При каком значении параметра а уравнение cosx

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Тригонометрические уравнения с параметром

При каких значениях параметра уравнение имеет решение? Заполните пропуски в определении параметра.

при $а =$ , $x=\frac<\pi><2>+2\pi k,k\epsilon Z$.

Тригонометрические уравнения с параметром

Найдите все значения параметра $a$ из интервала $(0; \pi)$, при которых уравнение имеет решение.

$x^2+2 (2cosa−1)x+2 cos^2 a−5cosa+2=0$

Выделите цветом правильный ответ:

Тригонометрические уравнения с параметром

При каком наибольшем положительном значении параметра уравнение имеет решение?

Тригонометрические уравнения с параметром

Выберите из списка множество значений параметра

$x=\pm \frac<1><2>arccos \frac<2b^2 -1><2b-1>+\pi k, k\epsilon Z$

Ответ: при $b\epsilon$ _____________

Тригонометрические уравнения с параметром

Дано уравнение $sinxtgx+2+2cosx=a$. Сопоставьте значения параметра со значениями переменной.

Тригонометрические уравнения с параметром

Введите правильные ответы для автозаполнения кроссворда:

Тригонометрические уравнения с параметром

Найдите наименьшее положительное значение параметра, при котором решением неравенства $4sinx \leq a+1$ является любое действительное число. Подчеркните правильный ответ:

Тригонометрические уравнения с параметром

Что такое «уравнение с параметром» и его решение – см. §32 справочника для 8 класса

п.1. Уравнения с функцией первого порядка и параметром

Уравнения вида $F(g(x),a)=0$, где $g(x)$ — некоторая линейная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично линейным уравнениям с параметром.
Как решать линейные уравнения с параметром – см. Примеры 5-7, §7 справочника для 7 класса.

п.2. Уравнения с квадратичной функцией и параметром

Уравнения вида $F(g(x),a)=0$, где $g(x)$ — некоторая квадратичная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично квадратичным уравнениям с параметром.
Как решать квадратичные уравнения с параметром – см. §32 справочника для 8 класса

Например:
Решим уравнение $ cos^4x-(a+2)cos^2x-(a+3)=0 $
Замена: $t=cos^2x,\ 0\leq t\leq 1$: \begin t^2-(a+2)t-(a+3)=0\\ D=(a+2)^2+4(a+3)=a^2+4a+4+4a+12=a^2+8a+16=(a+4)^2\\ t=\frac<(a+2)\pm(a+4)><2>= \left[ \begin -1\\ a+3 \end \right. \end Корень $t_1=-1\lt 0$ не подходит по определению замены.
Второй корень $t_2=a+3$ должен удовлетворять ограничениям: $$ 0\leq a+3\leq 1\Rightarrow -3\leq a\leq -2 $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin cos^2x=a+3\Rightarrow\frac<1+cos2x><2>=a+3\Rightarrow cos2x=2a+5\Rightarrow\\ \Rightarrow 2x=\pm arccos(2a+5)+2\pi k\Rightarrow x=\pm\frac12 arccos(2a+5)+\pi k \end Ответ:
При $a\lt -3\cup a\gt -2$ решений нет, , $x\in \varnothing$
При $-3\leq a\leq -2,\ x=\pm\frac12 arccos(2a+5)+\pi k $

