При каких значениях параметра я уравнение cos

Тригонометрические уравнения с параметром

Что такое «уравнение с параметром» и его решение – см. §32 справочника для 8 класса

п.1. Уравнения с функцией первого порядка и параметром

Уравнения вида $F(g(x),a)=0$, где $g(x)$ — некоторая линейная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично линейным уравнениям с параметром.
Как решать линейные уравнения с параметром – см. Примеры 5-7, §7 справочника для 7 класса.

п.2. Уравнения с квадратичной функцией и параметром

Уравнения вида $F(g(x),a)=0$, где $g(x)$ — некоторая квадратичная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично квадратичным уравнениям с параметром.
Как решать квадратичные уравнения с параметром – см. §32 справочника для 8 класса

Например:
Решим уравнение $ cos^4x-(a+2)cos^2x-(a+3)=0 $
Замена: $t=cos^2x,\ 0\leq t\leq 1$: \begin t^2-(a+2)t-(a+3)=0\\ D=(a+2)^2+4(a+3)=a^2+4a+4+4a+12=a^2+8a+16=(a+4)^2\\ t=\frac<(a+2)\pm(a+4)><2>= \left[ \begin -1\\ a+3 \end \right. \end Корень $t_1=-1\lt 0$ не подходит по определению замены.
Второй корень $t_2=a+3$ должен удовлетворять ограничениям: $$ 0\leq a+3\leq 1\Rightarrow -3\leq a\leq -2 $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin cos^2x=a+3\Rightarrow\frac<1+cos2x><2>=a+3\Rightarrow cos2x=2a+5\Rightarrow\\ \Rightarrow 2x=\pm arccos(2a+5)+2\pi k\Rightarrow x=\pm\frac12 arccos(2a+5)+\pi k \end Ответ:
При $a\lt -3\cup a\gt -2$ решений нет, , $x\in \varnothing$
При $-3\leq a\leq -2,\ x=\pm\frac12 arccos(2a+5)+\pi k $

п.3. Другие уравнения с параметрами

При решении других тригонометрических уравнений с параметрами используются тригонометрические преобразования, замены переменных, переход от одного уравнения к системе (совокупности) уравнений и т.п.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение: a) $ sin3x=asinx $
Формула для тройного угла – см. §16 данного справочника.
$sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha$
Подставляем: \begin 3sinx-4sin^3x=a sinx\\ sinx(3-4sin^2x-a=0\\ \left[ \begin sinx=0\\ 3-4sin^2x-a=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ sin^2 x=\frac<3-a> <4>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ \frac<1-cos2x><2>=\frac<3-a> <4>\end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ cos2x=\frac <2>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ 2x=\pm arccos\frac<2>+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ x=\pm\frac12 arccos\frac<2>+\pi k \end \right. \end Первое семейство решений $x=\pi k$ существует при любых $a$.
Для второго семейства решений действует ограничение: \begin -1\leq\frac<2>\leq 1\Rightarrow -2\leq a-1\leq 2 \Rightarrow -1\leq a\leq 3 \end Ответ:
При $a\lt -1\cup a\gt 3$ одно семейство решений $x=\pi k$
При $-1\leq a\leq 3$ два семейства решений $ \left[ \begin x=\pi k\\ x=\pm\frac12 arccos\frac<2>+\pi k \end \right. $

