Задача 23476 при некотором значении k корни.
Условие
при некотором значении k корни квадратного уравнения
kx^2+(k^2-7k-18)x-k-7=0 являются противоположными числами.
найдите значение параметра k и корни уравнения.
Решение
Пусть х1 и х2 — корни уравнения.
По теореме Виета
х1*х2 = — (k^2-7k-18)/k
По условию
х1=-х2
Значит
х1+х2=0
D=(-7)^2-4*(-18)=49+72=121=11^2
k1=-2 или k2=9
При k1= — 2
-x1^2=5/2 — уравнение не имеет корней
При k1= 9
-x1^2=-16/9 — уравнение не имеет корней
х1=4/3 или х1=-4/3
х2=-4/3 или х2= 4/3
При каком числовом значении t один из корней уравнения х2 — 12х + t = 0 является квадратом другого корня?
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,298
- гуманитарные 33,622
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,232
- разное 16,830
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами
Разделы: Математика
Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.
Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.
Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.
В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.
Понятие квадратного трехчлена и его свойства.
Квадратным трехчленом называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a 0 ветви направлены вверх.
Выражение x 2 +px+q называется приведенным квадратным трехчленом.
В зависимости от величины дискриминанта D=b 2 — 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:
при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);
при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);
при D 0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а 2 +bx+c и коэффициентами этого
трехчлена существуют соотношения : x1+x2= -b/a,
Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x 2 +px+q : x1+x2= -p,
Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.
Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.
Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и
достаточно выполнения соотношений: D=b 2 -4ac0; x1•x2=c/a>0.
При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :
а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a 2 -4ac>0.
Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).
Дидактический материал для учащихся.
1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых корни квадратного трехчлена х 2 +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].
2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных положительных корня?
3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?
4. Найдите все значения параметра а , при которых корни уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .
5. Найдите все значения параметра а , при которых один из корней уравнения х 2 -2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?
6. При каких значениях параметра а уравнение 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 имеет хотя бы один корень?
7. При каких значениях параметра а уравнение (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?
8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х 2 -2ах +а=3=0 положительны?
9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х 2 -2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?
10. При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 -2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?
11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-а 2 =0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?
12. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?
13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?
14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х 2 -3ах+2а=0 больше 1/2?
15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х 2 -2ах+а 2 -а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?
16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х 2 -2ах+2(а+1)=0 равна 20?
17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х 2 -2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?
18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х 2 -2ах+6а=0 положительны?
19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х 2 -3ах+4а=0 больше 1?
http://www.soloby.ru/544661/%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%B9-%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%8F%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BC-%D0%B4%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D0%BE
http://urok.1sept.ru/articles/520894