При каком а сумма квадратов корней уравнения

8.2.4. Применение теоремы Виета

Часто требуется найти сумму квадратов (x₁ 2 +x₂ 2 ) или сумму кубов (x₁ 3 +x₂ 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x₁ 2 +x₂ 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x₁+x₂=-p;

(x₁+x₂) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x₁ 2 +2x₁x₂+ x₂ 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2x₁x₂=p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x₁ 3 +x₂ 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

Еще одно полезное равенство: x₁ 3 +x₂ 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x₁ 2 +x₂ 2 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x₁+x₂=-p=3, а произведение x₁∙x₂=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q. У нас -p=x₁+x₂=3 → p 2 =3 2 =9; q=x₁x₂=-4. Тогда x₁ 2 +x₂ 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x₁ 3 +x₂ 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x₁+x₂=-p=2, а произведение x₁∙x₂=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x₁ 3 +x₂ 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x₁ 3 +x₂ 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x₁ 2 +x₂ 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q=2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x₁ 2 +x₂ 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

В нашем примере x₁+x₂=-p=5; x₁∙x₂=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x₁+x₂=-p=13; x₁∙x₂=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

При котором значении параметра а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 — ax + a — 1 = 0 будет наименьшей?

Математика | 10 — 11 классы

При котором значении параметра а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 — ax + a — 1 = 0 будет наименьшей?

D = a² — 4a + 4 = (a — 2)²

x1 = (a — (a — 2)) / 2 = (0 + 2) / 2 = 1

x2 = (a + a — 2) / 2 = (2а — 2) / 2 = 2(а — 1) / 2 = а — 1

X1² + x2² = 1² + (a — 1)²

При а = 1 сумма квадратов корней уравнения х² — ах + а — 1 = 0 будет наименьшей.

Найти все значения параметра a при которых уравнениеимеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу(1 ; 5)?

Найти все значения параметра a при которых уравнение

имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу(1 ; 5).

Найти количество всех целых значений параметра а, при которых уравнение имеет корни?

Найти количество всех целых значений параметра а, при которых уравнение имеет корни.

Найдите все значения параметра а, при которых сумма корней уравненияx ^ 2 — 2ax + 2a — 1 равна 0?

Найдите все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения

x ^ 2 — 2ax + 2a — 1 равна 0.

Найти значении параметра a, при котором сумма квадратов корней уравненияx ^ 2−(a + 1)x + a−1 = 0 является наименьшей?

Найти значении параметра a

, при котором сумма квадратов корней уравнения

x ^ 2−(a + 1)x + a−1 = 0 является наименьшей.

Найти значении параметра a, при котором сумма квадратов корней уравненияx ^ 2−(a + 1)x + a−1 = 0 является наименьшей?

Найти значении параметра a

, при котором сумма квадратов корней уравнения

x ^ 2−(a + 1)x + a−1 = 0 является наименьшей.

Сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 – a) x – a – 3 = 0 наименьшая при а равном?

Сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 – a) x – a – 3 = 0 наименьшая при а равном.

Дано уравнение х2 + (m2 — 3m — 11)x + 6m = 0?

Дано уравнение х2 + (m2 — 3m — 11)x + 6m = 0.

Известно, что сумма его корней равна 1 .

Найдите значение параметра m и корни уравнения.

Пожалуйста?

У меня не получается!

Дано уравнение х2 + (m2 — 3m — 11)x + 6m = 0.

Известно, что сумма его корней равна 1 .

Найдите значение параметра m и корни уравнения.

При каком значении параметра aa уравнение |x в квадрате−2x−3| = a имеет три корня?

При каком значении параметра aa уравнение |x в квадрате−2x−3| = a имеет три корня?

Определите значения параметра b, при которых уравнение |х| = 9 — b не имеет корней?

Определите значения параметра b, при которых уравнение |х| = 9 — b не имеет корней.

На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос При котором значении параметра а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 — ax + a — 1 = 0 будет наименьшей?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10 см 20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29 см 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17 см 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369 = 37 см.

Чтобы число делилось на 90, оно должно делится на 10, на 2, на 9 последняя цифра 0 (чтобы делилось на 10) сумма цифрдолжна делится на 9 35 * * 0 = 35280 35820 35640 и 35460.

Х×1 = 56 + 29 х = 85 Ответ : 85 36 : х = 94 — 58 36 : х = 36 х = 36 : 36 х = 1 Ответ : 1.