При различных действительных корнях характеристического уравнения свободная составляющая

ДИДАКТИЧЕСКАЯ ЕДИНИЦА № 4

Дисциплина «Теоретические основы электротехники»

Задание 1.При различных действительных корнях характеристического уравнения закон изменения тока i₁ (t) запишется в виде…

Задание 2.Ток i изменяется во времени так…

1) i(t)=U/2R – (U/2R) e -R/L· t

2) i(t)=0 – (U/2R) e -R/L·t

3) i(t)=U/2R + (U/2R) e -R/L·t

*4) i(t)=0 + (U/2R )e -R/L· t

Задание 3.Напряжение на емкости после замыкания ключа равно…

*1) u_c (0₊) = u_c (0_—) = U

Задание 4

*1)

2)

3)

4)

Задание 5

1)

2)

*3)

4)

Задание 6

Задание 7.Если у симметричного четырехполюсника при входном напряжении U₁=200 В напряжение на выходе U₂=50 В, то при перемене местами входных и выходных зажимов входное и выходное напряжения соответственно равны…

Задание 8

1)

*2)

3)

4)

Задание 9

1) u_С(0₊) = u_С(0_–) = U/2

Задание 10

1) *2) 3) 4)

Задание 11

1) 2) *3) 4)

Задание 12

*1)

2)

3)

4)

Задание 13

1) 2) *3) 4)

Задание 14

1) 2) 3) *4)

Задание 15. В операторном методе для перехода от изображений токов и напряжений к оригиналам этих величин (функциям времени) используют…

1) матричные преобразования 3) взятие интегралов для вещественных чисел

2) вычисление производных *4) таблицы соответствия изображений и оригиналов,

Задание 16

*1)

2)

3)

4)

Задание 17

*1) 0.002 c

Задание 18

*1)

2)

3)

4)

Задание 19

1)

2)

*3)

4)

Задание 20

*1) уменьшится в 4 раза

2) уменьшится в 2 раза

3) увеличится в 4 раза

4) увеличится в 2 раза

Задание 21.Законы коммутации записываются выражениями…

1)

2)

3)

*4)

Задание 22

*1) 2) 3) 4)

Задание 23

*1)

2)

3)

4)

Задание 24

1) 2) 3) *4)

Задание 25

*1)

2)

3)

4)

Задание 26

1) 2) 3) *4)

Задание 27

1)

*2)

3)

4)

Задание 28

*1) 0,002 c

Задание 29

1) 2) *3) 4)

Задание 30

1) *2) 3) 4)

ДИДАКТИЧЕСКАЯ ЕДИНИЦА № 5

Дисциплина «Теоретические основы электротехники»

Задание 1. Для сопротивлений холостого хода и короткого замыкания пассивного четырехполюсника справедливо…

Задание 2.Для линейных четырехполюсников токи I₁ и I₂ выражаются через напряжения U₁ и U₂ с помощью уравнений, записанных в …

1) Z – форме 2) H – форме 3) A – форме *4) Y – форме

Задание 3.Еслив длинной линии отсутствует отраженная волна, то линия…

1) нагружена чисто реактивным сопротивлением

2) на конце разомкнута

3) является неискажающей

*4) нагружена волновым сопротивлением

Задание 4.Характеристическими параметрами четырехполюсника являются параметры…

1) Z₁₀ , Z₂₀ 2) Z_1k , Z_2k 3) Z_вх1 , Z_вх2 *4) Z_1с , Z_2c ,

Задание 5

Если для симметричного четырехполюсника А = 0,5 ; В = 10 Ом, то…

*1) С = –0,125 См; D = 0,5 2) С = 0,01 См; D = 0,5 3) С = 0.05 См; D = 1 4) С = –0,01 См; D = 1

Задание 6

Если для токов и напряжений в начале *1) нагружена волновым сопротивлением

и в конце линии выполняется соотношение 2) на конце замкнута накоротко

U₁/U₂ = I₁/I₂, то линия… 3) без искажений, нагрузка любая

4) нагружена чисто реактивным сопротивлением

Задание 7

1) параллельно-последовательным

Задание 8.Режим согласованной нагрузки характеризуется…

*1) максимальной мощностью в нагрузке

2) максимальным напряжением на входе

3) максимальным входным током

4) максимальным коэффициентом полезного действия

Задание 9.Активный четырехполюсник изображен на схеме…

1) 2) 3) *4)

Задание 10.Количество возможных систем параметров, связывающих входные и выходные токи и напряжения четырехполюсника, равно…

1) 3 2) 5 3) 4 *4) 6

Задание 11.Если в середине линии, нагруженной волновым сопротивлением, фаза напряжения отличается от фазы входного напряжения на 60 0 , то фаза напряжения на выходе линии отличается от фазы входного напряжения на…

