При каком значении параметра a квадратное уравнение

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
• \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).

В итоге получаем:

если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему:

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

Квадратные уравнения с параметром

Понятие уравнения с параметром и его решения

Часто на практике создаётся такая математическая модель, в которой приходится решать не одно, а целое «семейство» похожих уравнений.

Рассмотрим несложный пример.

Пусть нам дан прямоугольный участок площадью a. С точки зрения практической, мы хотим обнести участок забором, т.е. нас интересует зависимость периметра от длины x при некоторой площади a (ширина будет равна $\frac$):

Допустим, у нас есть материалы, чтобы соорудить забор длиной 100 м.

Это – простейшее уравнение с параметром, в котором один из коэффициентов не задан конкретным числом.

Уравнение относительно переменной x с параметром a – это уравнение F(x,a), в котором значение a не определено и также является переменной величиной.

Решить уравнение с параметром – это найти множество корней $$ для любого значения параметра a .

Решим наше уравнение. Найдём дискриминант:

$$ D = 50^2-4a = 2500-4a = 4(625-a) $$

Чтобы решения существовали, потребуем:

$$ D \ge 0 \Rightarrow 625-a \ge 0 \Rightarrow a \le 625 $$

При $a \lt 625$ два корня $x_ <1,2>= 25 \pm \sqrt<625-a>$

При a = 625 один корень $x_0 = 25$

При $a \gt 625$ решений нет

Наша модель немного усложнится, если мы поставим условия, чтобы площадь и длина были строго положительными:

Исследуем решение. Полученный корень $x_2 = 25+ \sqrt <625-a>\ge 25 \gt 0$ — положительный. И $x_1 = 25- \sqrt<625-a>$ при $0 \lt a \lt 625$ меняется в пределах $0 \lt x_1 \lt 25$, т.е. также положительный.

Запишем ответ для модели с условиями:

При $0 \lt a \lt 625$ два корня $x_ <1,2>= 25 \pm \sqrt<625-a>$

При a = 625 один корень $x_0$ = 25

При $a \gt 625$ решений нет

Ответ изменился незначительно, но чтобы его записать, нам пришлось провести дополнительное исследование.

Решить уравнение с параметром F(x,a) при дополнительных условиях на переменную x и параметр a – это найти допустимое множество корней $\$ для любого допустимого значения параметра a .

Заметим, что согласно полученным результатам, максимальная площадь, которую мы можем огородить нашим забором длиной 100 м, равна a = 625 $м^2$. Участок при этом представляет собой квадрат с длиной $x_0 = 25$ м и шириной $ \frac = 25$ м.

Примеры

Пример 1. При каких p квадрат разности корней уравнения $x^2-4x+p = 0$ равен 32?

Пусть $x_1, x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета и условию задачи:

$$ <\left\< \begin x_1+x_2 = 4 \\ x_1 x_2 = p \\ x_1^2-x_2^2 = 32 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x_1+x_2 = 4 \\ x_1 x_2 = p \\ (x_1+x_2 )(x_1-x_2 ) = 32 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x_1+x_2 = 4 \\ x_1-x_2 = 8 \\ x_1 x_2 = p \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 2x_1 = 4+8 = 12 \\ 2x_2 = 4-8 = -4 \\ x_1 x_2 = p \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x_1 = 6 \\ x_2 = -2 \\ p = 6 \cdot (-2) = -12 \end \right.> $$

Пример 2. При каких значениях a уравнение

имеет один корень? Найдите этот корень.

$$ D = (a+2)^2-4(a+5) = a^2+4a+4-4a-20 = a^2-16 $$

Уравнение имеет один корень, если D = 0:

$$ a^2-16 = 0 \Rightarrow a = \pm 4 $$

При a = -4 уравнение имеет вид $x^2+2x+1 = 0$, т.е. $(x+1)^2 = 0$, $x_0 = -1$

При a = 4 уравнение имеет вид $x^2-6x+9 = 0$, т.е. $(x-3)^2 = 0, x_0 = 3$

При a = -4, $x_0$ = -1

При a = 4, $x_0$ = 3

Пример 3. Найдите такое p, чтобы уравнения

$$ x^2+x+p = 0 и x^2+px+1 = 0 $$

имели общий корень. Найдите этот корень.

Общий корень означает, что параболы пересекаются в точке, лежащей на оси OX.

$$ x(1-p) = 1-p \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin p = 1 \\ x \in \Bbb R — любой \end \right.> \\ <\left\< \begin p \neq 1 \\ x = 1 \end \right.> \end \right. $$

При p = 1 уравнения совпадают $x^2+x+1 = 0$, но решений не имеют, т.к. $D \lt 0$.

При x = 1 уравнения парабол имеют вид: $p+2 = 0 \Rightarrow p = -2$.

При p = 2 уравнения имеют общий корень x = 1.

Пример 4. Найдите все целые значения a, при которых уравнение $\frac<4-a> = \frac<1>$ имеет решение.

Особая точка: a = 4. Уравнение $x^2-2x+4 = 0$ решений не имеет, т.к. $D \lt 0$.

Решаем уравнение в общем виде:

Потребуем $D \ge 0$

$$ -4(a-3)(a-1) \ge 0 \Rightarrow (a-3)(a-1) \le 0 $$

Начертим график параболы

Значение $f(a) \le 0$ не положительно, только на отрезке

Это значит, что $D \ge 0$, и уравнение имеет решения, только при трёх целочисленных a $\in$

При a = 1 и a = 3 D = 0, уравнение имеет вид $x^2-2x+1 = 0$ и одно решение $x_0 = 1$.

При a = 2 уравнение имеет вид: $x^2-2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 0 \\ x_2 = 2 \end \right. $

При a = 1 и a = 3 один корень $x_0 = 1$

При a = 2 два корня $x_1 = 0, x_2 = 2$

При всех других целых a уравнение решений не имеет.

Пример 5. При каких b и c уравнение $x^2+bx+c = 0$ имеет корнями b и c?

По условию $x_1 = b, x_2 = c$

По теореме Виета:

$$ <\left\< \begin x_1+x_2 = b+c = -b \\ x_1 x_2 = bc = c \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin c = -2b = -2 \\ b = 1\end \right.> $$

Уравнение $x^2+x-2 = 0$ имеет корнями 1 и -2.

Ответ: b = 1, c = -2

Пример 6. Найдите все значения параметра a, при которых уравнения

$$ x^2+(a^2+3a+7)x = 0 и x^2+(4a+19)x+(a^2+7a-44) = 0 $$

имеют один и те же решения.

Старшие коэффициенты парабол одинаковы и равны 1.

Параболы будут иметь одинаковые решения в том случае, если будут полностью совпадать, т.е.:

$$ <\left\< \begin a^2+3a+7 = 4a+19 \\ 0 = a^2+7a-44 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a^2-a-12 = 0 \\ a^2+7a-44 = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin (a-4)(a+3) = 0 \\ (a-4)(a+11) = 0 \end \right.> \Rightarrow a = 4 $$

Кроме того, они могли бы совпадать, если бы все переменные коэффициенты одновременно стали равны 0:

$$ <\left\< \begin a^2+3a+7 = 0 \\ 4a+19 = 0 \\ a^2+7a-44 = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin D \lt 0, a \in \varnothing \\ a = — \frac<19> <4>\\ a = \ <-11;4 \>\end \right.> \Rightarrow a \in \varnothing $$

Пример 7. Решите уравнение:

При a = 1 уравнение имеет вид $x^2 = 0$ и один корень $x_0 = 0$