Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»
Разделы: Математика
Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.
Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.
- систематизация знаний учащихся;
- выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
- формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
- осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
- развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.
Урок рассчитан на два учебных часа.
Ход урока
- Организационный момент
Сообщение темы, целей и задач урока.
- Актуализация опорных знаний учащихся
Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений
а) б) в)
графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая
Ответы:
Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.
В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: .
Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.
Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:
- если (если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как ), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение
- если то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет
- если то прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений
К каждому случаю полезно выполнить рисунок.
Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.
Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.
Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений
- Система имеет единственное решение, если
В этом случае имеем
- Если а = 0, то система принимает вид
Система несовместна, т.е. решений не имеет.
- Если то система запишется в виде
Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; где t-любое действительное число.
- при система имеет единственное решение
- при а = 0 — нет решений;
- при а = 3 — бесконечно много решений вида где t R
Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений
- имеет единственное решение;
- имеет множество решений;
- не имеет решений?
- система имеет единственное решение, если
- подставим в пропорцию значение а = 1, получим , т.е. система имеет бесконечно много решений;
- при а = -1 пропорция примет вид: . В этом случае система не имеет решений.
- при система имеет единственное решение;
- при система имеет бесконечно много решений;
- при система не имеет решений.
Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система
имеет бесчисленное множество решений.
Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если
То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.
- Закрепление изученного в ходе решения задач
- № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений
- № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений
- При каких значениях параметра a система уравнений
а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.
Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений
- Практическая работа в группах
Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.
Карточка. Решите систему линейных уравнений
при всех значениях параметра а.
Ответ: при система имеет единственное решение ; при нет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t R
Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.
Отчет группы, первой верно выполнившей задание
Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.
- При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
- При каком значении p система не имеет решений?
- При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
- При каком значении p система не имеет решений?
- Итоги урока
Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.
При решении следует помнить:
- для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
- чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
- и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.
Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.
При каких значениях параметра b система уравнений
- имеет бесконечно много решений;
- не имеет решений?
Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.
- Найдите b и k,
- найдите координаты точки пересечения этих графиков.
Решите систему уравнений при всех значениях m и n.
Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).
- Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
- Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
- Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
- Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
- Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.
Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.
В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.
Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin
Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.
$$ \left(\begin
Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $\left(\begin
Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.
В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $\rang A\neq\rang\widetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.
$\rang A\neq\rang\widetilde$
Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2\neq<0>$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $\rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $\rang \widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:
Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k\neq<1>$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.
$\rang A=\rang\widetilde<3$
Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.
Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $\rang=\rang\widetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $\rang A=\rang\widetilde=2<3$.
Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:
$$ \left(\begin
$\rang A=\rang\widetilde=3$
Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2\neq<0>$, т.е. $k\neq<-1>$ и $k\neq<1>$. Продолжаем решение методом Гаусса:
$$ \left(\begin
Исследовать СЛАУ $\left\ <\begin
Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.
Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:
Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $\Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.
Случай $k=0$
Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.
Случай $k=1$
Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $\widetilde$, подставив $k=1$:
Если $k=1$, то $\Delta=0$. Это значит, что $\rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=\left|\begin
Задача решена, осталось лишь записать ответ.
Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.
Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin
Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.
$$ \left(\begin
Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k\neq<1>$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1\neq<0>$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:
$$ \left(\begin
Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $\widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $k\neq<1>$, $k\neq<-3>$.
Случай $k=-3$
Случай $k=1$
Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $\left(\begin
$$x_1+x_2+x_3+x_4=1\; \Rightarrow \; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$
Случай $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$
Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$, то $(1-k)(k+3)\neq<0>$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:
$$ \left(\begin
Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>
- При $k=-3$ система несовместна.
- При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $\left\<\begin
& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\\&x_2\in ,\;x_3\in ,\;x_4\in . \end \right.$ - При $k\neq<-3>$ и $k\neq<1>$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>
$.
Общая теория систем линейных уравнений
Условия совместности.
Займемся изучением систем из m уравнений с n неизвестными. Систему
\begin
Система задается своей расширенной матрицей A^ <*>, получаемой объединением матрицы системы A и столбца свободных членов \boldsymbol .
