Уравнения с параметром
Разделы: Математика
Справочный материал
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет
Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =
Пример 4.
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
если а = 5, то х = = ;
Дидактический материал
3. а = +
4. + 3(х+1)
5. = –
6. =
Ответы:
- При а1 х =;
- При а3 х = ;
- При а1, а-1, а0 х = ;
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
- При а2, а0 х = ;
- При а-3, а-2, а0, 5 х =
- При а + с0, с0 х = ;
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
х = –
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
a =
a =
Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,
х =
х = – = –
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
В итоге | 4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0 | а 6 а > — 1 а > 5/9 | 6 |
Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а(а – 4) 0
а(а – 4)) 0
Ответ: а 0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
Показательные уравнения с параметром
Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение
9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х 2 – хlog32 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х 2 – хlog3а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 32 – 4 > 0, или |log3а| > 2.
Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а 9.
Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >
а – положительное число.
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?
Ответ:
- 0 25/2
- при а = 1, а = -2,2
- 0 0, х1/4 (3)
х = у
Если а = 0, то – | 2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4 |
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.
Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).
Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х
Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство
2 – а > 1 – а (3)
Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.
Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 2
а0 =
Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.
Ответы:
- при а 16.06.2009
Репетитор по математике
Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».
Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]
Стоимость занятий
Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.
Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021
Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.
Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.
Группа Вконтакте
В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.
Преимущества
Педагогический стаж
Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.
Собственная методика
За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.
Гарантированный результат
За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.
Индивидуальная работа
Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.
Квадратные уравнения с параметром
Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.
Исследование квадратного многочлена
Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:
- Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
- \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).
В итоге получаем:
если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).
Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0
При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?
1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.
2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):
Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).
1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).
2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:
Подставляем полученные выражения в систему:
http://mathlesson.ru/node/77
http://sigma-center.ru/quadratic_equation_parametr