ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. 7. Линейное уравнение с одной переменной. Номер №135
При каком значении переменной:
а) значения выражений 2 m − 13 и m + 3 равны;
б) значение выражения 3 − 5 c на 1 меньше значения выражения 1 − c;
в) значение выражения 2 x + 1 на 20 больше значения выражения 8 x + 5 ;
г) значение x в 3 раза меньше значения выражения 45 − 10 x;
д) значение выражения 9 − y в 2 раза больше значения y?
Решение а
2 m − 13 = m + 3
2 m − m = 3 + 13
m = 16
Решение б
( 1 − c) − ( 3 − 5 c) = 1
1 − c − 3 + 5 c = 1
4 c = 1 − 1 + 3
4 c = 3
Решение в
( 2 x + 1 ) − ( 8 x + 5 ) = 20
2 x + 1 − 8 x − 5 = 20
2 x − 8 x = 20 − 1 + 5
− 6 x = 24
x = 24 : (− 6 )
x = − 4
Решение г
3 x = 45 − 10 x
3 x + 10 x = 45
13 x = 45
Решение д
9 − y = 2 y
2 y + y = 9
3 y = 9
y = 9 : 3
y = 3
Уравнения с параметром
Разделы: Математика
Справочный материал
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет
Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =
Пример 4.
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
если а = 5, то х = = ;
Дидактический материал
3. а = +
4. + 3(х+1)
5. = –
6. =
Ответы:
- При а1 х =;
- При а3 х = ;
- При а1, а-1, а0 х = ;
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
- При а2, а0 х = ;
- При а-3, а-2, а0, 5 х =
- При а + с0, с0 х = ;
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
х = –
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
a =
a =
Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,
х =
х = – = –
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
В итоге | 4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0 | а 6 а > — 1 а > 5/9 | 6 |
Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а(а – 4) 0
а(а – 4)) 0
Ответ: а 0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
Показательные уравнения с параметром
Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение
9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х 2 – хlog32 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х 2 – хlog3а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 32 – 4 > 0, или |log3а| > 2.
Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а 9.
Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >
а – положительное число.
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?
Ответ:
- 0 25/2
- при а = 1, а = -2,2
- 0 0, х1/4 (3)
х = у
Если а = 0, то – | 2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4 |
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.
Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).
Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х
Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство
2 – а > 1 – а (3)
Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.
Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 2
а0 =
Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.
Ответы:
- при а 16.06.2009
При каком значении параметра а уравнение ах. Уравнения с параметром
Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .
Дидактический материал
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
х =
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
По условию х 1 0
В итоге | 4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0 | а 6 а > — 1 а > 5/9 | Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение. Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а Дидактический материал
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень? 3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней? 4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0? 5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень? Показательные уравнения с параметромПример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение 9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня. Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение 3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2) Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 0, или |log 3 а| > 2. Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а 9. Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения? Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = > а – положительное число. Дидактический материал1. Найти все значения а, при которых уравнение
2. При каких значениях а уравнение
3. При каких значениях параметра а уравнение
Логарифмические уравнения с параметромПример 1. Найти все значения а , при которых уравнение log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1) имеет единственное решение. Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению Не выполняется (2) условие из (3). Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990 Рассмотрим теперь квадратное уравнение где — неизвестная величина, — параметры (коэффициенты) уравнения. К критическим значениям параметра следует отнести, прежде всего, значение При указанном значении параметра уравнение (1) принимает вид следовательно, порядок уравнения понижается на единицу. Уравнение (2) является линейным уравнением и метод его решения рассматривался ранее. При другие критические значения параметров определяются дискриминантом уравнения. Известно, что при уравнение (1) корней не имеет; при оно имеет единственный корень при уравнение (1) имеет два различных корня и 1). Найти все значения параметра для которых квадратное уравнение а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня. Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, а поэтому Рассмотрим дискриминант данного уравнения При уравнение имеет два различных корня, т.к. При уравнение корней не имеет, т.к. Данное квадратное уравнение не может иметь двух равных корней, т.к. при а это противоречит условию задачи. Ответ: При уравнение имеет два различных корня. При уравнение корней не имеет. 2).Решить уравнение. Для каждого допустимого значения параметра решить уравнение Решение. Рассмотрим сначала случай, когда (в этом случае исходное уравнение становится линейным уравнением). Таким образом, значение параметра и являются его критическими значениями. Ясно, что при корнем данного уравнения является а при его корнем является Если т.е. и то данное уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант: При всех значениях дискриминант принимает неотрицательные значения, причем он обращается в нуль при (эти значения параметра тоже являются его критическими значениями). Поэтому, если то данное уравнение имеет единственный корень При этом значению параметра соответствует корень а значению соответствует корень Если же то уравнение имеет два различных корня. Найдем эти корни. Ответ. Если то если то если то 3).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Решение. Данное уравнение равносильно системе Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно, приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие х ≠ -3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем D = а 2 — 4 , отсюда D =0, если а = ±2; х = -3 — корень уравнения х 2 – а х +1 = 0 при а = -10/3, причем при таком значении а второй корень квадратного уравнения отличен Ответ. а = ±2 или а = -10/3. 4).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение (а — 2)x 2 + (4 — 2а ) х +3 = 0 имеет единственное решение? Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠ 2 , то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5 . Поскольку мы установили, что а= 2 не подходит, то 9).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение ах 2 — 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня? Решение . При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 – 4а 2 – 12а положительный. Отсюда получаем -4 ⅓. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка (-⅓ ;∞) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = -3. Ответ. а = -3, или — ⅓ 0. Решение. Сначала заметим, что при данное уравнение равносильно уравнению которое не имеет решений. Если же 1. Задача. 1. Решение. 1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О <0; 1; 2>. 2. Задача.
3. Задача. 3. Решение. 4. Задача. 4. Решение. 5. Решение. 6. Задача (10 кл.) источники: http://urok.1sept.ru/articles/534897 http://dprvrn.ru/pri-kakom-znachenii-parametra-a-uravnenie-ah-uravneniya-s/ |