При каком значении параметра уравнение является характеристическим

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ, ал­геб­ра­ич. урав­не­ние $$\begin a_<11>-λ & a_ <12>& . & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_<22>-λ & . & a_ <2n>\\ . & . & . & . \\ a_ & a_ & . & a_-λ \\ \end=0;\tag<*>$$ оп­ре­де­ли­тель в ле­вой час­ти Х. у. по­лу­ча­ет­ся из оп­ре­де­ли­те­ля квад­рат­ной мат­ри­цы $A=||a_||^n_1$ вы­чи­та­ни­ем ве­ли­чи­ны $λ$ из диа­го­наль­ных эле­мен­тов. Этот оп­ре­де­ли­тель яв­ля­ет­ся мно­го­чле­ном по­ряд­ка $n$ от­но­си­тель­но ве­ли­чи­ны $λ$ , ко­то­рый на­зы­ва­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­че­ским мно­го­чле­ном мат­ри­цы $A$ . Х. у. мож­но за­пи­сать в ви­де $$(–λ)^n+S_1(–λ)^+S_2(–λ)^+ . +S_n=0,$$ где $S_1=a_<11>+a_<22>+. +a_$ – т. н. след мат­ри­цы $A$ , $S_2$ – сум­ма всех гл. ми­но­ров 2-го по­ряд­ка, т. е. оп­ре­де­ли­те­лей ви­да $\begin a_ & a_ \\ a & a_\\ \end$ , $i , и т. д., а $S_n$ – оп­ре­де­ли­тель мат­ри­цы $A$ . Кор­ни Х. у. $λ_1$ , $λ_2$ , $. $ , $λ_n$ на­зы­ва­ют­ся соб­ст­вен­ны­ми чис­ла­ми или соб­ст­вен­ны­ми зна­че­ния­ми мат­ри­цы $A$ , они иг­ра­ют важ­ную роль при изу­че­нии мат­р иц и ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний . У дей­с т­ви­тель­ной сим­мет­рич­ной мат­ри­цы, а так­же у эр­ми­то­вой мат­ри­цы все чис­ла $λ_k$ дей­ст­ви­тель­ны, у дей­ст­ви­тель­ной косо­сим­мет­рич­ной мат­ри­цы все чис­ла $λ_k$ чис­то мни­мые, для дей­ст­ви­тель­ной ор­то­го­наль­ной мат­ри­цы, а так­же для уни­тар­ной мат­ри­цы все чис­ла $∣λ_k∣ =1$ .

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Найдено 12 изображений:

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ в математике, 1) Х. у. матрицы — алгебр. ур-ние вида

из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно X — характеристический многочлен. В раскрытом виде X. у. записывается так:

венными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все Хи действительны, у действительной кососимметричной матрицы все X* чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитар-

X. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к X. у.; отсюда и второе название для X. у. — вековое уравнение.

2)Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

-алгебр, ур-ние, к-рое получается из да ного дифференциального ур-ния пос. замены функции y и её производных с ответствующими степенями величины т. е. ур-ние

составленной из коэфф. ур-ний данной системы.

Характеристи́ческое уравне́ние. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида

[при F(t) ≡ 0 это уравнение называется однородным]. Здесь a₁, b₁ — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение.Если ввести обозначение d i /dt i = p i так, что d i Z(t)/dt i = p i Z(t), то это уравнение можно переписать в виде L(p)Z(t) = S(p)F(t), где L(p) и S(p) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен L(p) = p n + a₁p n ‑1 + + a_n-1p + a_n называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение L(p) = 0 — характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения Х. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни Х. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). Х. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.

Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней Х. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе Х. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. Х. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости летательного аппарата и его управляемости.

Попов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, М., 1954;

Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а1 х =;

1. При а3 х = ;

1. При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

1. При а2, а0 х = ;

1. При а-3, а-2, а0, 5 х =

1. При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0

а 6 а > — 1 а > 5/9

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Ответы:

при а 16.06.2009