Простое и эффективное условие, необходимое и достаточное для совместности системы (1) , дает следующая теорема, называемая теоремой Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице A размеров m \times n столбца \boldsymbol высоты m не меняет ее ранга тогда и только тогда, когда этот столбец — линейная комбинация столбцов A .
Если \mathbf
Обратно, если \boldsymbol раскладывается по столбцам A , то элементарными преобразованиями столбцов можно превратить A^ <*>в матрицу A_ <0>, получаемую из A приписыванием нулевого столбца. Из утверждения о том, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, следует \mathbf
Иначе это утверждение можно сформулировать так.
Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда противоречивое равенство 0=1 является линейной комбинацией ее уравнений.
Равенство рангов матрицы системы и расширенной матрицы можно выразить, понимая ранг матрицы как строчный ранг. Это приведет нас к важной теореме, известной как теорема Фредгольма.
Транспонируем матрицу A системы (1) и рассмотрим систему из n линейных уравнений \tag <2>\begin
Для того чтобы система (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной однородной системы (3) удовлетворяло уравнению \tag <4>\boldsymbol
1^ <\circ>. Пусть система (1) совместна, то есть существует столбец \boldsymbol
2^ <\circ>. Предположим теперь, что система (1) несовместна. Тогда согласно утверждению 1 строка \begin
В качестве примера применим теорему Фредгольма к выводу условия параллельности двух различных прямых на плоскости. Их уравнения составляют систему A_<1>x+B_<1>y+C_<1>=0,\ A_<2>x+B_<2>y+C_<2>=0.
Она не имеет решений, если существуют такие числа y_<1>, y_ <2>, что y_<1>A_<1>+y_<2>A_<2>=0 , y_<1>B_<1>+y_<2>B_<2>=0 , но y_<1>C_<1>+y_<2>C_ <2>\neq 0 . Ясно, что y_ <1>и y_ <2>не равны нулю. Поэтому можно положить \lambda=-y_<2>/y_ <1>и записать полученное условие в виде: существует число \lambda такое, что A_<1>=\lambda A_ <2>, B_<1>=\lambda B_ <2>и C_ <1>\neq \lambda C_ <2>.
Нахождение решений.
В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из m линейных уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы системы обозначим r . Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен r , мы можем считать базисные столбцы матрицы системы базисными столбцами расширенной матрицы. Элементарными преобразованиями строк приведем расширенную матрицу к упрощенному виду (возможность этого мы уже доказывали). Наша система линейных уравнений перейдет в эквивалентную ей систему из r линейно независимых уравнений.
Для удобства записи будем предполагать, что первые r столбцов — базисные. Тогда преобразованную систему можно записать в виде \tag <5>\begin
Здесь \alpha_
Как бы мы ни задали значения параметрических неизвестных, по формулам (5) мы найдем значения базисных так, что они вместе со значениями параметрических неизвестных образуют решение системы (1) . Легко видеть, что так мы получим все множество решений.
На формулах (5) можно было бы и остановиться, но ниже мы дадим более простое и наглядное, а также принципиально важное описание совокупности решений системы линейных уравнений.
Приведенная система.
Сопоставим системе линейных уравнений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентов: \tag<6>A\boldsymbol
Пусть \boldsymbol
Пусть \boldsymbol
Обратно, если \boldsymbol
Это предложение сводит задачу описания множества решений совместной системы линейных уравнений к описанию множества решений ее приведенной системы.
Однородная система совместна. Действительно, нулевой столбец является ее решением. Это решение называется тривиальным.
Пусть столбцы матрицы A линейно независимы, то есть \mathbf
Если \boldsymbol
Действительно, из A\boldsymbol
Если однородная система имеет нетривиальные решения, то можно указать несколько линейно независимых решений таких, что любое решение является их линейной комбинацией. Сделаем это.
Матрица F , состоящая из столбцов высоты n , называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей А, если:
- AF=O ;
- столбцы F линейно независимы;
- ранг F максимален среди рангов матриц, удовлетворяющих условию 1).
