Уроки алгебры по теме «Методы решения иррациональных уравнений» с информационными технологиями в соответствии с требованиями к формированию УУД. 11-й класс
Класс: 11
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (427 кБ)
“Под методом же я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное, и без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно”. Декарт
Урок проводиться с использованием информационных технологий. К сценарию урока прилагается технологическая карта урока в соответствии с требованиями к формированию УУД (Приложение 7).
Приемы решения иррациональных уравнений – наиболее трудный раздел математики. Иррациональные уравнения играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры школьников. Тема актуальна еще тем, что иррациональные уравнения очень часто встречаются на ЕГЭ, с их помощью легко диагностируются знания выпускников по многим понятиям, начиная с такого понятия как равносильность уравнений и заканчивая понятием ОДЗ.
В программе алгебры и начал анализа в 11 классе этот раздел затрагивается поверхностно (всего несколько часов). Поэтому важно преподнести материал с максимальной эффективностью.
На изучение темы отвожу 6 часов (три пары).
- Первая пара – изучение и первичное закрепление изученного материала (лекция, решение ключевых задач). Четкая классификация методов решения способствует более осознанному освоению темы, формируется алгоритм действий в различной ситуации, формируются навыки конспектирования лекции, которые применяются при выполнении домашних и тренировочных работ. Очень важно – учебный материал воспроизводится по схеме, по образцу теории, а не по образцу какого-то приведенного в пример уравнения.
- Вторая пара – углубление знаний о методах и приемах решения иррациональных уравнений. (Групповая самостоятельная работа на основе многоуровневой системы задач).
- Третья пара –обобщение знаний. (Зачетное занятие)
Цели, которые ставлю при изучении:
Первая пара: изучение и первичное закрепление изученного материала (лекция, решение ключевых задач).
Цели урока.
- Образовательная — сформировать понятие иррациональных уравнений, познакомить с некоторыми приемами решения иррациональных уравнений.
- Развивающая – способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решения, научить применять эти методы, способствовать развитию математического кругозора.
- Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Методы обучения:
- репродуктивный;
- частично-поисковый.
Формы организации учебной деятельности:
- фронтальная;
- индивидуальная.
- Организационный момент. Постановка цели урока, мотивация.
- Актуализация опорных знаний.
- Изучение новой темы. Лекция.
- Первичное закрепление нового материала: на уровне воспроизведения и на уровне применения знаний.
- Подведение итогов.
I. Организационный момент.
II. Изучение нового материала.
Объяснение нового материала опирается на знания учащихся, полученные ими при изучении тем: “Определение и основные свойства корня n-й степени” и “Теоремы о равносильности преобразований уравнений”.
Разбирается классификация иррациональных уравнений по видам, приводятся примеры, изучаются способы решения иррациональных уравнений, разбираются примеры решения уравнений каждого вида. Все понятия, формулировки, примеры демонстрируются в презентации, примеры решения уравнений разбираются на доске. Лекция проводится в виде фронтальной беседы. В ходе беседы ученики составляют краткий конспект лекции: Приложение 1.
III. Отработка навыков решения ключевых задач.
- закрепление предварительных знаний и умений, усвоенных при первичной отработке нового материала, и дальнейшее их развитие;
- выявление пробелов в знаниях и умениях учащихся и последующая их ликвидация;
- развитие навыков правильного мышления.
1. Учащиеся решают предложенное уравнение первого типа (у каждого свой вариант), заносят свои результаты в таблицу на интерактивной доске, правильные ответы закрыты шторой, затем открываются правильные ответы, результаты сравниваются, анализируют все вместе полученные ошибки, исправляют их, снова решая уравнение. Приложение 2.
2. Учащимся предлагается решить уравнения других типов по той же схеме.
3. Учащиеся выполняют интерактивную самостоятельную работу на компьютере (самостоятельная работа записана на дисках из Интернет — http://www.uztest.ru), учитель в роли консультанта.
4. Результаты заносятся в таблицу мониторинга учебных навыков по каждому виду уравнений. Приложение 3.
IV. Подведение итогов урока
- Анализ допущенных ошибок.
- Краткое повторение изученного теоретического материала, повторение алгоритмов решения иррациональных уравнений.
- Объявление и выставление оценок в журнал.
V. Домашнее задание (дается дифференцировано).
Вторая пара: групповая самостоятельная работа на основе многоуровневой системы задач.
