При решении логарифмических уравнений используют методы логарифмирования

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)

Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для \(x\) в явном виде;
2) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения \(f(x)\) и \(g(x)\) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для \(f(x)\) и \(g(x)\), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin 2x+3\gt 0\\ x+4\gt 0\\ 1-2x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt-\frac32\\ x\gt-4\\ x\lt\frac12 \end \Rightarrow -\frac32\lt x\lt\frac12\Rightarrow x\in\left(-\frac32;\frac12\right) \)
Решаем уравнение:
\(\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)\)
\((2x+3)(x+4)=1-2x\)
\(2x^2+11x+12-1+2x=0\)
\(2x^2+13x+11=0\)
\((2x+11)(x+1)=0\)
\( \left[ \begin x_1=-5,5\\ x_2=-1 \end \right. \)
Корень \(x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),\) т.е. не подходит.
Корень \(x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)\) — искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида \(\log_ f(x)=\log_ g(x)\)

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение \(\log_(x^2-4)=\log_(2-x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin x^2-4\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x+5\gt 0\\ x+5\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt -2\cup x\gt 2\\ x\lt 2\\ x\gt -5\\ x\ne -4 \end \Rightarrow \begin -5\lt x\lt -2\\ x\ne -4 \end \Rightarrow x\in (-5;-4)\cup(-4;-2) \)
Решаем уравнение:
\(x^2-4=2-x\)
\(x^2+x-6=0\)
\((x+3)(x-2)=0\)
\( \left[ \begin x_1=-3\\ x_2=2 — \ \text <не подходит>\end \right. \)
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение \(\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)\)
Основания \(2\ne 4\), и нельзя сразу написать \(x+1=x+3\).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
\(\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2\)
Тогда исходное уравнение примет вид: \(\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)\)
И теперь: \((x+1)^2=x+3\)
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\( \left[ \begin x_1=-2\\ x_2=1 \end \right. \)
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
\( \begin x+1\gt 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\gt -1 \)
Корень \(x_1=-2\lt -1\) — не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) \( \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 \)
ОДЗ: \( \begin x+1\gt 0\\ x-1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow x\gt 1 \)
\(\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22\)
\(x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3\)
\( \left[ \begin x_1=-\sqrt<3>\lt 2 — \text<не подходит>\\ x_2=\sqrt <3>\end \right. \)
Ответ: \(\sqrt<3>\)

б) \( 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) \)
ОДЗ: \( \begin x-1\gt 0\\ 1,5x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt-\frac23 \end \Rightarrow x\gt 1 \)
Преобразуем: \(2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2\)
Получаем: \(\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)\)
\((x-1)^2=1,5x+1\)
\(x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0\)
\( \left[ \begin x_1=0\lt 1 — \text<не подходит>\\ x_2=3,5 \end \right. \)
Ответ: 3,5

в) \( \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 \)
ОДЗ: \( \begin 3-x\gt 0\\ 4-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 3\\ x\lt 4 \end \Rightarrow x\lt 3 \)
Преобразуем: \(1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12\)
Получаем: \(\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12\)
\((3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0\)
\( \left[ \begin x_1=0\\ x_2=7\gt 3 — \text <не подходит>\end \right. \)
Ответ: 0

г) \( \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
\(\log_2x^2=2\log_2x\)
Получаем: \(\log_2^2x+2\log_2x+1=0\)
Замена: \(t=\log_2 x\)
\(t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(\log_2x=-1\)
\(x=2^<-1>=\frac12\)
Ответ: \(\frac12\)

д) \( x^<\lg x>=10 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg ⁡x\). Тогда \(x=10^t\)
Подставляем:
\((10^t)^t=10\Rightarrow 10^=10^1\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin \lg x=-1\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-1>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,1\\ x_2=10 \end \right. \)
Оба корня подходят.
Ответ:

e) \( \sqrt\cdot \log_5(x+3)=0 \)
ОДЗ: \( \begin x\geq 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\geq 0\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\geq 0 \)
\( \left[ \begin \sqrt=0\\ \log_5(x+3)=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x+3=5^0=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. \)
Ответ: 0

ж) \( \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ x+1\gt 0\\ 5x-2\gt 0\\ 5x-2\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\gt -1\\ x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \)
Преобразуем: \(\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)\)
Подставляем: \(\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)\)
\( 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin x_1=-\frac12 — \text<не подходит>\\ x_2=1 \end \right. \)
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) \( \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 \)
ОДЗ: \( \begin 2x-1\gt 0\\ \log_3(2x-1)\gt 0\\ \log_2\log_3(2x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ 2x-1\gt 3^0\\ \log_3(2x-1)\gt 2^0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ 2x-1\gt 3^1 \end \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ x\gt 2 \end \Rightarrow x\gt 2 \)
Решаем:
\(\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2\)
\(\log_3(2x-1)=2^2=4\)
\(2x-1=3^4=81\)
\(2x=82\)
\(x=41\)
Ответ: 41

