При каких значениях a отношение корней уравнения

ax^2+(a+3)x+3=0 Отношение корней равно 1.5 Найти значения параметра а и корни

Коэффициенты квадратного трехчлена ax^2+bx+c таковы, что a-b+c=0, следовательно, х1=-1, х2=-3/а.
По условию х1/х2=1,5 или х2/х1=1,5, подставляем:
1) -1/(-3/а) =1,5; а=4,5; корни -1 и -2/3;
2) (-3/а) /(-1)=1,5; а=2; корни -1 и -3/2.

Это дадача элементарно решается через, который в общем случае равен b2 — 4ac=D.
А отношение корней равно (b+vD)/(b-vD)=1.5
v — корень квадратный.

Задача 34254 1.В уравнении найти то значение х^2 -.

Условие

1.В уравнении найти то значение х^2 — 2x +c = 0 , при котором его корни и удовлетворяют условию 7х1 — 4х2 = 47.
2.При каком значении p отношение корней уравнения x^2 +px — 16 = 0 равно -4?

Решение

1.
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=2
По условию
7х_(1) – 4х_(2) = 47

По теореме Виета
x_(1)*x_(2)=с.
с=5*(-3)=-15

2.
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-p
и
x_(1)*x_(2)=-16
По условию
x_(1)/x_(2)=-4⇒ x_(2)=-4x_(1)

подставим в первое
x_(1)*(-4x_(1))=-16

При каких значениях a отношение корней уравнения

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1 . Уравнения

� 1.4. Уравнения с параметрами .

6. Квадратный трехчлен и параметры

Квадратный трехчлен в школе можно назвать главной функцией всей математики 8-9 классов, а также всей школьной математики.

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но, однако, количество таких теорем будет практически необозримо. И остается только одно- научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче. Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного трехчлена, но и умение мыслить одновременно на двух языках — алгебраическом и геометрическом.

Это значит, что для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь дать геометрическую интерпретацию на графике, и наоборот. Например:

� старший коэффициент меньше нуля — значит ветви параболы направлены вниз;

� график функции у = ах 2 + bх + с находится выше оси абсцисс- значит а>0, b 2 — 4ac

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х 2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Построим график квадратного трехчлена, удовлетворяющий данному условию. Если потребовать, чтобы f(2) 2 + (a + 1)x + 3, то отсюда будет следовать, что корни уравнения существуют и лежат по разные стороны от числа 2. Верно и обратное, то есть справедлива следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы корни квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 лежали по разные стороны от числа к необходимо и достаточно, чтобы f(k)

В нашем случае f(2) = 4 + 2(а + 1) + 3 = 2а + 9, 2а + 9 Ответ: а

Пример 2. Найти все а, при которых корни уравнения х 2 + х + а = 0 различные и оба больше а.

Дадим геометрическую интерпретацию поставленной задачи (рис.9). Очевидно, что если f(a) > 0, х_в > a и D > 0, то оба корня действительно различны и оба больше а. Ни одно из условий не является лишним.

Например, если отбросить условие D > 0, то возможна ситуация (см. рис. 10) и корней вообще нет, хотя f(a) > 0, x_в > а.

Если отбросить условие f(a) > 0, то возможна ситуация (см. рис.11) и один корень меньше а, другой больше a , хотя D > 0 и х_в > а.

Если отбросить условие х_в > а, то возможна ситуация (см. рис. 12) и корни уравнения меньше а, хотя D > 0 и f(a) > 0.

Теорема. Для того, чтобы корни уравнения х 2 + рх + q = 0 были различны и оба больше к необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

В нашем примере f(a) = а 2 + а + а = а 2 + 2а, D = 1 — 4а, х_в = — .

Получаем систему неравенств.

Систему решаем методом интервалов (рис. 13).

Ответ: а .

Пример 3. Найти все значения параметра р, при которых корни уравнения х 2 + (р + 1)х + р = 0 принадлежат промежутку (-2;3).

Дадим геометрическую интерпретацию этой задачи (см. рис.14).Очевидно, что если f(-2) > 0, f(3) > 0, D , -2

Итак, в нашем случае f(-2) = 4 — 2(p + 1) + p = 2 — p,

f(3) = 9 + 3(p + 1) + p = 12 + 4p,

D = (p + 1) 2 — 4p = (p — 1) 2 ,

Итак, имеем систему неравенств:

или

Пример 4. При каких а уравнение (1 + 2а)х 4 — 2ах 2 + (1 + а) = 0:

1) не имеет действительных корней;

2) имеет один корень;

3) имеет два корня;

4) имеет три корня;

5) имеет четыре корня.

Введем новую переменную у = х 2 . Тогда заданное уравнение равносильно уравнению (1 + 2а)у 2 — 2ау + (1 + а) = 0, где у = х 2 .

Изложим схему исследования.

1. Уравнение (1 + 2а)у 2 — 2ау + (1 + а) = 0 , где у = х 2 не имеет решений в трех случаях:

1) D = (2а) 2 — 4(1 + а)(1 + 2а)

2) D 0 и у₁

3) а = — (тогда у = — ).

2. Система имеет один корень:

3. Система имеет два корня в случаях:

2)D > 0, у₁ 0 (корни находятся по разные стороны от нуля.)

4. Система имеет три корня, если D > 0, у₁ > 0, у₂ = 0.

5. Система имеет четыре корня, если D > 0, у₁ > 0, у₂ > 0 (оба корня правее нуля.)

Дальнейшее исследование проводится аналогично предыдущим случаям. Получите решение самостоятельно!

7. Теорема Виета и параметры.

Многие уравнения с параметрами связаны с использованием теоремы Виета. При этом важно понимать, что теорема Виета в школьном курсе формулируется только для случая, когда существуют действительные корни уравнения, в противном случае можем получить ошибочный ответ (см. пункт 4 примеров 1 и 2).

Приведем некоторые примеры, в которых используется теорема Виета.

Пример 1. При каких а разность корней уравнения 2х 2 — (а + 1)х + (а — 1) =0 равна их произведению?

Прежде всего заметим, что теорема Виета применима при любом а, так как

D = (а + 1) 2 — 8(а — 1) = а 2 — 6а + 9 = (а — 3) 2 0.

По теореме Виета и кроме того х₁-х₂ = х₁х₂,

тогда х₁= , х₂= .

Тогда , а = 2.

Пример 2. Найти наименьшее значение выражения х₁ 2 + х₂ 2 , если х₁ и х₂ � корни уравнения х 2 — 2ах + а + 6 = 0.

По теореме Виета х₁+ х₂ = 2а,

Казалось бы, мы должны найти наименьшее значение выражения 4а 2 — 2а — 12, а оно достигается в вершине параболы у = 4а 2 — 2а — 12,

, и а = .

На самом деле мы опять допускаем ту же ошибку, т. е. если подставить в уравнение, то оно не имеет решений. Поэтому мы должны найти, при каких а теорема Виета применима, то есть D = 4а 2 — 4а — 24 0.