Цели урока:
Тип урока: урок систематизации, обобщения и расширения знаний и умений учащихся, связанных с применением методов решения иррациональных уравнений.
Формы организации учебной деятельности:
- фронтальная;
- индивидуальная;
- групповая;
- ваимопроверка.
- Организационный момент. Постановка цели урока, мотивация.
- Проверка домашнего задания.
- Повторение теории.
- Отработка ранее изученного материала: на уровне применения знаний (групповая самостоятельная работа по решению предложенных заданий на основе многоуровневой системы задач).
- Подведение итогов.
I. Организационный момент.
III. Повторение (с использованием презентации)
а) используя конспект предыдущей лекции в ходе занятия, вспомнить классификацию видов иррациональных уравнений, алгоритм решения каждого из видов в общем виде;
б) вспомнить приемы решения ключевых задач;
- Работа в группах: Приложение 4:
IV. Многоуровневая самостоятельная работа.
Цели:
Учащимся предлагается самостоятельная работа из трех вариантов по трем уровням сложности, в каждом варианте еще три уровня: знакомая задача, модифицированная задача и незнакомая задача. Приложение 5
Знакомая задача – ученик воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий (действует в знакомой обстановке).
Модифицированная задача – деятельность не только воспроизводится по памяти, а видоизменяется в новых условиях.
Незнакомая задача – учебная деятельность носит творческий характер, нужно уметь ориентироваться в новой ситуации и вырабатывать совершенно новые программы действий.
- Работа в группах:
Ребята делятся на три группы по уровням сформированности умения действовать в ситуации, самостоятельно решают в группе, выполненные работы сканируются и проецируются на экран, затем каждая группа защищает свое решение. Каждый оценивает себя по участию в группе. Оценки за работу вносятся в оценочный лист. Приложение 6.
V. Подведение итогов урока
VI. Домашнее задание:
Подготовиться к зачетному занятию. Тексты вариантов зачетной работы раздаются заранее.
Третья пара: зачет.
Цели урока:
Тип урока: урок проверки знаний и умений учащихся, связанных с применением методов решения иррациональных уравнений.
Формы организации учебной деятельности:
- индивидуальная;
- взаимопроверка.
- Организационный момент. Постановка цели урока, мотивация.
- Выполнение зачетной работы.
- Защита зачетной работы.
- Подведение итогов.
I. Организационный момент.
III. Подведение итогов.
VI. Домашнее задание.
Подготовиться к контрольной работе. Задания для подготовки к контрольной работе раздаются заранее.
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе. Тема: «Иррациональные уравнения»
Разделы: Математика
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.
Цель урока: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения.
Время проведения: два урока по 40 минут.
Образовательные: сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений.
- развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности;
- развитие операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений;
- развитие у учащихся умения излагать мысли, делать выводы, обобщения;
- развитие познавательного интереса, логического мышления.
- воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач;
- усиление познавательной мотивации осознанием ученика свей значимости в образовательном процессе;
- воспитание у учащихся самостоятельности, умение достойно вести спор, находчивость.
Материал разработан применительно к учебнику “Алгебра и начала анализа, 10-11” под редакцией А.Н. Колмогорова.
I. Актуализация (10 мин.)
- Проверка домашнего задания.
- Повторение пройденного материала.
II. Объяснение нового материала (15 мин.)
- Сообщение темы урока.
- Постановка целей и задач.
- Рассмотреть некоторые способы решения иррациональных уравнений.
III. Закрепление изученного (30 мин.)
IV. Подведение итогов (2 мин.)
V. Домашнее задание (2 мин.)
VI. Самостоятельная работа (20 мин.)
Оборудование:
- графический способ решения;
- нестандартные уравнения;
- самостоятельная работа.
Учитель: Здравствуйте ребята! Садитесь!
– Начнем урок с проверки домашнего задания. (Домашнее задание оформлено на перемене перед уроком, на боковой доске). Рассмотрим решение № 410 (б). (Решить уравнение, 
с помощью подстановки 
).
Отвечающий рассказывает и показывает свое решение, учащиеся внимательно слушают, задают вопросы отвечающему и оценивают его, аргументируя оценку.
– На дом было задано еще дополнительное задание. Поднимите, пожалуйста, руки, кто с этим заданием справился? Внимание на доску.
Отвечающий объясняет, как найти значение следующего выражения: 
Объяснение: чтобы вычислить значение данного выражения избавимся от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством: 
- Представим подкоренные выражения в виде полного квадрата суммы или разности.