б) \( \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> \)
ОДЗ: \( \begin 9-2x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2^x\lt 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\lt\log_2 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow x\lt 3 \)
Преобразуем: \(25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x\)
Подставляем: \(\log_2(9-2^x)=3-x\)
\(9-2^x=2^<3-x>\)
\(9-2^x-\frac<8><2^x>=0\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\)
\( 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>=0\Rightarrow \begin t^2-9t+8\gt 0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \begin (t-1)(t-8)=0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=8 \end \right. \)
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin 2^x=1\\ 2^x=8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2^x=2^0\\ 2^x=2^3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=3 \end \right. \)
По ОДЗ \(x\lt 3\), второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) \( \lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>+1=\lg 30 \)
ОДЗ: \( \begin x-5\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 5\\ x\gt\frac32 \end \Rightarrow x\gt 5 \)
Преобразуем: \(\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3\)
Подставляем: \(\lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>=\lg 3\)
\(\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2\)
\(\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3\)
\(\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2\)
\((x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0\)
\( (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin x_1=\frac12\lt 5 — \ \text<не подходит>\\ x_2=6 \end \right. \)
Ответ: 6

г) \( \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ \lg x\ne 0\\ \lg 10x\ne 0\\ \lg 100x\ne 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne 1\\ 10x\ne 1\\ 100x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne\left\<\frac<1><100>;\frac<1><10>;1\right\> \end \)
Преобразуем: \(\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10\)
\(\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x\)
Подставляем: \(\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\begin \frac1t+\frac<1><1+t>+\frac<3><2+t>=0\Rightarrow \frac1t+\frac<1><1+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow \frac<1+t+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2\Rightarrow 5t^2+8t+2=0\\ D=8^2-4\cdot 5\cdot 2=24,\ \ t=\frac<-8\pm 2\sqrt<6>><10>=\frac<-4\pm \sqrt<6>> <5>\end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ \lg x=\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ x=10\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: \(\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>\)

e) \( x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>\)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x.\) Тогда \(x=10^t\)
Подставляем: \begin (10^t)^<\frac<4>>=10^\\ \frac<4>=t+1\Rightarrow t(t+7)=4(t+1)\Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\\ t^2+3t-4=0\Rightarrow (t+4)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-4\\ t_2=1 \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=-4\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-4>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,0001\\ x_2=10 \end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: \(\left\<0,0001;\ 10\right\>\)

ж) \( 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>\)
ОДЗ: \( \begin 1-x\gt 0\\ 2x^2+2x+5\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ D\lt 0,\ x\in\mathbb \end \Rightarrow x\lt 1 \)
По условию: \begin \log_3(1-x)=\log_4\left((2x^2+2x+5)^<\log_32>\right)\\ \log_3(1-x)=\log_32\cdot\log_4(2x^2+2x+5) \end Перейдем к другому основанию: $$ \frac<\lg(1-x)><\lg 3>=\frac<\lg 2><\lg 3>\cdot\frac<\lg(2x^2+2x+5)><\lg 4>\ |\cdot\ \lg 3 $$ \(\frac<\lg 2><\lg 4>=\frac<\lg 2><\lg 2^2>=\frac<\lg 2><2\lg 2>=\frac12\) \begin \lg(1-x)=\frac12\cdot\lg(2x^2+2x+5)\ |\cdot 2\\ 2\lg(1-x)=\lg(2x^2+2x+5)\\ \lg(1-x)^2=\lg(2x^2+2x+5)\\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\\ x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x=-2 \end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) \( \begin \lg x+\lg y=\lg 2\\ x^2+y^2=5 \end \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ y\gt 0 \end \)
Из первого уравнения: \(\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2\)
Получаем: \( \begin xy=2\\ x^2+y^2=5 \end \Rightarrow \begin y=\frac2x\\ x^2+\left(\frac2x\right)^2-5=0 \end \)
Решаем биквадратное уравнение: \begin x^2+\frac<4>-5=0\Rightarrow\frac=0\Rightarrow \begin x^4-5x^2+4=0\\ x\ne 0 \end \\ (x^2-4)(x^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x^2=4\\ x^2=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm 2\\ x=\pm 1 \end \right. \end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin \begin x=1\\ y=\frac2x=2 \end \\ \begin x=2\\ y=\frac22=1 \end \end \right. \)
Ответ: \(\left\<(1;2),(2,1)\right\>\)

