Уравнения с параметром
Разделы: Математика
Справочный материал
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет
Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =
Пример 4.
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
если а = 5, то х = = ;
Дидактический материал
3. а = +
4. + 3(х+1)
5. = –
6. =
Ответы:
- При а1 х =;
- При а3 х = ;
- При а1, а-1, а0 х = ;
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
- При а2, а0 х = ;
- При а-3, а-2, а0, 5 х =
- При а + с0, с0 х = ;
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
х = –
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
a =
a =
Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,
х =
х = – = –
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
В итоге | 4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0 | а 6 а > — 1 а > 5/9 | 6 |
Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а(а – 4) 0
а(а – 4)) 0
Ответ: а 0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
Показательные уравнения с параметром
Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение
9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х 2 – хlog32 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х 2 – хlog3а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 32 – 4 > 0, или |log3а| > 2.
Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а 9.
Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >
а – положительное число.
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?
Ответ:
- 0 25/2
- при а = 1, а = -2,2
- 0 0, х1/4 (3)
х = у
Если а = 0, то – | 2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4 |
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.
Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).
Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х
Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство
2 – а > 1 – а (3)
Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.
Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 2
а0 =
Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.
Ответы:
- при а 16.06.2009
При каких значениях а уравнение х2 + 2х + а = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет единственный корень; в) не имеет корней?
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,299
- гуманитарные 33,630
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,256
- разное 16,836
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Параметр в квадратном уравнении
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Решение квадратных уравнений с параметрами
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение — параметрическим.
Научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы, нельзя. Надо использовать соображения, рассматривать их как задачи исследовательские.
Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0 , а ≠ 0, где коэффициенты а, b, с – любые действительные числа, называется квадратным.
Выражение b 2 – 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный действительный корень (или говорят, что это уравнение имеет два кратных корня ).
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня .
а ≠ 0, то сумма корней равна , а их произведение равно .
Обратное утверждение: Если числа х 1 , х 2 таковы, что
, , то эти числа – корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 .
Значения параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения, можно назвать контрольными или особыми. Очень важно уметь находить их.
При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х 2 обращается в нуль.
Если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное;
если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение (в этом и состоит качественное изменение уравнения).
Понятие квадратного трехчлена и его свойства.
Квадратным трехчленом называется выражение вида ax ²+ bx + c , где a ≠0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола.
При a a >0 ветви направлены вверх.
Выражение x ²+ px + q называется приведенным квадратным трехчленом.
В зависимости от величины дискриминанта D = b ²- 4 ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:
при D >0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);
при D =0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);
В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох,
«Белое пятнышко» в теме «Квадратный трёхчлен и квадратичная функция» может привести к появлению «мёртвых зон» и провалов в наших знаниях элементарной математики. Кстати, преподаватели мехмата МГУ О. Черкасова и А. Якушева утверждают: « Во многих так называемых задачах повышенной сложности «торчат уши квадратного трехчлена».
. Расположение параболы по отношению к оси абсцисс
в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.
Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:
а оба корня будут отрицательны, если x 1+ x 2= — b / a
Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения x 1• x 2= c / a
В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c / a c • a D = b ²-4 ac >0.
Расположение корней квадратного трехчлена
Рассмотрим теперь особенности расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.
Решение задач, для которых характерны следующие формулировки : при каких значениях параметра корни ( только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q и т.д.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.
При решении многих задач требуется знание следующих теорем и следствий.
Пусть f(х) = ах 2 + bx + с имеет действительные корни х1, х2 (которые могут быть кратными), а М, N – какие-нибудь действительные числа, причем М
Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М (то есть лежали на числовой оси левее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем М (то есть точка М лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Эти две системы можно заменить формулой .
Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М (то есть лежали на числовой оси правее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Следствие 1. Для того , чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М, но меньше, чем число N (то есть лежали в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Следствие 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Следствие 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Следствие 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, но меньше, а другой больше, чем число N (то есть отрезок МN лежал внутри интервала между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Акцентировать внимание надо на то, что здесь контрольными являются: направление ветвей параболы, знаки значений f(M), f(N), расположение вершины параболы..
Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?
Решение. Так как по условию корни различны, то D >0. Воспользуемся теоремой 1(о знаках корней квадратного трехчлена). Составим систему :
D= (a+1) 2 — 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,
Решив последнюю систему, получим , что -∞ a a
Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х + (4-а 2 )=0
имеет два корня разных знаков?