п.3. Другие уравнения с параметрами

При решении других тригонометрических уравнений с параметрами используются тригонометрические преобразования, замены переменных, переход от одного уравнения к системе (совокупности) уравнений и т.п.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение: a) $ sin3x=asinx $
Формула для тройного угла – см. §16 данного справочника.
$sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha$
Подставляем: \begin 3sinx-4sin^3x=a sinx\\ sinx(3-4sin^2x-a=0\\ \left[ \begin sinx=0\\ 3-4sin^2x-a=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ sin^2 x=\frac<3-a> <4>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ \frac<1-cos2x><2>=\frac<3-a> <4>\end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ cos2x=\frac <2>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ 2x=\pm arccos\frac<2>+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pi k\\ x=\pm\frac12 arccos\frac<2>+\pi k \end \right. \end Первое семейство решений $x=\pi k$ существует при любых $a$.
Для второго семейства решений действует ограничение: \begin -1\leq\frac<2>\leq 1\Rightarrow -2\leq a-1\leq 2 \Rightarrow -1\leq a\leq 3 \end Ответ:
При $a\lt -1\cup a\gt 3$ одно семейство решений $x=\pi k$
При $-1\leq a\leq 3$ два семейства решений $ \left[ \begin x=\pi k\\ x=\pm\frac12 arccos\frac<2>+\pi k \end \right. $

б) $ sin^2x-5cosx+a=0 $ \begin (1-cos^2x)-5cosx+a=0\\ cos^2x+5cosx-(a+1)=0 \end Замена: $t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1$
$t^2+5t-(a+1)=0$
$f(t)=t^2+5t-(a+1)$ — это парабола ветками вверх с вершиной: \begin t_0=-\frac52=-2,5,\\ f(t_0)=t_0^2+5t_0-(a+1)=6,25-12,5-(a+1)=-6,25-(a+1) \end За счет параметра $a$ парабола перемещается по вертикали вдоль оси $t_0=-2,5$.
Интервал $-1\leq t\leq 1$ лежит справа от оси, т.е. только одно решение квадратного уравнения попадает в этот интервал. Условие существования этого решения (пересечение оси абсцисс) – разные знаки функции на концах интервала: \begin f(-1)f(1)\leq 0\\ \left(1-5-(a+1)\right)\left(1+5-(a+1)\right)\leq 0\\ (a+5)(a-5)\leq 0\\ -5\leq a\leq 5 \end $D=5^2+4(a+1)=4a+26\geq 0\Rightarrow a\geq -6,5$
Условие $-5\leq a\leq 5$ достаточно для существования решения, при нем $D\gt 0$.
Получаем: \begin t=\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\Rightarrow cosx=\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\\ x=\pm arccos\left(\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\right)+2\pi k \end Ответ:
При $|a|\gt 5$ решений нет, $x\in \varnothing$
При $|a|\leq 5,\ \ x=\pm arccos\left(\frac<-5\pm\sqrt<4a+26>><2>\right)+2\pi k $

в) $ 2cos3x+4cos5x=a^2-4a+10 $
Исследуем параболу $f(a)=a^2-4a+10$
$D=16-40=-24\lt 0$ — парабола всегда положительна
Вершина: $a_0=-\frac<-4><2>=2,\ f(a_0)=2^2-8+10=6$
Таким образом, наименьшее значение функции $f_=f(2)=6$.
Для суммы $2cos⁡3x+4cos⁡5x$ значение 6 является наибольшим из возможных.
Получаем систему: \begin \begin 2cos3x+4cos5x=6\\ a^2-4a+10=6 \end \end Нижнее уравнение мы уже решили и получили $a=2$.
Решаем верхнее уравнение для максимальных значений косинусов: \begin cos3x+2cos5x=3\Rightarrow \begin cos3x=1\\ cos5x=1 \end \Rightarrow \begin 3x=2\pi k\\ 5x=2\pi n \end \Rightarrow \begin x=\frac23\pi k\\ x=\frac25\pi n \end \\ \frac23\pi k=\frac25\pi n\Rightarrow\frac<3>=\frac<5>\Rightarrow k=3m,\ \ m\in\mathbb\Rightarrow x=\frac23\pi\cdot 3m=2\pi m \end
На чертеже видно, что сумма косинусов достигает максимального значения 6 через каждые $2\pi,$ т.е. полный оборот.
Ответ:
При $a\ne 2$ решений нет, $x\in \varnothing$
При $a=2,\ x=2\pi k $