б) \( \begin x^=27\\ x^<2y-5>=\frac13 \end \)
ОДЗ: \(x\gt 0,\ x\ne 1\)
Логарифмируем: \( \begin y+1=\log_x27=\log_x3^3=3\log_x3\\ 2y-5=\log_x\frac13=\log_x3^<-1>=-\log_x3 \end \)
Замена: \(z=\log_x3\) \begin \begin y+1=3z\\ 2y-5=-z\ |\cdot 3 \end \Rightarrow \begin y+1=3z\\ 6y-15=-3z \end \Rightarrow \begin 7y-14=0\\ z=5-2y \end \Rightarrow \begin y=2\\ z=1 \end \end Возвращаемся к исходной переменной: $$ \begin y=2\\ \log_x3=1 \end \Rightarrow \begin x^1=3\\ y=2 \end \Rightarrow \begin x=3\\ y=2 \end $$
Ответ: (3;2)

в*) \( \begin 3(\log_y x-\log_x y)=8\\ xy=16 \end \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0,\ x\ne 1\\ y\gt 0,\ y\ne 1 \end \)
Сделаем замену \(t=\log_x y\). Тогда \(\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t\)
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin 3\left(\frac1t-t\right)=8\Rightarrow\frac<1-t^2>=\frac83\Rightarrow \begin 3(1-t^2)=8t\\ t\ne 0 \end\\ 3t^2+8t-3=0\Rightarrow (3t-1)(t+3)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac13\\ t_2=-3 \end \right. \end Прологарифмируем второе уравнение по \(x\): $$ \log_x(xy)=\log_x16\Rightarrow 1+\log_x y=\log_x16\Rightarrow 1+t=\log_x 16 $$ Получаем: \begin \left[ \begin \begin t=\frac13\\ \log_x16=1+t=\frac43 \end \\ \begin t=-3\\ \log_x16=1+t=-2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x^<\frac43>=16 \end \\ \begin t=-3\\ x^<-2>=16 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x=(2^4)^<\frac34>=2^3=8 \end \\ \begin t=-3\\ x=(16)^<-\frac12>=\frac14 \end \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin \begin x=8\\ \log_x y=\frac13 \end \\ \begin x=\frac14\\ \log_x y=-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x=8\\ y=8^<\frac13>=2 \end \\ \begin x=\frac14\\ y=\left(\frac14\right)^<-3>=64 \end \end \right. \end
Ответ: \(\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>\)

г*) \( \begin (x+y)\cdot 3^=\frac<5><27>\\ 3\log_5(x+y)=x-y \end \)
ОДЗ: \(x+y\gt 0\)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin \log_3\left((x+y)\cdot 3^\right)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)+(y-x)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>=x-y \end Получаем:\(x-y=3\log_5(x+y)=\log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>\)
Решим последнее уравнение относительно \(t=x+y\) \begin 3\log_5 t=\log_3 t-\log_3\frac<5><27>\\ 3\cdot\frac<\log_3t><\log_35>-\log_3t=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t\cdot\left(\frac<3><\log_35>-1\right)=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t=-\frac<\log_3\frac<5><27>><\frac<3><\log_35>-1>=-\frac<(\log_35-3)\log_35><3-\log_35>=\log_35\\ t=5 \end Тогда: \(x-y=3\log_5t=3\log_55=3\)
Получаем систему линейных уравнений: \begin \begin x+y=5\\ x-y=3 \end \Rightarrow \begin 2x=5+3\\ 2y=5-3 \end \Rightarrow \begin x=4\\ y=1 \end \end Требование ОДЗ \(x+y=4+1\gt 0\) выполняется.
Ответ: (4;1)

Методическая разработка «Методы решение логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Методы решения логарифмических уравнений.docx

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них

И это решение состоит из двух равноценных частей:

1) нахождение области допустимых значений (ОДЗ),

2) решение самого уравнения.

Эти части решаются независимо друг от друга. Главное — в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить.

ОДЗ — это те значения х , которые разрешены для исходного примера . А как искать ОДЗ? Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия . Таких запретных действий в математике очень мало. ( Нельзя делить на ноль, в корнях чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным, выражение стоящее под логарифмом должно быть неотрицательным и основание логарифма а >0 и а ≠1.)

П ростейшие логарифмические уравнения

Умение решать простейшие логарифмические уравнения — это очень важно. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим! Собственно, простейшие уравнения — это финишная часть решения любых уравнений.