Решение. Воспользуемся теоремой 2 ( о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:
4-а 2 2 > 4 │а│> 2 => а 2. Ответ: а 2 .
Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2ах + а 2 – а- 6 =0 имеет два разных отрицательных корня?
Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :
D >0 , а+6>0,
f (0)>0 ; a 2 — a -6>0.
Решив последнюю систему, получим -6 a a
Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х 2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.
Решение. Пусть х1 и х2 корни квадратного трехчлена, причем х1
D= 16a 2 +48 a +13 >0,
F (2)= 2 2 + (4 a +5)∙2 +3- 2 a
Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения
4х 2 – 2х + а =0 находятся между числами -1 и 1?
Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1,
Следствием 1 и составим систему :
-1 0 ,
Решив систему, получим -2
Теорема Виета и задачи с параметрами.
Задача 6 . При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна ?
Решение. Найдем дискриминант . Уравнение имеет два корня при любом a. Используя теорему Виета, найдем
+ =(+)²-2=(3 a )²-2 a ²
Поскольку , то , a =0,5; -0,5. Ответ: a =0,5; -0,5.
Задача7 . При каком значении m сумма квадратов корней уравнения
Задача 8. Найти все значения параметра а, при которых модуль разности корней уравнения x 2 -6 x +12+ a 2 -4 a =0 принимает наибольшее значение.
, — корни уравнения, тогда | — |
-расстояние между корнями, и оно, по условию, должно быть наибольшим.
Уравнение запишем в виде: -6 x +12=- a ²+4 a
и решим его графически.
= 3, y в =3
-прямая, параллельная оси ОХ.
Чем выше она пройдет, тем больше расстояние между корнями ,т.е. надо узнать, при каком значении а функция у= y ( a )= a ²+4 a
принимает наибольшее значение .
Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.
Функция достигает наибольшего значения при =2.
.
Графический способ определения числа корней уравнения с параметром.
Рациональность любого верного решения опирается на условия задачи и напрямую зависит от них. Иногда графический метод помогает быстрее и удобнее решить задачу.
Остановимся на нахождении числа решений уравнений с параметрами, в которых под знаком модуля находится квадратный трёхчлен.
Задача 9. Найдите число решений уравнения
.
Решение: Построим график функции — 2 x – 3 | .
Выделим полный квадрат:
(1; -4) -координаты вершины параболы
Уравнение = a имеет столько решений, сколько
раз прямая у = а пересекает график функции
если , то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;
если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения;
если , то графики имеют четыре общие точки — четыре решения;
если , то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;
если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.
у
y = a (
4 y = a (
y = a (
х
y = a (
y = a (
Задача 10 . Для каждого значения параметра а определите число решений
уравнения .
Решение: Здесь в отличие от предыдущего уравнения параметр а входит в выражение, как стоящее под знаком модуля, так и находящееся вне его. Преобразуем левую часть данного уравнения:
.
Строим схематически график левой части данного уравнения с учётом того, что дискриминант квадратного трёхчлена всегда положителен: .
Проводим горизонтальные прямые – графики функции у = а + 3
При различных значениях параметра а.
Если , т.е. , то графики и
не пересекаются, и значит, нет решений.
Если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то графики пересекаются в двух точках
-уравнение имеет два решения.
Если , то графики имеют четыре общие точки ,
а уравнение – четыре решения.
Найдём, при каких значениях а уравнение будет иметь четыре решения. Для этого решим двойное неравенство
, или
Значит, при и уравнение имеет четыре решения. Если = -1 и а = 2, то графики имеют три
Общие точки . Значит, уравнение имеет три решения.
Если же то графики пересекаются в двух точках , т.е. уравнение имеет два решения.
y = a +3
y = a +3 (
y = a + 3 (
х
Графический метод не дает в большинстве случаев точного решения уравнения, однако, часто оказывается более эффективным, чем аналитический, т.к. он может быть полезен для наглядной иллюстрации
рассуждений. Но не стоит забывать о его «подводных рифах», так как иногда не все решения можно увидеть . В силу ограниченности наших графических возможностей абсолютно точный график в принципе построить нельзя, поэтому слепо доверять рисунку может быть просто опасно. Более того, часто случается, что при решении задач подобным способом не обойтись без аналитических формул и вычислений.
http://www.soloby.ru/544024/%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85-%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%B9
http://infourok.ru/parametr_v_kvadratnom_uravnenii-305376.htm