б) $ sin^2x-5cosx+a=0 $ \begin (1-cos^2x)-5cosx+a=0\\ cos^2x+5cosx-(a+1)=0 \end Замена: $t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1$
$t^2+5t-(a+1)=0$
$f(t)=t^2+5t-(a+1)$ — это парабола ветками вверх с вершиной: \begin t_0=-\frac52=-2,5,\\ f(t_0)=t_0^2+5t_0-(a+1)=6,25-12,5-(a+1)=-6,25-(a+1) \end За счет параметра $a$ парабола перемещается по вертикали вдоль оси $t_0=-2,5$.
Интервал $-1\leq t\leq 1$ лежит справа от оси, т.е. только одно решение квадратного уравнения попадает в этот интервал. Условие существования этого решения (пересечение оси абсцисс) – разные знаки функции на концах интервала: \begin f(-1)f(1)\leq 0\\ \left(1-5-(a+1)\right)\left(1+5-(a+1)\right)\leq 0\\ (a+5)(a-5)\leq 0\\ -5\leq a\leq 5 \end $D=5^2+4(a+1)=4a+26\geq 0\Rightarrow a\geq -6,5$
Условие $-5\leq a\leq 5$ достаточно для существования решения, при нем $D\gt 0$.
Получаем: \begin t=\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\Rightarrow cosx=\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\\ x=\pm arccos\left(\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\right)+2\pi k \end Ответ:
При $|a|\gt 5$ решений нет, $x\in \varnothing$
При $|a|\leq 5,\ \ x=\pm arccos\left(\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\right)+2\pi k $

в) $ 2cos3x+4cos5x=a^2-4a+10 $
Исследуем параболу $f(a)=a^2-4a+10$
$D=16-40=-24\lt 0$ — парабола всегда положительна
Вершина: $a_0=-\frac<-4><2>=2,\ f(a_0)=2^2-8+10=6$
Таким образом, наименьшее значение функции $f_=f(2)=6$.
Для суммы $2cos⁡3x+4cos⁡5x$ значение 6 является наибольшим из возможных.
Получаем систему: \begin \begin 2cos3x+4cos5x=6\\ a^2-4a+10=6 \end \end Нижнее уравнение мы уже решили и получили $a=2$.
Решаем верхнее уравнение для максимальных значений косинусов: \begin cos3x+2cos5x=3\Rightarrow \begin cos3x=1\\ cos5x=1 \end \Rightarrow \begin 3x=2\pi k\\ 5x=2\pi n \end \Rightarrow \begin x=\frac23\pi k\\ x=\frac25\pi n \end \\ \frac23\pi k=\frac25\pi n\Rightarrow\frac<3>=\frac<5>\Rightarrow k=3m,\ \ m\in\mathbb\Rightarrow x=\frac23\pi\cdot 3m=2\pi m \end
На чертеже видно, что сумма косинусов достигает максимального значения 6 через каждые $2\pi,$ т.е. полный оборот.
Ответ:
При $a\ne 2$ решений нет, $x\in \varnothing$
При $a=2,\ x=2\pi k $

г) $ asin^2x+cos^2x=0 $
$a(1-cos^2x)+cosx=0$
$acos^2x-cosx-a=0$
Замена: $t=cosx,\ -1\leq t\leq 1$
$at^2-t-a=0$
При $a=0$ квадратное уравнение вырождается в линейное, получаем: \begin cos x=0,\ \ x=\frac\pi2+\pi k \end При $a\ne 0:\ D=1+4a^2,\ \ t_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt<1+4a^2>><2a>$
Рассмотрим модуль корня с плюсом: \begin |t_2|=\frac<1+\sqrt<1+4a^2>><2|a|>\gt\frac<1+2|a|><2|a|>\gt 1 \end Таким образом, этот корень не подходит.
Сравним модуль корня с минусом и единицу: \begin |t_1|=|\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>|=\frac<\sqrt<1+4a^2>-1><2|a|>\ ?\ 1\\ \sqrt<1+4a^2>-1\ ?\ 2|a|\\ \sqrt<1+4a^2>\ ?\ 2|a|+1\\ 1+4a^2\leq 4a^2+4|a|+1 \end Получаем, что $|t_1|\leq 1$. Этот корень нам подходит. \begin cosx=\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\\ x=\pm arccos\left(\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\right)+2\pi k \end Ответ:
При $a=0,\ x=\frac\pi2+\pi k$
При $a\ne0,\ x=\pm arccos\left(\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\right)+2\pi k $

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Тригонометрические уравнения с параметром

При каких значениях параметра уравнение имеет решение? Заполните пропуски в определении параметра.

при $а =$ , $x=\frac<\pi><2>+2\pi k,k\epsilon Z$.