- Применим свойство:
- Раскроем модуль, учитывая его определение.
- Вычислим.
Вопросы к отвечающему:
- В данном задании ты использовал(а) свойство корня квадратного из квадрата, а чему равен квадрат корня квадратного?
- Вычислить:
– Спасибо, садись, оценка.
Учитель: Какую тему мы рассматривали с вами на прошлых уроках?
Ответ: “Корень n-ой степени и его свойства”.
будет верным? Сделать карточки и при ответах их прикрепить к доске.
Они должны висеть до конца урока.
II. Объяснение нового материала.
На магнитной доске висят карточки с уравнениями.
Учитель: Прошу вашего внимания на доску. Здесь расположены карточки, на которых записаны уравнения. Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?
– Кто из вас может выйти к доске убрать карточки с уравнениями, которые вы можете решить и назвать их тип?
Вывод: Остались карточки с уравнениями, которые вы еще не умеете решать.
– Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?
Ответ: Неизвестное находится под знаком корня.
– Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.
Итак, тема нашего урока: “Иррациональные уравнения”.
Цель урока: Отработать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотреть некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.
Записываем число и тему урока в тетрадь.
Объясняю алгоритм решения и оформления иррациональных уравнений.
Беру первую карточку с уравнением, прикрепляю к основной доске и решаю его.
Основной метод решения иррациональных уравнений – это метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но при этом мы можем получить неравносильное уравнение, поэтому в конце обязательно нужно сделать проверку.
3. Следовательно, числа –3 и 3 являются решениями данного иррационального уравнения.
Учитель: А как бы вы решали вот такое уравнение 
2. Выходит учащийся к доске и решает второе уравнение этим же способом.
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим х + 2 = х 2 ; х 2 – х – 2 = 0; х1 = -1, х2 = 2.
– Давайте проверим, являются ли полученные значения переменной решениями данного уравнения? Пишем ПРОВЕРКА!
Следовательно, число 2 является решением данного уравнения.
Итак, ребята, мы получили, что только одно значение переменной является решением данного уравнения. Это число 2. Число –1 в данном случае называется посторонним конем.
Вопрос к отвечающему: Скажи, важна ли проверка в иррациональных уравнениях, решаемых таким способом и почему?
Ответ: Да, так как могут появиться посторонние корни.
Учитель: Возможность появления посторонних корней обязывает нас быть очень внимательными при решении иррациональных уравнений.
Мы рассмотрели один из способов решения иррациональных уравнений. Это возведение обеих частей уравнения в квадрат. А если переменная находится под знаком корня 3-ей, 4-ой и т.д. степени. Тогда как быть?
Ответ: Возвести обе части уравнения в 3-ю, 4-ю и т.д. степень.
Учитель: Кто попытается сформулировать общий способ решения иррациональных уравнений?
Выслушать все высказывания и в завершении подвести итог.
Учитель: Значит одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. И не забыть, при этом сделать проверку, отсеяв, возможные посторонние корни.
III. Закрепление нового материала.
Решить следующие уравнения:
1. 
Ответ: нет корней.
2.
 |
Учащиеся первые два уравнения решают у доски, третье уравнение на местах, один ученик проговаривает решение, четвертое уравнение устно, а пятое – для хорошо успевающих детей.
Учитель: На следующем уроке я покажу вам другой способ оформления решения иррациональных уравнений, используя равносильные переходы. А сегодня я бы хотела показать вам еще один способ решения иррациональных уравнений. Это графический способ. Так как этот способ дает нам не точные значения переменной, то его используют реже. Однако встречаются уравнения, которые можно и легче решить именно этим способом. Посмотрите, как это делается. Внимание на экран.
Показываю презентацию (слайды № 1-5)
Решить уравнение 
(рис. 1, 2, 3).
Учитель: Существует ее один способ решения иррациональных уравнений. Этот способ вы рассмотрели самостоятельно, выполняя домашнее задание № 410 (б). Посмотрите еще раз на это уравнение.
– Какое вам нужно было решить уравнение?
– Каким способом вы его решали?
Ответ: Способом замены переменной.
Учитель: Итак, существует несколько способов решения иррациональных уравнений. Мы сегодня рассмотрели только некоторые из них. Давайте, перечислим, какие это способы?
Ответ: Возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня, графический способ, способ замены переменной.
Учитель: Расскажите алгоритм решения уравнений каждого из способов.
