Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»
Разделы: Математика
Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.
Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.
- систематизация знаний учащихся;
- выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
- формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
- осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
- развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.
Урок рассчитан на два учебных часа.
Ход урока
- Организационный момент
Сообщение темы, целей и задач урока.
- Актуализация опорных знаний учащихся
Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений
а) 
б) 
в) 
графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая
Ответы: 
Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.
В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: 
.
Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.
Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:
- если
(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как ), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение
(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как 
), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение
- если то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет
то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет
- если то прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений
то прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений
К каждому случаю полезно выполнить рисунок.
Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.
Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.
Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений
- Система имеет единственное решение, если
В этом случае имеем
- Если а = 0, то система принимает вид
Система несовместна, т.е. решений не имеет.
- Если то система запишется в виде
Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; 
где t-любое действительное число.
- при система имеет единственное решение
- при а = 0 — нет решений;
- при а = 3 — бесконечно много решений вида где t R
система имеет единственное решение 
где t Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений
- имеет единственное решение;
- имеет множество решений;
- не имеет решений?
- система имеет единственное решение, если
- подставим в пропорцию значение а = 1, получим , т.е. система имеет бесконечно много решений;
- при а = -1 пропорция примет вид: . В этом случае система не имеет решений.
значение а = 1, получим 
, т.е. система имеет бесконечно много решений;
. В этом случае система не имеет решений.- при система имеет единственное решение;
- при система имеет бесконечно много решений;
- при система не имеет решений.
система имеет единственное решение;
система имеет бесконечно много решений;
система не имеет решений.Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система
имеет бесчисленное множество решений.
Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если 
То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.
- Закрепление изученного в ходе решения задач
- № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений
- № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений
- При каких значениях параметра a система уравнений
а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.
Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений
- Практическая работа в группах
Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.
Карточка. Решите систему линейных уравнений
при всех значениях параметра а.
Ответ: при 
система имеет единственное решение 
; при 
нет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t 
R
Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.
Отчет группы, первой верно выполнившей задание
Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.
- При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
- При каком значении p система не имеет решений?
имеет бесконечно много решений?
не имеет решений?- При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
- При каком значении p система не имеет решений?
имеет бесконечно много решений?
не имеет решений?- Итоги урока
Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.
При решении следует помнить:
- для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
- чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
- и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.
Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.
При каких значениях параметра b система уравнений 
- имеет бесконечно много решений;
- не имеет решений?
Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.
- Найдите b и k,
- найдите координаты точки пересечения этих графиков.
Решите систему уравнений 
при всех значениях m и n.
Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).
- Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
- Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
- Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
- Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
- Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.
При каком значении a уравнение (a ^ 2 — 4)x = a ^ 2 + 5a + 6 имеет бесконечно много решений?
Алгебра | 5 — 9 классы
При каком значении a уравнение (a ^ 2 — 4)x = a ^ 2 + 5a + 6 имеет бесконечно много решений.
(a ^ 2 — 4)x = a ^ 2 + 5a + 6
Бесконечное количество значений x достигается, когда
обе части выражения равны нулю, то есть
a ^ 2 — 4 = a ^ 2 + 5a + 6 = 0
a ^ 2 — 4 — a ^ 2 — 5a — 6 = 0 — 4 — 5a — 6 = 0 — (4 + 5a + 6) = 0
При каком значении k система уравнений
При каком значении параметра a уравнение a2x−8 = 64x−a имеет бесконечное множество решений?
При каком значении параметра a уравнение a2x−8 = 64x−a имеет бесконечное множество решений?
При каком значении m системе уравнений имеет бесконечное множество решений ?
При каком значении m системе уравнений имеет бесконечное множество решений ?
Х + my = 3 и х — у = 3.
Дано (а — 1)(b + 2)Х = (а + 1)(b + 2)?
Дано (а — 1)(b + 2)Х = (а + 1)(b + 2).
При каких значениях а и b уравнение : а) не имеет решение?
В) имеет бесконечно много решений?