1) –45 0 *2) 120 0 3) 0 0 4) –90 0

Задание 12

1) 0,02 А/м 2 2) 5000 А/м 2 3) 1 А/м 2 *4) 0,5 А/м 2

Задание 13

1) 100 – j100 Ом

Задание 14. Если в линии без потерь со скоростью света распространяется сигнал с частотой f = 10 МГц, то длина волны в линии равна…

*1) 30 км 2) 300 км 3) 3 км 4) 30 км

Задание 15. Для линейных четырехполюсников уравнения в Н –форме позволяют выразить…

Задание 16

Задание 17

3) j В

Задание 18

*1) 2) 3) 4)

Задание 19.Чтобы записать уравнения симметричного четырехполюсника, связывающие токи и напряжения на его входных и выходных зажимах, необходимо задать ________ параметр(а).

1) 2 *2) 3 3) 4 4) 1

Задание 20

1) 1/R

Задание 21.Если в линии без потерь со скоростью света распространяется периодический сигнал, имеющий длину волны 30 м, то период сигнала равен…

1) 1 мс *2) 0,1 мкс 3) 10 мкс 4) 1 мкс

1) сопротивлениями короткого замыкания

2) сопротивлениями холостого хода

Задание 23

1) а и б

Задание 24

Задание 25.Если поменять местами входные и выходные зажимы пассивного четырехполюсника, то в уравнениях четырехполюсника…

1) изменят знак А и С 3) все А параметры изменят знак

2) ничего не изменится *4) поменяются местами А и D

Переходной процесс в цепи второго порядка

5 ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рисунок 5.1 — Схема цепи

Уравнение цепи имеет вид

(5.1)

Дифференцируя обе части выражения (5.1), получим уравнение второго порядка для тока i в цепи:

(5.2)

Однородное уравнение, определяющее свободный ток, можно записать

(5.3)

Введем обозначения и . Тогда

(5.4)

(5.5)

. (9.34)

Ток переходного режима

(5.6)

Ток установившегося режима можно найти, если известен вид функции .

Произвольные постоянные интегрирования A1 и A2 определяют из начальных физических условий: .

Для определения постоянных A1 и A2 надо знать значение тока и всех его производных до (n – 1) включительно в начальный момент времени. В данном случае необходимо знать начальное значение тока и его первой производной. Начальное значение первой производной тока находится из уравнения цепи (5.1) при (t = 0)

(5.7)

где u(0) – значение приложенного напряжения u(t) при t = 0.

Из последнего уравнения получаем

(5.8)

Из уравнения (5.8) для производной тока имеем

.

Уравнения для нахождения постоянных интегрирования

(5.9)

где – значения тока установившегося режима и его производной в начальный момент времени, известные из найденного ранее частного решения исходного дифференциального уравнения (5.1).

В качестве примера рассмотрим расчет переходного процесса классическим методом для схемы, изображенной на рис. 5.2. Определить ток.

Рисунок 5.2 — Расчетная схема

1. Для цепи после коммутации составляются уравнения по I и II законам Кирхгофа.

2. Определяются независимые начальные условия из расчета схемы до коммутации:

;

.

3. Искомая величина записывается в виде

.

4. Установившуюся составляющую определяют из расчета режима цепи после коммутации (при E = const ток после коммутации есть ток во внешнем контуре).

5. Составляется характеристическое уравнение, и определяются его корни

.

Корни могут быть:

действительные разные p1 и p2; действительные равные p1 = p2 = p; комплексно сопряженные ,

где б – коэффициент затухания;

щсв – угловая частота свободных колебаний.

6. В соответствии с полученными корнями характеристического уравнения записывается свободная составляющая:

1) ;

2) ;

3) , где .

7. Искомое решение для первого случая

.

8. Определяются постоянные интегрирования A1 и A2:

,

.

Уравнения п.1 для момента времени t = 0 запишутся как

.

Независимые начальные условия i(0) и уже определены в п.2. Зависимые начальные условия i1(0), i2(0) и определяются из последней системы уравнений.

Для определения необходимо продифференцировать систему уравнений п.1:

9. После определения постоянных интегрирования A1 и A2 подставляют их в искомое решение и расчет окончен.

Для определения других токов и напряжений не требуется выполнять все этапы расчета. Можно использовать известные выражения

.

В этом случае приложенное напряжение, а также ток установившегося режима равны нулю:

.

Для определения произвольных постоянных интегрирования в уравнении необходимо положить: .

Рисунок 5.3 — Расчетная схема

Обозначим . Тогда

.

(5.10)

Напряжения на катушке и конденсаторе

(5.11)

При выводе последнего уравнения учитывалось, что .