Столбцы фундаментальной матрицы называются фундаментальной системой решений.
Если фундаментальная матрица существует, то каждый ее столбец в силу первого условия определения — решение системы. Если система не имеет нетривиальных решений, то фундаментальной матрицы нет. Это будет в том случае, когда столбцы А линейно независимы: \mathbf
Ниже мы докажем, что в остальных случаях фундаментальная матрица существует, но сначала выясним, что означает третье условие в определении.
Пусть A — матрица размеров m \times n и ранга r . Если AF=O , то \mathbf
Приведем матрицу A к упрощенному виду элементарными преобразованиями строк, а затем элементарными преобразованиями столбцов обратим в нулевые все небазисные столбцы. Мы получим матрицу A’=PAQ , где P и Q — произведения соответствующих элементарных матриц. Первые r строк A’ — строки единичной матрицы порядка n , а остальные — нулевые. Обозначим F’=Q^<-1>F . Тогда \mathbf
Покажем теперь, как может быть построена фундаментальная матрица. Согласно ранее доказанному утверждению, решение однородной системы состоит из коэффициентов равной нулю линейной комбинации столбцов матрицы системы. Мы можем получить такие линейные комбинации, основываясь на теореме о базисном миноре. Снова для удобства записи будем считать, что в матрице A первые r столбцов — базисные. Каждый из небазисных столбцов \boldsymbol_
Таких решений можно составить столько, сколько есть небазисных столбцов, то есть (n-r) . Убедимся в том, что эти решения линейно независимы. Для этого объединим все столбцы в одну матрицу \tag <8>\begin
Подматрица в последних n-r строках — единичная. Поэтому ранг матрицы (8) равен числу столбцов, и столбцы линейно независимы.
Таким образом, мы получили
Если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений r меньше числа неизвестных n , то система имеет фундаментальную матрицу из n-r столбцов.
Итак, система столбцов (8) — фундаментальная система решений. Она называется нормальной фундаментальной системой решений. Каждому выбору базисных столбцов соответствует своя нормальная фундаментальная система решений. Вообще же, каждая система из n-r линейно независимых решений является фундаментальной.
Для нахождения матрицы (8) можно привести матрицу A системы к упрощенному виду, что даст коэффициенты разложения небазисных столбцов по базисным.
Пусть F — фундаментальная матрица системы A\boldsymbol
Столбец \boldsymbol
Остается доказать необходимость условия. Пусть \boldsymbol
Общее решение системы линейных уравнений.
Теперь мы можем собрать воедино наши результаты — утверждения 2 и 6.
Выражение, стоящее в правой части формулы (10) , называется общим решением системы линейных уравнений. Если \boldsymbol
Теорема 3 верна, в частности, и для однородных систем. Если \boldsymbol
Одна из ранее доказанных нами теорем гласит, что для существования единственного решения системы из n линейных уравнений с n неизвестными достаточно, чтобы матрица системы имела детерминант, отличный от нуля. Сейчас легко получить и необходимость этого условия.
Пусть A — матрица системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Если \det A=0 , то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.
Равенство \det A=0 означает, что \mathbf
Пример.
Рассмотрим уравнение плоскости как систему \tag<12>Ax+By+Cz+D=0 из одного уравнения. Пусть A \neq 0 и потому является базисным минором матрицы системы. Ранг расширенной матрицы 1, значит, система совместна. Одно ее решение можно найти, положив параметрические неизвестные равными нулю: y=z=0 . Мы получим x=-D/A . Так как n=3 , r=1 , фундаментальная матрица имеет два столбца. Мы найдем их, придав параметрическим неизвестным два набора значений: y=1 , z=0 и y=0 , z=1 . Соответствующие значения базисной неизвестной x , найденные из приведенной системы, будут -B/A и -C/A . Итак, общее решение системы (12) \tag <13>\begin
Выясним геометрический смысл полученного решения. Очевидно, прежде всего, что решение \begin
http://math1.ru/education/sys_lin_eq/kapelli1.html
http://univerlib.com/analytic_geometry/matrices_and_systems_of_linear_equations/common_theory_of_linear_equations_systems/