При а больше 0 уравнение х а

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

При а1 х =;

При а3 х = ;

При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

При а2, а0 х = ;

При а-3, а-2, а0, 5 х =

При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0
— 2(а + 1) 0

а 6
а > — 1
а > 5/9

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

0 25/2
при а = 1, а = -2,2
0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0
2у = 1
у = 1/2

х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Найдите, при каких значениях а уравнение log ₂ (4 x – a) = x имеет единственный корень.

При каких значениях а уравнение х – log ₃ (2а – 9 х ) = 0 не имеет корней.

Ответы:

Параметр в квадратном уравнении

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Решение квадратных уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение — параметрическим.

Научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы, нельзя. Надо использовать соображения, рассматривать их как задачи исследовательские.

Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0 , а ≠ 0, где коэффициенты а, b, с – любые действительные числа, называется квадратным.

Выражение b 2 – 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный действительный корень (или говорят, что это уравнение имеет два кратных корня ).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня .

а ≠ 0, то сумма корней равна , а их произведение равно .

Обратное утверждение: Если числа х ₁ , х ₂ таковы, что

, , то эти числа – корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 .

Значения параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения, можно назвать контрольными или особыми. Очень важно уметь находить их.

При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х 2 обращается в нуль.

Если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное;

если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение (в этом и состоит качественное изменение уравнения).

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax ²+ bx + c , где a ≠0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола.

При a a >0 ветви направлены вверх.

Выражение x ²+ px + q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D = b ²- 4 ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D >0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D =0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох,

«Белое пятнышко» в теме «Квадратный трёхчлен и квадратичная функция» может привести к появлению «мёртвых зон» и провалов в наших знаниях элементарной математики. Кстати, преподаватели мехмата МГУ О. Черкасова и А. Якушева утверждают: « Во многих так называемых задачах повышенной сложности «торчат уши квадратного трехчлена».

. Расположение параболы по отношению к оси абсцисс

в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:

а оба корня будут отрицательны, если x 1+ x 2= — b / a

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения x 1• x 2= c / a

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c / a c • a D = b ²-4 ac >0.

Расположение корней квадратного трехчлена

Рассмотрим теперь особенности расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки : при каких значениях параметра корни ( только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q и т.д.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

При решении многих задач требуется знание следующих теорем и следствий.

Пусть f(х) = ах 2 + bx + с имеет действительные корни х₁, х₂ (которые могут быть кратными), а М, N – какие-нибудь действительные числа, причем М

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М (то есть лежали на числовой оси левее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем М (то есть точка М лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Эти две системы можно заменить формулой .

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М (то есть лежали на числовой оси правее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 1. Для того , чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М, но меньше, чем число N (то есть лежали в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, но меньше, а другой больше, чем число N (то есть отрезок МN лежал внутри интервала между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Акцентировать внимание надо на то, что здесь контрольными являются: направление ветвей параболы, знаки значений f(M), f(N), расположение вершины параболы..

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D >0. Воспользуемся теоремой 1(о знаках корней квадратного трехчлена). Составим систему :

D= (a+1) 2 — 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,

Решив последнюю систему, получим , что -∞ a a

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х + (4-а 2 )=0

имеет два корня разных знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 ( о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а 2 2 > 4 │а│> 2 => а 2. Ответ: а 2 .

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2ах + а 2 – а- 6 =0 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D >0 , а+6>0,

f (0)>0 ; a 2 — a -6>0.

Решив последнюю систему, получим -6 a a

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х 2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.

Решение. Пусть х₁ и х₂ корни квадратного трехчлена, причем х₁

D= 16a 2 +48 a +13 >0,

F (2)= 2 2 + (4 a +5)∙2 +3- 2 a

Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения

4х 2 – 2х + а =0 находятся между числами -1 и 1?

Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1,

Следствием 1 и составим систему :

-1 0 ,

Решив систему, получим -2

Теорема Виета и задачи с параметрами.

Задача 6 . При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна ?

Решение. Найдем дискриминант . Уравнение имеет два корня при любом a. Используя теорему Виета, найдем

+ =(+)²-2=(3 a )²-2 a ²

Поскольку , то , a =0,5; -0,5. Ответ: a =0,5; -0,5.

