При каких значениях а корни уравнения

При каких значениях а корнем уравнения х(6 — а) + а(х + 2) = 26 является число 4?

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,298
• гуманитарные 33,622
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,232
• разное 16,830

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

При каких значениях а корни уравнения

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1 . Уравнения

� 1.4. Уравнения с параметрами .

6. Квадратный трехчлен и параметры

Квадратный трехчлен в школе можно назвать главной функцией всей математики 8-9 классов, а также всей школьной математики.

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но, однако, количество таких теорем будет практически необозримо. И остается только одно- научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче. Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного трехчлена, но и умение мыслить одновременно на двух языках — алгебраическом и геометрическом.

Это значит, что для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь дать геометрическую интерпретацию на графике, и наоборот. Например:

� старший коэффициент меньше нуля — значит ветви параболы направлены вниз;

� график функции у = ах 2 + bх + с находится выше оси абсцисс- значит а>0, b 2 — 4ac

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х 2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Построим график квадратного трехчлена, удовлетворяющий данному условию. Если потребовать, чтобы f(2) 2 + (a + 1)x + 3, то отсюда будет следовать, что корни уравнения существуют и лежат по разные стороны от числа 2. Верно и обратное, то есть справедлива следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы корни квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 лежали по разные стороны от числа к необходимо и достаточно, чтобы f(k)

В нашем случае f(2) = 4 + 2(а + 1) + 3 = 2а + 9, 2а + 9 Ответ: а

Пример 2. Найти все а, при которых корни уравнения х 2 + х + а = 0 различные и оба больше а.

Дадим геометрическую интерпретацию поставленной задачи (рис.9). Очевидно, что если f(a) > 0, х_в > a и D > 0, то оба корня действительно различны и оба больше а. Ни одно из условий не является лишним.

Например, если отбросить условие D > 0, то возможна ситуация (см. рис. 10) и корней вообще нет, хотя f(a) > 0, x_в > а.

Если отбросить условие f(a) > 0, то возможна ситуация (см. рис.11) и один корень меньше а, другой больше a , хотя D > 0 и х_в > а.

Если отбросить условие х_в > а, то возможна ситуация (см. рис. 12) и корни уравнения меньше а, хотя D > 0 и f(a) > 0.

Теорема. Для того, чтобы корни уравнения х 2 + рх + q = 0 были различны и оба больше к необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

В нашем примере f(a) = а 2 + а + а = а 2 + 2а, D = 1 — 4а, х_в = — .

Получаем систему неравенств.

Систему решаем методом интервалов (рис. 13).

Ответ: а .

Пример 3. Найти все значения параметра р, при которых корни уравнения х 2 + (р + 1)х + р = 0 принадлежат промежутку (-2;3).

Дадим геометрическую интерпретацию этой задачи (см. рис.14).Очевидно, что если f(-2) > 0, f(3) > 0, D , -2

Итак, в нашем случае f(-2) = 4 — 2(p + 1) + p = 2 — p,

f(3) = 9 + 3(p + 1) + p = 12 + 4p,

D = (p + 1) 2 — 4p = (p — 1) 2 ,

Итак, имеем систему неравенств:

или

Пример 4. При каких а уравнение (1 + 2а)х 4 — 2ах 2 + (1 + а) = 0:

1) не имеет действительных корней;

2) имеет один корень;

3) имеет два корня;

4) имеет три корня;

5) имеет четыре корня.

Введем новую переменную у = х 2 . Тогда заданное уравнение равносильно уравнению (1 + 2а)у 2 — 2ау + (1 + а) = 0, где у = х 2 .

Изложим схему исследования.

1. Уравнение (1 + 2а)у 2 — 2ау + (1 + а) = 0 , где у = х 2 не имеет решений в трех случаях:

1) D = (2а) 2 — 4(1 + а)(1 + 2а)

2) D 0 и у₁

3) а = — (тогда у = — ).