Уравнения вида log _а f(х) = log _а g(х)

Простейшее уравнение log _а f(х) = log _а g(х) решается методом потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
log _а f(х) = log _а g(х) f(х) = g(х) , при f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1. т.е. если равны логарифмы по одному и тому же основанию, то и равны логарифмируемые выражения. В виде равносильного перехода:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве

-В уравнении log ₃ х = 2log ₃ (3х-1) убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет . Коэффициент.

— В примере log ₃ х+log ₃ (х+1) = log ₃ (3+х) тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два .

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так: log _а (. ) = log _а (. )

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: способ 1 . В область допустимых значений (ОДЗ) входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Видим логарифмы по одному и тому же основанию равны, значит, равны и логарифмируемые выражения .

В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: 7. ОДЗ можно было не решать, а просто записать. В конце каждый корень подставить в ОДЗ. Если с каждым неравенством ОДЗ получится верное числовое неравенство, то он идет в Решение: способ 2 . Если это уравнение решим путем равносильных переходов , то ОДЗ нашли бы без всяких квадратных неравенств и пересечений. Итак

Уравнение х 2 — 5х – 14 = 0 имеет корни х ₁ = 7, х ₂ = -2. В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.

Пример 2 . Решите уравнение

Решение. Решим методом равносильных переходов . Тогда уравнение равносильно системе

Корни уравнения -2 и 5. Только -2 ϵ ОДЗ . Ответ: -2

Итак уравнения такого вида решили 2-мя способами: 1) отдельно найдя ОДЗ и отдельно решив само уравнение; 2) используя равносильные переходы. Какой способ вам по душе?

Уравнение log _a f ( x ) = b — п ростейшее логарифмическое уравнение, где а и b — числа; а >0, a ≠1. Переменная х присутствует только внутри аргумента.

1 ) Применение определения логарифма

Решение уравнений применением определения логарифма

Решение уравнения
основано на применении определения логарифма и в решении равносильного уравнения

Для уравнений log _a f ( x ) = b записывать область определения не нужно ( f ( x ) >0 ) , потому что она будет выполняться автоматически . Так как в какую бы степень мы бы не возводили положительное число а , на выходе мы все равно получим положительное число, т.е. если а > 0, то a b > 0 всегда => f ( x ) = a b > 0.

Пример 1 . Решите уравнение log ₅ ( x – 2) = 1

Решение: Переменная х встречается лишь в одном log и стоит в его аргументе, значит находить ОДЗ не надо. log ₅ ( x – 2) = 1  x – 2 = 5 1  x – 2 = 5  x = 7. Ответ: 7.

Пример 2 . Решите уравнение

Решение: Три раза выполним переход: log _a f ( x ) = b f ( x ) = a b

2). Решение простейшего логарифмического уравнения log _a f ( x ) = b представлением числа в виде логарифма b = log _a a b (методом потенцирования).

Пример 3 . Решите уравнение:

Решение: Это простейшее логарифмическое уравнение, поэтому нет необходимости найти ОДЗ, потому что 3х – 1>0 будет выполняться автоматически. Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – число . Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию 0,5 а затем просто сбросить логарифмы. Так как −3 = −3*1 = -3* log _0,5 0,5= log _0,5 0,5 −3 тогда уравнение примет вид: log _0,5 (3 x − 1) = log _0,5 0,5 −3

Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.

Заметим что 0,5 -3 = (1/2) −3 = (2 -1 ) -3 = 2 3 = 8 и получим

Пример 4 . Решите уравнение

Решение: Это простое логарифмическое уравнение, поэтому можно не найти ОДЗ. Первый шаг- дробь справа представим в виде логарифма. Получим:

Учитывая, что 16 1/4 = (2 4 ) 1/4 = 2

избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение: где надо будет учесть ОДЗ.

, решим равносильным переходом к системе:

Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Ответ: 9 .

Уравнения, решаемые применением свойств логарифмов

Схема решения не простых логарифмических уравнений

1. Привести уравнение с помощью свойств логарифмов к виду:

2. Решить равносильное уравнение

f ( x ) = a b или f ( x ) = g ( x ) по их алгоритму .

Пример 1. Решите уравнение

Если lg ( x – 1) переведем в правую часть уравнения, то получим уравнение вида log _а f(х) = log _а g(х).

Если неравенства неудобные, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы

Пример 2 . Решите уравнение

Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то, прежде всего, следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода , и

Пример 3 . Решите уравнение

Решение. ОДЗ: х > 0. Сразу видно, что у логарифмов основания разные. Используя формулу придем к одинаковому основанию

Уравнения, решаемые введением новой переменной

Если, в уравнение неоднократно, встречается некоторое определенное выражение, то оно решается введением новой переменной

Пример 1 . Решите уравнение

ОДЗ: x > 0. Введем новую переменную тогда получим квадратное уравнение:

Пример 2 . Решите уравнение

Оба корня удовлетворяют ОДЗ нашего уравнения.

