При каких значениях a уравнение ax

Квадратные трехчлены и параметры

Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным заданиям, предлагаемым на вступительных экзаменах. Это связано с тем, что они требуют хорошего понимания «глубинных» свойств функций, и их решение носит творческий характер. Однако знание некоторых простых правил и алгоритмов решения необходимо.

Вводные замечания и простейшие примеры

Пример 1. При каких значениях a уравнение ax 2 + 2x + 1 = 0 имеет два различных корня?

Решение.

Данное уравнение является квадратным относительно переменной x при a № 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант

т. е. при a

Кроме того, при a = 0 получается уравнение 2x + 1 = 0, имеющее один корень.

Таким образом, a О (– Ґ ; 0) И (0; 1).

Правило 1. Если коэффициент при x 2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Пример 2. Уравнение ax 2 + 8x + c = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и c?

Решение. Начнем решение задачи с особого случая a = 0, уравнение имеет вид 8x + c = 0. Это линейное уравнение имеет решение x₀ = 1 при c = – 8.

При a № 0 квадратное уравнение имеет единственный корень, если

Кроме того, подставив корень x₀ = 1 в уравнение, получим a + 8 + c = 0.

Решая систему двух линейных уравнений, найдем a = c = – 4.

Теорема 1.

Для приведенного квадратного трехчлена y = x 2 + px + q (при условии p 2 і 4q)
сумма корней x₁ + x₂ = – p, произведение корней x₁x₂ = q, разность корней равна
а сумма квадратов корней x₁ 2 + x₂ 2 = p 2 – 2q.

Теорема 2.

Для квадратного трехчлена y = ax 2 + bx + c с двумя корнями x₁ и x₂ имеет место
разложение ax 2 + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), для трехчлена с одним корнем x₀ – разложение
ax 2 + bx + c = a(x – x₀) 2 .

Замечание. Часто про квадратные уравнения с дискриминантом, равным нулю и имеющим, соответственно, один корень, говорят, что оно имеет два совпадающих корня (?). Это связано с разложением многочлена на множители, приведенным в теореме 2. (Правильно говорить и понимать в этом случае нужно «один корень кратности два». – Прим. ред.)

Будем обращать внимание на эту тонкость и выделять случай единственного корня кратности 2.

Пример 3. В уравнении x 2 + ax + 12 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.

Решение. Разность корней
откуда a = ± 7.

Пример 4. При каких a сумма квадратов корней уравнения 2x 2 + 4x + a = 0 равна 6?

Решение. Запишем уравнение в виде
откуда x₁ 2 + x₂ 2 = 4 – a = 6 и a = – 2.

Пример 5. При всех a решить уравнение ax 2 – 2x + 4 = 0.

Решение. Если a = 0, то x = 2. Если a № 0, то уравнение становится квадратным. Его дискриминант
равен D = 4 – 16a. Если D ,
уравнение решений не имеет. Если D = 0, т. е. a = ,
x = 4. Если D > 0, т. е. a

Расположение корней квадратного трехчлена

Графиком квадратного уравнения является парабола, а решениями квадратного уравнения – абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ox. Основой решения всех задач этого параграфа является изучение особенностей расположения парабол с заданными свойствами на координатной плоскости.

Пример 6. При каких a корни уравнения x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеют разные знаки?

Решение (рис. 1).

Квадратное уравнение либо не имеет решений (график – парабола вида D), либо имеет один или два положительных корня (парабола C), либо имеет один иди два отрицательных корня (парабола A), либо имеет корни разных знаков (парабола B).

Легко сообразить, что последний тип парабол, в отличие от прочих, характеризуется тем, что f(0) 2 – a – 6

Данное решение допускает обобщение, которое мы сформулируем как следующее правило.

Правило 2. Для того чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0

имело два разных корня x₁ и x₂ таких, что x₁

Пример 7. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?

Решение. Нас интересуют параболы типа A и C (см. рис. 1). Они характеризуются тем, что

откуда a О (– 6; – 2) И (3; + Ґ ).