5.1 Корни характеристического уравнения

Характер процессов при разряде конденсатора оказывается различным в зависимости от того, будут ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными, что определяется соотношениями между параметрами R, L и C.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Пусть корни характеристического уравнения вещественны и отличны друг от друга. Это имеет место при условии

.

Так как и и, кроме того, , то при изменении t от 0 до ∞ величины и убывают от 1 до 0 и при том разность всегда положительна (рис. 5.4).

Ток i не меняет своего направления, т. е. конденсатор все время разряжается. Такой односторонний разряд конденсатора называют апериодическим. Кривые изменения напряжений показаны на рис. 5.5.

Переходные процессы в цепи, содержащей R-, L-, и С-элементы

Рассмотрим последовательную цепь, то есть простейшую цепь, содержащую резистивный индуктивный и емкостный элементы (рис. 11.10).

Рассмотрим общий случай входного напряжения u = u(t).

Составим уравнение состояния для этой цепи. Согласно второму закону Кирхгофа имеем:

В данной схеме две независимые переменные – ток индуктивности, который является общим для всей цепи, и напряжение на емкости, поэтому для определения переходных напряжений и тока дифференциальное уравнение можно составлять для любой из этих переменных.

Поскольку через все элементы протекает один и тот же ток, удобнее все напряжения выразить через ток

. (11.2)

В это уравнение ток входит в алгебраической, дифференциальной и интегральной формах. Чтобы свести ток к одной форме, продифференцируем уравнение то времени:

(11.3)

Получили дифференциальное уравнение второго порядка для тока в цепи.

Следует отметить, что порядок уравнения определяется количеством накопителей энергии в цепи. В данном случае имеется два накопителя энергии – индуктивность и емкость, следовательно, получаем дифференциальное уравнение второго порядка.

Решение этого уравнения ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих.

Принужденная составляющая определяется в установившемся режиме при t = ∞ и либо равна нулю при постоянном напряжении, либо определяется по закону Ома при переменном напряжении.

Для определения свободной составляющей составляем характеристическое уравнение. Рассмотрим два способа.

1. В уравнении (11.3) приравниваем нулю источники и заменяем символ дифференцирования , получим

Запишем это уравнение в приведенном виде:

.

2. Запишем уравнение для комплексного сопротивления цепи и приравняем его нулю

.

Сделаем замену , получим

.

Приведем это выражение к общему знаменателю

.

Запишем приведенное уравнение

.

Получили такое же уравнение, как и в первом случае.

Найдем корни характеристического уравнения

.

Проанализируем это выражение. При расчете корней характеристического уравнения возможны три случая.

1. Корни действительные, различные

Если дискриминант больше нуля, а это возможно в том случае, если

или ,

то корни будут действительными и различными по величине р₁ ≠ р₂. В этом случае решение дифференциального уравнения для свободной составляющей ищем в виде

.

Переходной процесс при этом будет апериодическим. График переходного процесса показан кривой 1 на рис. 11.11.

2. Корни действительные, равные

Действительные и равные по величине корни р₁ = р₂ = р будут в том случае, если дискриминант равен нулю, то есть, если

или .

В этом случае решение для свободной составляющей тока ищем в виде

.

Переходной процесс также будет апериодическим, но это предельный или критический режим (кривая 2 на рис. 11.11).

3. Корни комплексно-сопряженные

Такой режим будет в том случае, если дискриминант отрицательный, то есть

или .

Корни характеристического уравнения

.

В этом случае переходной процесс будет затухающим колебательным, то есть ток будет изменяться относительно принужденной составляющей по синусоидальному закону с затухающей амплитудой (кривая 3 на рис. 3.11). Решение для свободной составляющей ищем в виде

.

В этом выражении ввели следующие обозначения:

– коэффициент затухания;

– частота свободных колебаний.

Скорость затухания тока характеризуется декрементом колебаний, равным отношению двух последующих амплитуд

,

где Т = – период затухающих колебаний.

Чаще пользуются логарифмическим декрементом колебаний

.

При любом характере корней свободная составляющая содержит две постоянных интегрирования, то есть две неизвестных величины, для определения которых необходимо составить два уравнения.

Для определения постоянных интегрирования необходимо знать значение тока и всех его производных в начальный момент времени.

Выражения для полного тока и его производной имеют вид:

;

.

Запишем исходное уравнение (11.2) при t = 0

.

Напряжение источника и(0), как правило, известно; i(0) и и_С(0) – независимые начальные условия, определяемые по состоянию цепи до коммутации и законам коммутации.

Из этого выражения можно найти

.

При t = 0 имеем:

.

Решая эти уравнения относительно А₁ и А₂, находим постоянные интегрирования.

Рассмотрим частные случаи переходных процессов в R-, L-, C-цепи.