Задача7 . При каком значении m сумма квадратов корней уравнения

Задача 8. Найти все значения параметра а, при которых модуль разности корней уравнения x 2 -6 x +12+ a 2 -4 a =0 принимает наибольшее значение.

, — корни уравнения, тогда | — |

-расстояние между корнями, и оно, по условию, должно быть наибольшим.

Уравнение запишем в виде: -6 x +12=- a ²+4 a

и решим его графически.

= 3, y _в =3

-прямая, параллельная оси ОХ.

Чем выше она пройдет, тем больше расстояние между корнями ,т.е. надо узнать, при каком значении а функция у= y ( a )= a ²+4 a

принимает наибольшее значение .

Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Функция достигает наибольшего значения при =2.

Графический способ определения числа корней уравнения с параметром.

Рациональность любого верного решения опирается на условия задачи и напрямую зависит от них. Иногда графический метод помогает быстрее и удобнее решить задачу.

Остановимся на нахождении числа решений уравнений с параметрами, в которых под знаком модуля находится квадратный трёхчлен.

Задача 9. Найдите число решений уравнения

Решение: Построим график функции — 2 x – 3 | .

Выделим полный квадрат:

(1; -4) -координаты вершины параболы

Уравнение = a имеет столько решений, сколько

раз прямая у = а пересекает график функции

если , то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;

если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения;

если , то графики имеют четыре общие точки — четыре решения;

если , то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;

если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.

y = a (

4 y = a (

y = a (

Задача 10 . Для каждого значения параметра а определите число решений

уравнения .

Решение: Здесь в отличие от предыдущего уравнения параметр а входит в выражение, как стоящее под знаком модуля, так и находящееся вне его. Преобразуем левую часть данного уравнения:

Строим схематически график левой части данного уравнения с учётом того, что дискриминант квадратного трёхчлена всегда положителен: .

Проводим горизонтальные прямые – графики функции у = а + 3

При различных значениях параметра а.

Если , т.е. , то графики и

не пересекаются, и значит, нет решений.

Если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то графики пересекаются в двух точках

-уравнение имеет два решения.

Если , то графики имеют четыре общие точки ,

а уравнение – четыре решения.

Найдём, при каких значениях а уравнение будет иметь четыре решения. Для этого решим двойное неравенство

, или

Значит, при и уравнение имеет четыре решения. Если = -1 и а = 2, то графики имеют три

Общие точки . Значит, уравнение имеет три решения.

Если же то графики пересекаются в двух точках , т.е. уравнение имеет два решения.

y = a +3

y = a +3 (

y = a + 3 (

Графический метод не дает в большинстве случаев точного решения уравнения, однако, часто оказывается более эффективным, чем аналитический, т.к. он может быть полезен для наглядной иллюстрации

рассуждений. Но не стоит забывать о его «подводных рифах», так как иногда не все решения можно увидеть . В силу ограниченности наших графических возможностей абсолютно точный график в принципе построить нельзя, поэтому слепо доверять рисунку может быть просто опасно. Более того, часто случается, что при решении задач подобным способом не обойтись без аналитических формул и вычислений.

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1 . Уравнения

� 1.4. Уравнения с параметрами .

6. Квадратный трехчлен и параметры

Квадратный трехчлен в школе можно назвать главной функцией всей математики 8-9 классов, а также всей школьной математики.

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но, однако, количество таких теорем будет практически необозримо. И остается только одно- научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче. Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного трехчлена, но и умение мыслить одновременно на двух языках — алгебраическом и геометрическом.

Это значит, что для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь дать геометрическую интерпретацию на графике, и наоборот. Например:

� старший коэффициент меньше нуля — значит ветви параболы направлены вниз;

� график функции у = ах 2 + bх + с находится выше оси абсцисс- значит а>0, b 2 — 4ac

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х 2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Построим график квадратного трехчлена, удовлетворяющий данному условию. Если потребовать, чтобы f(2) 2 + (a + 1)x + 3, то отсюда будет следовать, что корни уравнения существуют и лежат по разные стороны от числа 2. Верно и обратное, то есть справедлива следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы корни квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 лежали по разные стороны от числа к необходимо и достаточно, чтобы f(k)

В нашем случае f(2) = 4 + 2(а + 1) + 3 = 2а + 9, 2а + 9 Ответ: а

Пример 2. Найти все а, при которых корни уравнения х 2 + х + а = 0 различные и оба больше а.