Пример 8. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеет два разных положительных корня?

Решение. Нас интересуют параболы типа C на рис. 1.

Чтобы уравнение имело корни, потребуем

Так как оба корня уравнения по условию должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, положительна: x₀ = a > 0.

Ордината вершины f(x₀) 0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка x₁ О (0; x₀) такая, что f(x₁) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения.

Итак, f(0) = a 2 – a – 6 > 0, и, собирая все условия вместе, получим систему

с решением a О (3; + Ґ ).

Пример 9. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Изучив параболы типа A на рис. 1, получим систему

откуда a О (– 6; – 2).

Обобщим решение предыдущих задач в виде следующего правила.

Правило 3. Для того чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 имело два разных корня x₁ и x₂, каждый из которых больше (меньше) M, необходимо и достаточно, чтобы

Пример 10. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Решение. Все возможные решения данного уравнения получаются как решения квадратного уравнения

x 2 – (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

с дополнительным условием, что хотя бы один (очевидно, больший) корень x₂ і a.

Естественно, чтобы уравнение имело корни, должно быть = – 5(a + 2) і 0,
откуда a Ј – 2.

Графиком левой части выделенного уравнения является парабола, абсцисса вершины которой равна x₀ = 2a + 7. Решение задачи дают два типа парабол (рис. 2).

A: x₀ і a, откуда a і – 7. В этом случае больший корень многочлена x₂ і x₀ і a.

B: x₀ Ј 0, откуда .
В этом случае также больший корень многочлена x₂ і a.

Окончательно .

Три решения одного неравенства

Пример 11. Найти все значения параметра a, при которых неравенство x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0

выполняется:

1) при всех значениях x;
2) при всех положительных значениях x;
3) при всех значениях x О [– 1; 1].

Решение.

Первый способ.

1) Очевидно данное неравенство выполняется при всех x, когда дискриминант отрицателен, т. е.

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3

откуда a >.

2) Чтобы лучше понять то, что требуется в условии задачи, применим простой прием: на координатной плоскости нарисуем какие-нибудь параболы, а потом возьмем и закроем левую относительно оси Oy полуплоскость. Та часть параболы, которая останется видимой, должна быть выше оси Ox.

Условие задачи выполняется в двух случаях (см. рис. 3):

A: график функции y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 лежит выше оси Ox, т. е. D ;

B: оба корня (может быть, один, но двукратный) уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся левее начала координат. По правилу 3 это условие эквивалентно системе неравенств D і 0, x₀ Ј 0 и f(0) і 0.

Однако при решении данной системы первое неравенство можно опустить, так как если даже какое-то значение a не удовлетворяет условию D і 0, то оно автоматически попадает в решение пункта A. Таким образом, решаем систему

откуда a Ј – 3.

Объединяя решения пунктов A и B, получим

ответ:

3) Условие задачи выполняется в трех случаях (см. рис. 4):

A: график функции y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 лежит выше оси Ox, т. е. D ;

B: оба корня (может быть, один кратности 2) уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся левее – 1. Это условие эквивалентно, как мы знаем из правила 3, системе неравенств D і 0, x₀ 0;

C: оба корня уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся правее 1.
Это условие эквивалентно D і 0, x₀ > 1, f(1) > 0.

Однако в пунктах B и C, также как и в решении предыдущей задачи, неравенство, связанное с дискриминантом, можно опустить.

Соответственно получаем две системы неравенств

Рассмотрев все случаи, получим результат: a >
в пункте
в C.
Ответ задачи – объединение этих трех множеств.

Второй способ. Для того чтобы выполнялось условие каждого из трех пунктов задачи, наименьшее значение функции
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 на каждом из соответствующих промежутков должно быть положительно.

1) Вершина параболы y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 находится в точке (a; 2a – 3), поэтому наименьшее значение функции на всей числовой прямой равно 2a – 3, и a > .

