При каких а оба корня уравнения больше 1

Урок математики в 11-м классе «Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра»

Разделы: Математика

Цель:

• формировать умение распознавать положение квадратной параболы на плоскости в зависимости от параметра,
• развивать логическое мышление,
• умение работать в проблемной ситуации.

Ход урока

Проверка домашнего задания.

Объяснение нового материала.

Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Пусть квадратный трёхчлен f(x) = ax 2 + bx + с имеет корни x₁ и x₂, — абсцисса вершины параболы y = ax 2 + bx + с, d — заданное число. Рассмотрим ряд утверждений, связанных с взаимным расположением x₁ , x₂ и числа d.

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше числа d, (рис.1) необходимо и достаточно выполнение условий.

Пример:

При каких значениях параметра а корни уравнения ax 2 —(2а + 1)х + 3а — 1 = 0 больше единицы?

Решение: 1. При а = 0 х = -1 — не удовлетворяет требованию задачи.

2. При а

Ответ:

Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше числа d, (рис.2) необходимо и достаточно выполнение условий

Рассмотрим задачи на применение этих теорем, обращая внимание на алгоритм получения необходимых и достаточных условий, соответствующих данному случаю расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси. Учащиеся должны научиться составлять эти условия, а не пытаться механически их запомнить.

Задачи для самостоятельного решения.

Найдите значение параметра m, при которых уравнение имеет два отрицательных решения.

Ответ: при уравнение имеет два отрицательных решения.

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет два положительных различных решения.

Ответ: при уравнение имеет два положительных различных решения

При каких значениях параметра а корни уравнения больше 1?

Ответ: при корни уравнения больше 1.

При каких значениях параметра а оба корня уравнения меньше 1?

Ответ: при оба корня уравнения меньше 1.

При каких значениях параметра p оба корня квадратного трехчлена отрицательны?

Ответ: при оба корня квадратного трехчлена отрицательны.

Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1?

Ответ: не существует таких значений параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1.

Теорема 3. Для того чтобы число d было расположено между корнями квадратного трёхчлена, (рис.3) необходимо и достаточно выполнение условий

Задача для самостоятельного решения

Найти все значения параметра , при которых только один корень квадратного трехчлена больше 2.

Ответ: или .

При каком значении параметра один корень уравнения больше 1, а другой — меньше 1?

Ответ: при один корень уравнения больше 1, а другой — меньше 1.

При каких значениях параметра число 2 находится между корнями квадратного уравнения ?

Ответ: при один корень уравнения больше 2, а другой — меньше .

Найти все значения параметра , при которых только один корень уравнения удовлетворяет неравенству .

Ответ: или .

Теорема 4. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена лежали в интервале (d: p), (рис.4) необходимо и достаточно выполнение условий

(4)

Пример. При каких значениях параметра а оба корня уравнения удовлетворяют условию 1 8.08.2010

Задача 33602 При каких a оба корня уравнения.

Условие

При каких a оба корня уравнения x^2+4ax+(1−2a+4a^2)=0 меньше -1?

Решение

Пусть x_(1) и x_(2) — корни данного уравнения.

Графиком функции f(x) = x^2+4ax+(1-2a+4a^2)
является парабола, пересекающая ось Ох в точках x_(1) и x_(2). Поскольку коэффициент перед x^2
a=1>0, ветви параболы направлены вверх.

Значит, одним из условий для выполнения требований задачи задачи является
(1)
0 ( это гарантирует наличие двух корней)
При этом по отношению к (-1) возможны три случая расположения корней, оба корня слева от (-1), оба корня справа от (-1)
и (-1) между корнями
Условие
(2)
0
исключает случай: один корень меньше (-1), другой больше (-1)
Условие
(3)
исключает второй случай
1/2
<1-4a+1-2a+4a^2 >0 ⇒ 2a^2-3a+1 >0 ⇒ a 1
<-2a 1/2

О т в е т. при а > 1

При каких а оба корня уравнения больше 1

Пример 2.2. Найти все значения параметр а, квадратное уравнение

(a – 2 )x 2 – 2 ax + 2 a – 3 = 0

имеет два различных положительных корня.

Решение : Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax 2 + bx + c были больше 0 (т.е. лежали на числовой оси правее 0 ), необходимо и достаточно выполнение условий:

В данном случае эти условия имеют вид (с учетом того, что D > 0 , когда a или a > 6 )

Откуда получаем:

Самостоятельно разберите ситуации когда:

оба корня отрицательны

один отрицательный, а другой положительный