2. Система имеет один корень:

3. Система имеет два корня в случаях:

2)D > 0, у₁ 0 (корни находятся по разные стороны от нуля.)

4. Система имеет три корня, если D > 0, у₁ > 0, у₂ = 0.

5. Система имеет четыре корня, если D > 0, у₁ > 0, у₂ > 0 (оба корня правее нуля.)

Дальнейшее исследование проводится аналогично предыдущим случаям. Получите решение самостоятельно!

7. Теорема Виета и параметры.

Многие уравнения с параметрами связаны с использованием теоремы Виета. При этом важно понимать, что теорема Виета в школьном курсе формулируется только для случая, когда существуют действительные корни уравнения, в противном случае можем получить ошибочный ответ (см. пункт 4 примеров 1 и 2).

Приведем некоторые примеры, в которых используется теорема Виета.

Пример 1. При каких а разность корней уравнения 2х 2 — (а + 1)х + (а — 1) =0 равна их произведению?

Прежде всего заметим, что теорема Виета применима при любом а, так как

D = (а + 1) 2 — 8(а — 1) = а 2 — 6а + 9 = (а — 3) 2 0.

По теореме Виета и кроме того х₁-х₂ = х₁х₂,

тогда х₁= , х₂= .

Тогда , а = 2.

Пример 2. Найти наименьшее значение выражения х₁ 2 + х₂ 2 , если х₁ и х₂ � корни уравнения х 2 — 2ах + а + 6 = 0.

По теореме Виета х₁+ х₂ = 2а,

Казалось бы, мы должны найти наименьшее значение выражения 4а 2 — 2а — 12, а оно достигается в вершине параболы у = 4а 2 — 2а — 12,

, и а = .

На самом деле мы опять допускаем ту же ошибку, т. е. если подставить в уравнение, то оно не имеет решений. Поэтому мы должны найти, при каких а теорема Виета применима, то есть D = 4а 2 — 4а — 24 0.

Решая неравенство, получим или .

Из графика функции у = 4а 2 — 2а — 12 (см. рис. 16) видно, что наименьшее значение будет среди двух чисел f (-2) и f (3):

Итак, наименьшее значение выражения х₁ + х₂ равно 8 при а = -2.

Упражнения

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

4.5. .

4.6. .

4.7. =0.

4.8. .

4.9. .

4.10. .

4.11. .

4.12. .

4.13. .

4.14. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение :

а) имеет два корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней.

4.15. .

4.16. .

4.17. .

4.18. .

4.19. .

4.20. При каких а уравнение имеет единственное решение?

4.21. При каких а интервал (2;3) находится между корней уравнения ?

Указание. Рассмотреть два случая: 1) a >0; 2) a

4.22. При каких m уравнение имеет один корень больше 2, другой меньше 2?

4.23. При каких к корни уравнения принадлежат интервалу (-6;1)?

4.24. Найти все р, при которых один корень уравнения больше 3, другой � меньше 2.

4.25. Вычислить сумму корней уравнения и найти значение а, при котором соответствующая эта сумма принимает наибольшее значение.

Указание : х₁ + х₂ = 6а — 2а 2 . Требуется найти наибольшее значение 6а — 2а 2 при условии, что D 0.

4.26. Решить уравнение .

4.27. При каких а уравнение :

1) имеет не более одного решения;

2) не менее одного решения.

Обязательно самостоятельно выполните

1.1(а,в); 1.2(а); 1.3(а); 2.4; 2.13; 3.1; 3.5; 4.2; 4.6; 4.9.

1.2(б); 1.4; 2.12; 2.15; 3.10; 4.14; 4.16; 4.21; 4.23; 4.25.

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а1 х =;

1. При а3 х = ;

1. При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

1. При а2, а0 х = ;

1. При а-3, а-2, а0, 5 х =

1. При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0

а 6 а > — 1 а > 5/9

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Ответы:

при а 16.06.2009