2 x — 5a = a ^ 2 — ax + 6 при каком значении а уравнение имеет бесконечно много решений?
2 x — 5a = a ^ 2 — ax + 6 при каком значении а уравнение имеет бесконечно много решений.
При каком значении а система уравнений 3х — а = у 12х — 4у = 3 имеет бесконечное множество решений?
При каком значении а система уравнений 3х — а = у 12х — 4у = 3 имеет бесконечное множество решений?
Помогите с решением пожалуйста, При каком значении a система уравнений 3x + ay = 4 6x — 2y = 8 имеет бесконечно много решений?
Помогите с решением пожалуйста, При каком значении a система уравнений 3x + ay = 4 6x — 2y = 8 имеет бесконечно много решений?
При каком значении а система уравнений — 3x + ay = — 6 9x — 3y = 18 имеет бесконечно много решений?
При каком значении а система уравнений — 3x + ay = — 6 9x — 3y = 18 имеет бесконечно много решений.
При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решений ?
При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решений ?
При каком значении a, система уравнений — 3x + ay = — 6 9x — 3y = 18имеет бесконечно много решений?
При каком значении a, система уравнений — 3x + ay = — 6 9x — 3y = 18
имеет бесконечно много решений.
На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос При каком значении a уравнение (a ^ 2 — 4)x = a ^ 2 + 5a + 6 имеет бесконечно много решений?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.
F(x) = 1 / (1 + x²) а) найдите область определения функции б) найдите значение f( — 3), f( — 1) , f(0), f(1), f(3), f(10) а) область определения — это множество допустимых значений аргумента «х». Что значит, допустимые? А что есть недопустимые? Пр..
8(х — 0, 5) — (3 + 9х) = 8х — 4 — 3 + 9х = 17х — 7.
40 — y = 150 / 6 40 — y = 25 y = 40 / 25 y = 1, 6.
40 — у = 30 * 5 / 6 40 — у = 150 / 6 40 — у = 25 — у = 40 : 25 у = 1, 6.
Цифр всего 5 штук. Если цифры в числе могут повторяться, то количество возможных комбинаций = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 5 ^ 5 = 3125 (количество возможных цифр для первого числа на кол — во для второго и так далее) Если цифры в числе не могут повторяться.
1)4sin(x — 7π / 2) = 3 / cosx ; x⊂[ — 13π / 2 ; — 5π] — 4sin(7π / 2 — x) — 3 / cosx = 0 — 4 * ( — sinx) — 3 / cosx = 0 (4sinx cosx — 3) / cosx = 0
X + (x — 3) + (x — 4) + (x — 5) = 80 x + x — 3 + x — 4 + x — 5 = 80 4x — 12 = 80 4x = 80 + 12 4x = 92 x = 92 / 4 x = 23.
Х + х — 3 + х — 4 + х — 5 = 80 4х — 12 = 80 4х = 80 + 12 4х = 92 Х = 23.
«Методы решения задач с параметрами»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»
Выступление на заседании МО
Методы решения задач
Прокушева Наталья Геннадьевна
г. Лодейное Поле
Задачи с параметрами
Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.
Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.
Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.
Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x , y , z , …, а параметры – первыми: a , b , c , …
Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.
Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.
При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.
Основные типы задач с параметрами
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.
Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.
Основные методы решения задач с параметром
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.
Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: – уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .
Линейные уравнения с параметрами вида
Если , уравнение имеет единственное решение.
Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .
источники:http://algebra.my-dict.ru/q/5182857_pri-kakom-znacenii-a-uravnenie-a/
http://infourok.ru/metody_resheniya_zadach_s_parametrami-398722.htm
При каком значении параметра a уравнение a2x−8 = 64x−a имеет бесконечное множество решений?
При каком значении параметра a уравнение a2x−8 = 64x−a имеет бесконечное множество решений?
При каком значении m системе уравнений имеет бесконечное множество решений ?
При каком значении m системе уравнений имеет бесконечное множество решений ?
Х + my = 3 и х — у = 3.
Дано (а — 1)(b + 2)Х = (а + 1)(b + 2)?