г) $ asin^2x+cos^2x=0 $
$a(1-cos^2x)+cosx=0$
$acos^2x-cosx-a=0$
Замена: $t=cosx,\ -1\leq t\leq 1$
$at^2-t-a=0$
При $a=0$ квадратное уравнение вырождается в линейное, получаем: \begin cos x=0,\ \ x=\frac\pi2+\pi k \end При $a\ne 0:\ D=1+4a^2,\ \ t_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt<1+4a^2>><2a>$
Рассмотрим модуль корня с плюсом: \begin |t_2|=\frac<1+\sqrt<1+4a^2>><2|a|>\gt\frac<1+2|a|><2|a|>\gt 1 \end Таким образом, этот корень не подходит.
Сравним модуль корня с минусом и единицу: \begin |t_1|=|\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>|=\frac<\sqrt<1+4a^2>-1><2|a|>\ ?\ 1\\ \sqrt<1+4a^2>-1\ ?\ 2|a|\\ \sqrt<1+4a^2>\ ?\ 2|a|+1\\ 1+4a^2\leq 4a^2+4|a|+1 \end Получаем, что $|t_1|\leq 1$. Этот корень нам подходит. \begin cosx=\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\\ x=\pm arccos\left(\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\right)+2\pi k \end Ответ:
При $a=0,\ x=\frac\pi2+\pi k$
При $a\ne0,\ x=\pm arccos\left(\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2a>\right)+2\pi k $

При каком значении параметра а уравнение cos x = x² + a имеет единственный корень?

Алгебра | 5 — 9 классы

При каком значении параметра а уравнение cos x = x² + a имеет единственный корень?

Так как обе функций четные $cos(-x)=cosx ;$ , значит он есть только при$x=0$ из — за симметрий корня , значит $cos0=0^2+a\\ a=1$.

При каких значениях параметра p уравнение имеет один корень?

При каком значении параметра а уравнение ах = 3а + х имеет единственный корень?

При каких значениях параметра а уравнение (3a + 9)x ^ 2 + ax — 1 = 0 имеет единственный корень?

При каких значениях параметра а уравнение (3a + 9)x ^ 2 + ax — 1 = 0 имеет единственный корень.

1) При каких значениях параметра уравнение имеет решения?

2) При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение на.

При каком значении параметра а уравнение ах = 3а + х имеет единственный корень?

При каких значениях параметра p уравнение имеет один корень?

При каких значениях параметра p уравнение имеет единственный корень?

(х — 4) ^ 2 — 3 = р + 2.

Определите при каких значениях параметра а уравнение x ^ 2 — ах + 9 = 0 имеет единственный корень?

Определите при каких значениях параметра а уравнение x ^ 2 — ах + 9 = 0 имеет единственный корень.

Помогите пожалуйста?

Напишите подробно умоляю!

При каком значении параметра р уравнение х ^ 2 + рх + 16 = 0 имеет один корень?

Чему равен этот корень?

При каком значении параметра а уравнение ах = 3 + х имеет единственное значение?

При каком значении параметра а уравнение ах = 3 + х имеет единственное значение.

На странице вопроса При каком значении параметра а уравнение cos x = x² + a имеет единственный корень? из категории Алгебра вы найдете ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.

Подставляешь и решаешь 8 * ( — 6, 5) + 3 * 42 / 3 = — 52 + 63 + 1 = 12 В)(а + b)(a — b) = aв квадрате — b в квадрате = (1. 7в квадрате + ( — 1, 3)в квадрате) = — 1, 2.

Здесь все предельно просто ответ во вложении.

8 * 0, 018 / 1. 2 = 8 * 0. 18 / 12 = 2 * 0. 18 / 3 = 0. 36 / 3 = 0. 12.

источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/trigonometricheskie-uravneniya-s-parametrom/

http://algebra.my-dict.ru/q/3008393_pri-kakom-znacenii-parametra-a-uravnenie/