Пример 3. Решите уравнение 4 log ₂₅ 5x + log 2 ₅ x – 5 = 0; ОДЗ: x > 0.

Тут 2 основания, выполним переход к основанию 5, используя формулу

2(log ₅ 5 + log ₅ x) + log 2 ₅ x – 5 = 0.

2(1 + log ₅ x) + log 2 ₅ x – 5 = 0.

Пусть log ₅ x = t, тогда 2(1 + t) + t 2 – 5 = 0;

t = – 3 или t = 1; Обратно переходим на обозначение log ₅ x = t:

x = 1/125. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ:

Пример 4. Решите уравнение Решение: Область допустимых значений:

Решать систему необходимости нет. Пусть log ₂ (5x – 1) = t, тогда

Уравнения, содержащие неизвестное и в основании и в аргументе.

Уравнение log _{f ( x )} g ( x ) = b похож е простейшему у равнению log _a f ( x ) = b Сходство: в обеих уравнениях в левой части log , в правой число b . Отличие в том, что в первой переменная х присутствует не только внутри аргумента, но и в основании логарифма .

Но мы должны учесть определенные требования. 1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0: 2) осн о вание должно быть не только больше 0, но и отлично от 1

1 ) Применение определения логарифма

2 )Представление числа в виде логарифма

По определению логарифма х 2 – 5х + 10 = (х — 1) 2 х 2 – 5х + 10 = :х 2 – 2х + 1, -3х = -9 х = 3

Проверим принадлежность х = 3 ОДЗ: 3 2 – 5*3 + 10 > 0 верно, 3 – 1 > 0 верно 3 – 1 ≠ 1 верно

Пример 2 . Решите уравнение log _х+1 (2 x 2 +1)=2 Решение: Решим методом равносильных переходов. Заменяем 2 на так как 2=2*1=2* log _{х + 1} (х+1)= log _{х + 1} (х+1) 2 тогда получим: log _х+1 (2x 2 +1)= log _х+1 (x+1) 2

Наше уравнение содержит неизвестное и в основании и в аргументе. Поэтому 1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0. 2) основание должно быть не только больше 0, но и ≠ 1 . В итоге получим систему:

Решим уравнение 2х 2 +1=(х+1) 2 , 2х 2 + 1 = х 2 + 2х + 1 х 2 — 2x = 0  x ( x — 2) = 0  x=2 или x=0. х=0 не соответствует системе. Ответ: 2.

Способ 2. ОДЗ: по определению логарифма получим : 2х 2 +1 = (х+1) 2 , 2х 2 +1 = х 2 + 2х + 1, х 2 – 2х = 0  x ( x – 2) = 0  x = 0, x = 2. Корень х = 0 не удовлетворяет третьему неравенству ОДЗ.

Показательно – логарифмические уравнения

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 1. Решить уравнение : х 1 – lgx = 0.01. Решение: ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, получим уравнение:

Положив t = lg x , придем к уравнению t 2 – t – 2 = 0 , откуда t ₁ = -1, t ₂ = 2. Таким образом, задача свелась к решению следующей совокупности уравнений:

Оба найденных значения входят в ОДЗ. Ответ: 0,1; 100

Пример 2 . Решить уравнение 3 2log 4 x +2 =16 x 2 .

Решение . Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Функционально – графический метод .

В одной и той же системе координат строим графики функции у= log ₂ x и у = 3 – x

Ответ: 2.

Обычно графически метод применяется, если трудно найти других методов. Графически метод менее точный . Целесообразно его использовать, если стоит вопрос «Сколько корней имеет уравнение».

Метод использования монотонности функции

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функции y = f ( x ) возрастает, а другая y = g ( x ) убывает на промежутке Х, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

Пример 1. Решить уравнение: l og ₃ x = 4- x Решение: ОДЗ х > 0. Так как функция у= log ₃ х возрастающая, а функция у = 4-х убывающая на (0; + ∞ ), то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Подбором определяем х = 3. Ответ: 3 .

Пример 2 . Решите уравнение : log ₃ ( x + 1) + log ₄ (5 x + 6) = 3. ОДЗ: х > -1

Решение: у = log ₃ ( x + 1) – возрастающая функция, y = log ₃ ( x + 1) – тоже возрастающая. Сумма двух возрастающих функции дает возрастающую функцию. В правой части постоянная функция у = 3. Значит уравнение имеет не более одного корня. Подбором определяем х = 2. Ответ: 2.