2) на полуоси x і 0 наименьшее значение функции равно f(0) = a 2 + 2a – 3, если a і 0. Разбирая оба случая, получим

3) Наименьшее на отрезке [– 1; 1] значение функции равно

Поскольку наименьшее значение должно быть положительно, получаем системы неравенств

Решение этих трех систем – множество

Третий способ. 1) Вершина параболы y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

находится в точке (a; 2a – 3). Нарисуем на координатной плоскости множество, которое образуют вершины всех парабол при различных a (рис. 5).

Это – прямая y = 2x – 3. Напомним, что каждой точке этой прямой соответствует свое значение параметра, и из каждой точки этой прямой «выходит» парабола, соответствующая данному значению параметра. Параболы, целиком находящиеся над осью Ox, характеризуются условием 2a – 3 > 0.

2) Решениями этого пункта являются все решения первого пункта, и, кроме того, параболы, для которых a – отрицательны, и f(0) = a 2 + 2a – 3 і 0.

3) Из рис. 5 видно, что нас интересуют параболы, для которых либо a отрицательно и f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
либо a положительно и f(1) = a 2 – 2 > 0.

Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным

Пример 12. При каких значениях a уравнение 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 не имеет решений?

Решение. Сделав замену y = x 2 , получим квадратное уравнение f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0.

Полученное уравнение не имеет решения, когда D

Эти условия могут быть записаны в виде совокупности

откуда

Пример 13. При каждом значении параметра a решить уравнение cos x sin 2x = asin 3x.

Решение. Так как 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x и sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,

то уравнение запишется в виде sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0.

Отсюда получаем решения x = p n, n О Z при любом a. Уравнение

имеет решения

не совпадающие с решениями первого уравнения, только при условии

Последние ограничения эквивалентны

Ответ: x = p n, n О Z при любом a; кроме того,

Пример 14. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 выполняется для любого числа x.

Решение. Преобразуем неравенство к виду cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

и сделаем замену t = cos x. Важно заметить, что параметр t пробегает значения от – 1 до 1, поэтому задача переформулируется в таком виде: найти все a такие, что

t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

выполняется при всех t О [– 1; 1]. Эту задачу мы уже решили ранее.

Пример 15. Определить, при каких значениях a уравнение log₃ (9 x + 9a 3 ) = x имеет решения, и найти их.

Решение. Преобразуем уравнение к виду 9 x – 3 x + 9a 3 = 0

и, сделав замену y = 3 x , получим y 2 – y + 9a 3 = 0.

В случае, когда дискриминант отрицательный, уравнение решений не имеет. Когда дискриминант

D = 1 – 36a 3 = 0, уравнение имеет единственный корень ,
и x = – log₃ 2. Наконец, когда дискриминант положительный, т. е. ,
исходное уравнение имеет один корень ,
а если, кроме того, выражение 1 – положительно,
то уравнение имеет еще второй корень .

Итак, окончательно получаем

,

решений нет при остальных a.

Пример 16. Для каждого значения параметра a решить уравнение sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Решение. Так как
уравнение перепишем в виде sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0.
Пусть y = sin 2x, тогда y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | Ј 1).

График функции, стоящей в левой части уравнения, – парабола с вершиной, абсцисса которой y₀ = 1; значение функции в точке y = – 1 равно 1 – 2a; дискриминант уравнения равен 8a + 12. Это означает, что больший корень y₂ уравнения y 2 – 2y – 2a – 2 = 0, даже если он существует, больше 1, и соответствующее уравнение sin 2x = y₂ решений не имеет.

Случай 1. если дискриминант отрицательный, т. е. a

Случай 2. Если дискриминант равен
получаем уравнение

Случай 3. Если дискриминант больше 0, т. е.
и, кроме того, f(– 1) > 0, то уравнение y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 имеет корень
лежащий между – 1 и 1. Соответствующее уравнение – имеет решения.

