При каких параметрах а уравнение ax 2

Задачи с параметром

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение ( a — 1) x 2 + 2 x + a — 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2 x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4 a 2 — 8 a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О <0; 1; 2>.

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16 a 2 -4(8 a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4 a 2 -8 a -3 > 0, откуда

a Ц 7 2

или a > 1 +

Ц 7 2

2. Ответ:

a О (- Ґ ; 1 –

Ц 7 2

) И (1 +

Ц 7 2

; Ґ ).

3. Задача.
Известно, что
f 2 ( x ) = 6 x — x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 ( x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 ( x ) и f 2 ( x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 ( x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx + b и y = ax 2 + bx + c ( a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx + b = ax 2 + bx + c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6 x — x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4 a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2 x — a = 6 x — x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2 ax -3 a і 0 содержит отрезок [3;6].

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f ( x ) = x 2 -2 ax -3 a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f ( x ) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем

м
н
о

a Ј 3,

f (3) = 9-9 a і 0,

м
н
о

3 a D = 4 a 2 +12 a Ј 0,

м
н
о

a і 6,

f (6) = 36-15 a і 0.

Решением первой системы является множество (- Ґ ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.

4. Ответ: a О (- Ґ ,1].

5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение

x 2 +2 ax -3 a +7 = 2 x

имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2 a -2) x — 3 a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 + a -6 > 0. Решая неравенство, находим a a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции

f ( x ) =

x 2 + | ax +2 | a -1

проходит через точку с координатами (-1;1).

6. Решение.
Из условия f (-1) = 1 имеем уравнение

1 =

1+ | — a +2 | a -1

или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2- a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О [2; Ґ ).

7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения

x 2 -2 ax + a 2 — a = 0

больше чем 12?

7. Решение.
Дискриминант уравнения x 2 -2 ax + a 2 — a = 0 равен 4 a . Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x 1 + x 2 = 2 a и x 1 · x 2 = a 2 — a . Отсюда x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 -2 x 1 · x 2 = 2 a 2 +2 a . Решениями неравенства 2 a 2 +2 a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид $ax^2+bx+c=0,$ где $a,b,c$ — любые числа $(a≠0)$. При этом надо быть внимательным, если $a=0$, то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при $x^2$ и рассматривать 2 случая: $a=0$ (линейное уравнение); $a≠0$ (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа $γ$: $x_1≤x_2 0)$; ветки параболы направлены вниз $(a 0$. Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число $γ$ должно по условию лежать вне отрезка $(x_1,x_2)$, то $f(γ)>0$.
$a 0$. Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа $γ$.

В итоге получаем:

если $a*f(γ) 0$, то $γ∉(x_1,x_2)$.

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа $γ$. Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы $x_0$ относительно $γ$. Заметим, что вершина лежит между точками $x_1$ и $x_2$. Если \(x_0 0, \\x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если $a(a+3)=0$, то уравнение будет линейным. При $a=0$ исходное уравнение превращается в $6x-9=0$, корень которого $x=1,5$. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет один корень.
При $a=-3$ получаем $0*x^2+0*x-0=0$, корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если $a≠0; a≠-3$, то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом $a≠0;$ $a≠-3$, получим, что уравнение имеет два корня при $a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)$. Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку $[-2;2]$.

1 случай: Если $a=-1$, то $0*x^2-x+1-1=0$ отсюда $x=0$. Это решение принадлежит $[-2;2]$.

2 случай: При $a≠-1$, получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат $[-2;2]$. Для решения введем функцию $f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1$ и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему:

Задачи с параметрами, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного уравнения

Разделы: Математика

Постановка цели урока:

Рассмотрим, как при решении задач с параметрами используются свойства квадратной функции. Задачи разнообразные по форме и содержанию, но объединены обшей идеей — в основе их решения лежат свойства функции: у=ах 2 +bх+с

Дискриминант, старший коэффициент а и х_о=(-b/2а) абсцисса вершины параболы конструируют основу, на которой строится теория решения задач, связанных с квадратичной функцией.

При каких значениях параметра а корни уравнения ах 2 -(2а+1)х+За-1=0 больше 1?

Очевидно, что задача равносильна следующей: “при каких значениях параметра, а корни квадратного трехчлена f(х)=ах -(2а+1)х+За-1 больше 1?

Переход от одной формулировки задач к другой дает возможность использовать основную идею решения, которая связана с описанием свойств квадратного трехчлена и с их геометрической интерпретацией.

В частности, чтобы корни квадратного трехчлена f(х)=ах +bх+с (а≠0) были больше числа d (х₁; х₂ > d) необходимо и достаточно выполнение условий:

Скажите, а как можно от совокупности двух систем перейти к одной системе

Мы получим условие того, что корни квадратного трехчлена больше данного числа d. Неплохо бы помнить данное утверждение, однако заучивать его не надо, гораздо важнее понять механизм возникновения необходимости неравенств и научиться его применить при решении конкретных неравенств и научиться его применить при решении конкретных задач. Вернемся к нашей задаче:

а=0

=> х=-1 не удовлетворяет условию задачи

Остается только решить эту систему неравенств (1) при а (1; )

Скажите, а есть ли другой способ задач? (Этот же результат мы получим, решая неравенство x₁>1, где x₁ — меньший корень уравнения.)

При каких значениях а корни уравнения х 2 -2(а-1)х+2а+1=0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?
Как можно перефразировать данное задание? (Например, корни квадратичного трехчлена принадлежат промежутку (-4;4)

Как можно заменить два последних неравенства в данной конкретной задаче, учитывая, что ветви параболы направлены вверх?

Развиваем I — ключевую задачу:

Найти а, при которых число -1 лежит между корнями уравнения х 2 +2ах+4а 2 -а-2=0 Мы варьируем условие! Во второй задаче корень лежит между числами, а в третьей число лежит между корнями.

Вернемся ко второй задаче: обязательно ли условие D≥0?