Тригонометрические уравнения с параметром

Найдите все значения параметра $a$ из интервала $(0; \pi)$, при которых уравнение имеет решение.

$x^2+2 (2cosa−1)x+2 cos^2 a−5cosa+2=0$

Выделите цветом правильный ответ:

Тригонометрические уравнения с параметром

При каком наибольшем положительном значении параметра уравнение имеет решение?

Тригонометрические уравнения с параметром

Выберите из списка множество значений параметра

$x=\pm \frac<1><2>arccos \frac<2b^2 -1><2b-1>+\pi k, k\epsilon Z$

Ответ: при $b\epsilon$ _____________

Тригонометрические уравнения с параметром

Дано уравнение $sinxtgx+2+2cosx=a$. Сопоставьте значения параметра со значениями переменной.

Тригонометрические уравнения с параметром

Введите правильные ответы для автозаполнения кроссворда:

Тригонометрические уравнения с параметром

Найдите наименьшее положительное значение параметра, при котором решением неравенства $4sinx \leq a+1$ является любое действительное число. Подчеркните правильный ответ:

При каких значениях параметра z уравнение cos ^ 4x + 6cos ^ 2x — z = — 5 не имеет решений?

Алгебра | 10 — 11 классы

При каких значениях параметра z уравнение cos ^ 4x + 6cos ^ 2x — z = — 5 не имеет решений?

При каких значениях параметра р уравнение — 4х² + рх — р = 0 имеет один корень ?

При каком значении параметра p система уравнений имеет 3 решения?

При каком значении параметра p система уравнений имеет 3 решения.

При каких значениях параметра а система не имеет решений ?

С объяснением, если можно.

При каких значения параметра уравнение а) не имеет решений б) имеет четыре различных решения?

При каких значения параметра уравнение а) не имеет решений б) имеет четыре различных решения.

Помогите пожалуйста?

При каких значениях параметра а система уравнений имеет ровно одно решение?

При каких значениях параметра a уравнение ∣x−1∣ = ax + 1 имеет два решения?

Сколько решений имеет уравнение при различных значениях параметра а?

При каком наименьшем значении параметра a уравнение |4x + 3| = 5a + 3 имеет решение?

При каких значениях параметра a уравнение имеет решение?

При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

Перед вами страница с вопросом При каких значениях параметра z уравнение cos ^ 4x + 6cos ^ 2x — z = — 5 не имеет решений?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

24x — 32 = 42 24x = 10 x = 24 : 10 x = 2, 4.

Гипотенуза квадрата (основания) равна : Sqrt (6 ^ 2 + 6 ^ 2) = Sqrt(72) = 6 * Sqrt(2) см. Найдем высоту параллелепипеда : Sqrt(11 ^ 2 — (Sqrt(72)) ^ 2) = Sqrt(121 — 72) = Sqrt(49) = 7 см . Отсюда Объем параллелепипеда равен : 6 * 6 * 7 = 252 см3.

2, 9x — 3 * 2x — 3 * 1 = 2, 8 — 3, 19х 2, 9х — 6х + 3, 19х = 2, 8 + 3 0, 8х = 5, 3 х = 5, 3 : 8 х = 5, 3 / 0. 8.

2, 9х — 6х — 3 = 2, 8 — 3, 19х 2, 9х — 6х + 3, 19х = 2, 8 0, 09х = 2, 8 х = 2, 8 / 0, 09 х = 31, 1 / 0, 09.

5y² + 9y — 2 = 0 D = 81 + 40 = 121 y1 = ( — 9 + 11) / 10 = 1 / 5 y2 = ( — 9 — 11) / 10 = — 2 (y — 1 / 5)(y + 2).

Всё решаем по формулам.

Пусть на нижней x книг x + 27 = 4x — 27 3x = 54 x = 18 книг было на нижней 18 * 4 = 72 книги было на верхней полке.

источники:

http://resh.edu.ru/subject/lesson/6318/train/

http://algebra.my-dict.ru/q/5191143_pri-kakih-znaceniah-parametra-z-uravnenie/