Случай 4. Если f(– 1) = 0, т. е. получаем уравнение

Случай 5. Если дискриминант больше 0, т. е. и, кроме того, f(– 1) 2 – 2y – 2a – 2 = 0 имеет корни
а уравнения не имеют решений.

Ответ: если то решений нет;

если

если

если

(Случаи отдельно выделять не следует:

описывает все возможные решения. – Прим. ред.)

Задачи для самостоятельного решения

1. При каких значениях a уравнение ax 2 – 4x + 5 = 0 не имеет корней?
2. При каких значениях a уравнение x 2 – 2ax – 1 = 0 имеет два различных корня?
3. При каких значениях a уравнение 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 имеет хотя бы один корень?
4. Уравнение ax 2 + bx + 5 = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и b?
5. При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения 5x 2 – 7x + a = 0 относятся как 2 к 5?
6. В уравнении ax 2 + 8x + 3 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.
7. При каких a сумма квадратов корней уравнения x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 равна 20?
8. При каких b и c уравнение c + bx – 2x 2 = 0 имеет один положительный и один отрицательный корень?
9. Найти все значения параметра a, при которых один корень уравнения x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 больше a, а другой меньше a.
10. Найти все значения параметра a, при которых уравнение x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 имеет два разных корня одного знака.
11. При каких значениях a все получающиеся корни уравнения (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0 положительны?
12. При каких a все получающиеся корни уравнения (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 больше 1?
13. Найти все значения параметра a, для которых оба разных корня уравнения x 2 + x + a = 0 будут больше, чем a.
14. При каких значениях a оба корня уравнения 4x 2 – 2x + a = 0 заключены между – 1 и 1?
15. При каких значениях a уравнение x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?
16. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.
17. При каких a неравенство (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 верно для всех x?
18. При каких значениях параметра a неравенство ax 2 + 2x > 1 – 3a справедливо для всех положительных x?
19. При каких значениях a уравнение x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 не имеет решений?
20. При каких значениях параметра a уравнение 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 имеет одно или два решения?
21. При каждом значении a решить уравнение acos x cos 2x = cos 3x.
22. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство cos 2 x + 2asin x – 2a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. При всех a решить уравнение log₂ (4 x + a) = x.
24. При каждом значении параметра a решить уравнение sin 2 x + asin 2 2x = sin .

Решение на Упражнение 1163 из ГДЗ по Математике за 6 класс: Мерзляк А.Г.

Условие

Решение 1

Решение 2

Поиск в решебнике

Популярные решебники

Издатель: Виленкин Н.Я. Жохов В.И. Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. — 2013г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г.

Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015г.

При каких значениях а уравнение ах = 8 : 1) имеет корень, равный — 4, 1 / 7, 0 ; 2) не имеет корней ; 3) имеет отрицательный корень?

Математика | 5 — 9 классы

При каких значениях а уравнение ах = 8 : 1) имеет корень, равный — 4, 1 / 7, 0 ; 2) не имеет корней ; 3) имеет отрицательный корень?

Корень равный 4 имеет при a = 2

(если вы имели ввиду — 4, то при a = — 2)

Корень равный 1 / 7 имеет при a = 56

Не имеет корней при a = 0

Имеет отрицательный корень при любом отрицательном.

При каком значении a уравнение : 1) 4ax = 84 имеет корень равный числу — 3 2) (a — 7)x = 6 + 5а имеет корень, равный 1?

При каком значении a уравнение : 1) 4ax = 84 имеет корень равный числу — 3 2) (a — 7)x = 6 + 5а имеет корень, равный 1.

При каком значении A уравнение : 1)4ах = 84 имеет корень , равный числю — 3 ; 2)(а — 7)х = 6 + 5а имеет корень, равный числу 1?

При каком значении A уравнение : 1)4ах = 84 имеет корень , равный числю — 3 ; 2)(а — 7)х = 6 + 5а имеет корень, равный числу 1.

Когда уравнение имеет : 1) бесконечное множество корней 2) один корень 3) два корня 4) не имеет корней?