Дано (а — 1)(b + 2)Х = (а + 1)(b + 2).
При каких значениях а и b уравнение : а) не имеет решение?
В) имеет бесконечно много решений?
2 x — 5a = a ^ 2 — ax + 6 при каком значении а уравнение имеет бесконечно много решений?
2 x — 5a = a ^ 2 — ax + 6 при каком значении а уравнение имеет бесконечно много решений.
При каком значении а система уравнений 3х — а = у 12х — 4у = 3 имеет бесконечное множество решений?
При каком значении а система уравнений 3х — а = у 12х — 4у = 3 имеет бесконечное множество решений?
Помогите с решением пожалуйста, При каком значении a система уравнений 3x + ay = 4 6x — 2y = 8 имеет бесконечно много решений?
Помогите с решением пожалуйста, При каком значении a система уравнений 3x + ay = 4 6x — 2y = 8 имеет бесконечно много решений?
При каком значении а система уравнений — 3x + ay = — 6 9x — 3y = 18 имеет бесконечно много решений?
При каком значении а система уравнений — 3x + ay = — 6 9x — 3y = 18 имеет бесконечно много решений.
При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решений ?
При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решений ?
При каком значении a, система уравнений — 3x + ay = — 6 9x — 3y = 18имеет бесконечно много решений?
При каком значении a, система уравнений — 3x + ay = — 6 9x — 3y = 18
имеет бесконечно много решений.
На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос При каком значении a уравнение (a ^ 2 — 4)x = a ^ 2 + 5a + 6 имеет бесконечно много решений?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.
F(x) = 1 / (1 + x²) а) найдите область определения функции б) найдите значение f( — 3), f( — 1) , f(0), f(1), f(3), f(10) а) область определения — это множество допустимых значений аргумента «х». Что значит, допустимые? А что есть недопустимые? Пр..
8(х — 0, 5) — (3 + 9х) = 8х — 4 — 3 + 9х = 17х — 7.
40 — y = 150 / 6 40 — y = 25 y = 40 / 25 y = 1, 6.
40 — у = 30 * 5 / 6 40 — у = 150 / 6 40 — у = 25 — у = 40 : 25 у = 1, 6.
Цифр всего 5 штук. Если цифры в числе могут повторяться, то количество возможных комбинаций = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 5 ^ 5 = 3125 (количество возможных цифр для первого числа на кол — во для второго и так далее) Если цифры в числе не могут повторяться.
1)4sin(x — 7π / 2) = 3 / cosx ; x⊂[ — 13π / 2 ; — 5π] — 4sin(7π / 2 — x) — 3 / cosx = 0 — 4 * ( — sinx) — 3 / cosx = 0 (4sinx cosx — 3) / cosx = 0 X + (x — 3) + (x — 4) + (x — 5) = 80 x + x — 3 + x — 4 + x — 5 = 80 4x — 12 = 80 4x = 80 + 12 4x = 92 x = 92 / 4 x = 23. Х + х — 3 + х — 4 + х — 5 = 80 4х — 12 = 80 4х = 80 + 12 4х = 92 Х = 23. Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68» Выступление на заседании МО Методы решения задач Прокушева Наталья Геннадьевна г. Лодейное Поле Задачи с параметрами Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение. Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим. Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x , y , z , …, а параметры – первыми: a , b , c , … Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот. Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ. Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание. При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений. Основные типы задач с параметрами Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов. Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2. Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2. Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными. Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса. Основные методы решения задач с параметром Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения. Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a). Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром. Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение. Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: Линейные уравнения с параметрами вида Если Если http://algebra.my-dict.ru/q/5182857_pri-kakom-znacenii-a-uravnenie-a/ http://infourok.ru/metody_resheniya_zadach_s_parametrami-398722.htm«Методы решения задач с параметрами»
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
– уравнение прямой с угловым коэффициентом 
. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси 
.
, уравнение имеет единственное решение.
, то уравнение не имеет решений, когда 
, и уравнение имеет бесконечно много решений, когда 
.