ______ Составим алгоритм: 3 x — 1 > 9 x a f(x) > a g(x ) ___________ f(x) g(x) a f(x) a g(x ) ___________ a f(x) g(x) f(x) 3 2x x — 1 > 2x, x 0 а 0 а

0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10 65 Неравенства, сводящееся к квадратному: Решите неравенство 0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10 0 t 2 – 3t — 10

66 1. Определите ограничения; 2. Решите неравенство с новой переменной до конца (без ограничения); 3. Нанесите ограничения; 4. Сделайте обратную замену. Найдите неизвестное. Главное меню Оглавление

67 Логарифмическое неравенство привести к виду логарифм в левой части, логарифм – в правой части log a f(x) log a g(x) Так как функция у = log а t – функция возрастающая, то Знак неравенства не меняется log a f(x) log a g(x) Знак неравенства меняется Так как функция у = log а t – функция убывающая, то ОДЗ Главное меню Оглавление

log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление» title=»Решите неравенства Неравенство Решение log 2 (2x – 3) > log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление» > 68 Решите неравенства Неравенство Решение log 2 (2x – 3) > log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление»> log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление»> log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление» title=»Решите неравенства Неравенство Решение log 2 (2x – 3) > log 2 (7x – 8) lg(x + 8) -3 log 1/2 (x 2 – 16) > log 1/2 8 lg(x + 8) = lg 10 Главное меню Оглавление»>