Когда уравнение имеет : 1) бесконечное множество корней 2) один корень 3) два корня 4) не имеет корней.

При каком значение а уравнение : (3 + а) х = 1 + 4а имеет корень равный числу 2?

При каком значение а уравнение : (3 + а) х = 1 + 4а имеет корень равный числу 2.

(4 + 3а) х = 16 + 5а имеет корень, равный числу ( — 3).

При каких значениях а уравнение ах = 8 1)имеет корень равный — 4 ; 0 ; 3 ; 2) не имеет корней 3)имеет отрицательный корень?

При каких значениях а уравнение ах = 8 1)имеет корень равный — 4 ; 0 ; 3 ; 2) не имеет корней 3)имеет отрицательный корень?

Помогите пожалуйста срочно нужно!

При каком значение а уравнение : 4ах = 84 имеет корень, равный — 3 ; (а — 7)х = 6 + 5а имеет корень, равный числу 1 ?

При каком значение а уравнение : 4ах = 84 имеет корень, равный — 3 ; (а — 7)х = 6 + 5а имеет корень, равный числу 1 ?

При каком значении а уравнение имеет один корень (а + 3)х = 8?

При каком значении а уравнение имеет один корень (а + 3)х = 8.

При каких значениях а уравнение имеет один корень?

При каких значениях а уравнение имеет один корень?

Какое из нижнеприведеных высказований является верным относительно уравнением 3×2 — x + 2?

Какое из нижнеприведеных высказований является верным относительно уравнением 3×2 — x + 2.

А) уравнение имеет один корень Б) уравнение не имеет корней В) уравнение имеет 2 корня различных знаков Г) уравнение имеет два корня одинакового знака.

При каком значении a уравнение (2 + a)x = 10 1) имеет корень, равный 5 2)не имеет корней пж помогите?

При каком значении a уравнение (2 + a)x = 10 1) имеет корень, равный 5 2)не имеет корней пж помогите.

Перед вами страница с вопросом При каких значениях а уравнение ах = 8 : 1) имеет корень, равный — 4, 1 / 7, 0 ; 2) не имеет корней ; 3) имеет отрицательный корень?, который относится к категории Математика. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

При умножении кол — ва квартир на номер этажа получается наибольший номер квартиры на данном этаже. Для примера, возьмем второй этаж : 2 * 6 = 12. Теперь возьмем 9 этаж. 9 * 6 = 54. И седьмой 7 * 7 = 49. Подходищими номерами будут квартиры под н..

Тысячные — третье число после запятой. Если после него стоит цифра больше 5, то пишем число на одно больше 2. 6126≈2. 613.

2, 6126 приблизительно равно 2, 613 тысячные это третьи от запятой округлено в большую сторону, потому что по правилу, если цифра стоящая после цифры до которой нужно округлить равна или больше 5, то к цифре до которой нужно округлить добавляется 1.

X + III = VI знак » + » состоит из палочек IX — III = VI.

(х / 203 + 6902) * 84 = 592200 84х / 203 + 579768 = 59220084х / 203 = 592200 — 57976884х / 203 = 1243284х = 12432 * 20384х = 2523696х = 2523696 / 85х = 30044проверка : (30044 / 203 + 6902) * 84 = 592200 592200 = 592200.

12 * 1 / 4 = 3 см — это ширина (3см + 12см) * 2 = 30см — это периметр.

1)250×3 = 750(г)всего г за пакеты по 250 2)2кг = 2000г 3)2000 + 250 = 2250(г)всего в г 4)2250 — 750 = 1500(г)всего г за пакеты по 500 г 5)1500 : 500 = 3(пакета) Ответ : купили 3 пакета по 500 грамм.

Пусть Алеша посадил х деревьев, тогда Глеб 3х . По условию задачи Х + 3х = 24 4х = 24 Х = 24 : 4 Х = 6 деревьев посадил Алеша 6 * 3 = 18 деревьев посадил Глеб.