Учащиеся очень быстро проговаривают три алгоритма.
Учитель: Молодцы! А теперь прошу внимание на экран.
Высвечиваются уравнения через проектор по одному (презентация, слайд №5)
Учитель: Как решить первое уравнение?
Выслушать все варианты ответов. Если будут затруднения, вспомнить еще раз с учащимися определение арифметического квадратного корня и обратить внимание на доску с карточками, 
, где записаны условия выполнения равенства
Ответ: уравнение не имеет решения.
Высветить второе уравнение. Учащиеся дают свои варианты решения. Учитель их внимательно выслушивает, корректирует, задает наводящие вопросы, если это необходимо. И все вместе делают вывод, что уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Высветить третье уравнение. Все необходимые рассуждения высвечиваются на экран. Решаем это уравнение с помощью области определения уравнения. В итоге получаем систему
которая не имеет решений. Следовательно, и уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
IV. Подведение итогов.
Итак, ребята! Какие уравнения мы сегодня на уроке рассмотрели?
– Дать определение иррациональных уравнений.
– Какая особенность существует при решении иррациональных уравнений?
– Какие способы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?
– Молодцы! Запишите домашнее задание. (На экран высветить слайд № 7).
V. Домашнее задание.
Пока ребята записывают домашнее задание, учитель проговаривает оценки за урок, обосновывая каждую оценку.
Конспект урока «Решение иррациональных уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Урок алгебра 11 класс Михальчук Н.Л. учитель математики НИСЦ РО «Восток» для одаренных детей
Тема: Решение иррациональных уравнений
Цель: обеспечение качества усвоения учащимися образовательного стандарта по теме «Решение иррациональных уравнений».
рассмотреть понятие «иррациональное уравнение»;
рассмотреть основные и дополнительные методы решения иррациональных
уравнений;
способствовать сознательному усвоению учащимися способов решения
иррациональных уравнений.
Организационный момент (2 мин) Приветствие
Вашему вниманию предлагаем урок-лекцию по теме «Решение иррациональных уравнений», предназначенную для изучения учащимися 9-10 классов и для обобщения, дополнительного осмысления и обогащения знаний учащимися 11 классов. Решение иррациональных уравнений, по мнению учащихся и педагогов обычно вызывает затруднения. Обращение к данной теме при подготовке к ЕНТ, поступлению ВУЗы является актуальным и целесообразным. Во время занятия мы рассмотрим не только основные методы решения иррациональных уравнений, но и дополнительные. Прежде, чем рассмотреть способы и приемы решения данных уравнений, обратимся к определению иррационального уравнения.
Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень.
Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака радикала и получить рациональное уравнение.
При решении иррациональных уравнений применяют следующие основные методы: • возведение в степень обеих частей уравнения;
введение новой переменной;
разложение на множители.
Кроме основных методов следует рассмотреть дополнительные методы решения иррациональных уравнений:
умножение на сопряженное;
переход к уравнению с модулем;
метод «пристального взгляда» (метод анализа уравнения);
использование монотонности функции.
Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, используя вышеперечисленные методы, необходимо обратить внимание на вид данного уравнения. Это позволяет определить, есть ли смысл решать уравнение вообще, и если да, то каким способом его можно решить.
К примеру, нет смысла приступать к решению уравнения
арифметического корня не может быть отрицательным числом.
Рассмотрим каждый из основных методов.
а) если иррациональное уравнение содержит только один радикал, то нужно
записать так, чтобы в одной части знака равенства оказался только этот радикал.
Затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось
рациональное уравнение;
б) если в иррациональном уравнении содержится два или более радикала, то
сначала изолируется один из радикалов, затем обе части уравнения возводят в
одну и ту же степень, и повторяют операцию возведения в степень до тех пор,
пока не получится рациональное уравнение.
3) При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается уравнение, не равносильное данному. Поэтому необходимо проверить, удовлетворяют или не удовлетворяют найденные значения переменной данному уравнению. Проверка является составной частью решения иррациональных уравнений, целью которой является исключение посторонних корней уравнения.
В данном случае проверка оказалась довольно простой. Но могут встретиться уравнения, корни которых иррациональны, и проверка приводит к очень сложным вычислениям. В таких случаях лучше решать простейшие иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований по следующей схеме:
http://urok.1sept.ru/articles/103547
http://infourok.ru/konspekt-uroka-reshenie-irracionalnih-uravneniy-753080.html