Дадим геометрическую интерпретацию поставленной задачи (рис.9). Очевидно, что если f(a) > 0, х_в > a и D > 0, то оба корня действительно различны и оба больше а. Ни одно из условий не является лишним.

Например, если отбросить условие D > 0, то возможна ситуация (см. рис. 10) и корней вообще нет, хотя f(a) > 0, x_в > а.

Если отбросить условие f(a) > 0, то возможна ситуация (см. рис.11) и один корень меньше а, другой больше a , хотя D > 0 и х_в > а.

Если отбросить условие х_в > а, то возможна ситуация (см. рис. 12) и корни уравнения меньше а, хотя D > 0 и f(a) > 0.

Теорема. Для того, чтобы корни уравнения х 2 + рх + q = 0 были различны и оба больше к необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

В нашем примере f(a) = а 2 + а + а = а 2 + 2а, D = 1 — 4а, х_в = — .

Получаем систему неравенств.

Систему решаем методом интервалов (рис. 13).

Ответ: а .

Пример 3. Найти все значения параметра р, при которых корни уравнения х 2 + (р + 1)х + р = 0 принадлежат промежутку (-2;3).

Дадим геометрическую интерпретацию этой задачи (см. рис.14).Очевидно, что если f(-2) > 0, f(3) > 0, D , -2

Итак, в нашем случае f(-2) = 4 — 2(p + 1) + p = 2 — p,

f(3) = 9 + 3(p + 1) + p = 12 + 4p,

D = (p + 1) 2 — 4p = (p — 1) 2 ,

Итак, имеем систему неравенств:

или

Пример 4. При каких а уравнение (1 + 2а)х 4 — 2ах 2 + (1 + а) = 0:

1) не имеет действительных корней;

2) имеет один корень;

3) имеет два корня;

4) имеет три корня;

5) имеет четыре корня.

Введем новую переменную у = х 2 . Тогда заданное уравнение равносильно уравнению (1 + 2а)у 2 — 2ау + (1 + а) = 0, где у = х 2 .

Изложим схему исследования.

1. Уравнение (1 + 2а)у 2 — 2ау + (1 + а) = 0 , где у = х 2 не имеет решений в трех случаях:

1) D = (2а) 2 — 4(1 + а)(1 + 2а)

2) D 0 и у₁

3) а = — (тогда у = — ).

2. Система имеет один корень:

3. Система имеет два корня в случаях:

2)D > 0, у₁ 0 (корни находятся по разные стороны от нуля.)

4. Система имеет три корня, если D > 0, у₁ > 0, у₂ = 0.

5. Система имеет четыре корня, если D > 0, у₁ > 0, у₂ > 0 (оба корня правее нуля.)

Дальнейшее исследование проводится аналогично предыдущим случаям. Получите решение самостоятельно!

7. Теорема Виета и параметры.

Многие уравнения с параметрами связаны с использованием теоремы Виета. При этом важно понимать, что теорема Виета в школьном курсе формулируется только для случая, когда существуют действительные корни уравнения, в противном случае можем получить ошибочный ответ (см. пункт 4 примеров 1 и 2).

Приведем некоторые примеры, в которых используется теорема Виета.

Пример 1. При каких а разность корней уравнения 2х 2 — (а + 1)х + (а — 1) =0 равна их произведению?

Прежде всего заметим, что теорема Виета применима при любом а, так как

D = (а + 1) 2 — 8(а — 1) = а 2 — 6а + 9 = (а — 3) 2 0.

По теореме Виета и кроме того х₁-х₂ = х₁х₂,

тогда х₁= , х₂= .

Тогда , а = 2.

Пример 2. Найти наименьшее значение выражения х₁ 2 + х₂ 2 , если х₁ и х₂ � корни уравнения х 2 — 2ах + а + 6 = 0.

По теореме Виета х₁+ х₂ = 2а,

Казалось бы, мы должны найти наименьшее значение выражения 4а 2 — 2а — 12, а оно достигается в вершине параболы у = 4а 2 — 2а — 12,

, и а = .

На самом деле мы опять допускаем ту же ошибку, т. е. если подставить в уравнение, то оно не имеет решений. Поэтому мы должны найти, при каких а теорема Виета применима, то есть D = 4а 2 — 4а — 24 0.