При решении показательного уравнения получили ответ х 0

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Показательные уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида = b. Пусть основание а>0 и отлично от 1. Так как функция у = строго монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение = b при b>0 имеет одно решение, которое по определению логарифма равно log0 b. Если 0, то уравнение = b корней не имеет, так как всегда больше нуля. Если число b записано в виде ас, т. е. если уравнение представлено в виде = ас, то оно имеет один корень х = с.

Сформулируем общий результат о решении простейшего показательного уравнения (схема XI).

Теорема:

Пусть а > 0 и а ≠ 1. Уравнение равносильно уравнению f (x) = g (х).

Доказательство:

Докажем, что если то f(x) = g(x). Действительно, так как показательная функция строго монотонна, то из равенства ее значений ac = ad следует равенство показателей c = d. Обратно: если f(x) = g(x), то .

Примеры:

Простейшее логарифмическое уравнение — это уравнение вида logax=b. Оно имеет единственное решение х — а при любом b.

Сформулируем общий результат о решении простейшего логарифмического уравнения (схема XI).

Теорема:

Уравнение ioga f (х) = loga g (х) равносильно уравнению f(x)=g(x) при ограничениях f (х)> 0, g(x)>0.

Доказательство:

Пусть х — решение уравнения

Тогда определены логарифмы чисел f (х) и g (х), т. е. эти числа должны быть больше нуля. Потенцируя равенство получаем равенство f(x) = g (x). Обратно, пусть х — решение уравнения f (х) = g (х), причем g(x)>0 и f (х)> 0. Тогда равенство f.

Примеры:

Мы решили уравнение х— 1 = 5 — х, а затем проверили, удовлетворяет ли решение условиям х— 1 >0 и 5 — х>0. Заметим, что если f (x) = g (х) и f (х)>0, то тогда и g (x)>0, т. е. из двух неравенств достаточно проверить только одно.

Показательные уравнения справочные сведения

Показательная функция где определена на , а множество ее значений — множество всех положительных чисел.

2.Для любых и при любых значениях и ну верны равенства (основные свойства степени):

3. Простейшее показательное уравнение

не имеет корней при и имеет единственный корень при

В частности, уравнение имеет единственный корень

4.Уравнение

5.Уравнение

равносильно каждому из уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно каждому из уравнений откуда

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Это уравнение равносильно каждому из уравнений:

откуда находим

Ответ.

Пример:

Решение:

Пусть тогда уравнение примет вид

Это уравнение равносильно каждому из уравнений: откуда

Ответ.

Пример:

Решение:

Полагая получаем уравнение или откуда находим

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений Первое из них не имеет корней, второе имеет единственный корень

Ответ.

Пример:

Решение:

Запишем данное уравнение в виде

и заметим, что левая часть уравнения (2) — однородный многочлен степени от и где (сумма степеней и в каждом члене этого многочлена равна двум).

Разделив обе части уравнения (2) на и полагая получим уравнение имеющее корни Исходное уравнение (1) равносильно совокупности уравнений откуда находим

Ответ.

Пример:

Решение:

Воспользуемся равенством и положим Тогда уравнение примет вид или откуда Исходное уравнение равносильно совокупности уравнении

откуда

Ответ,

Пример:

Решение:

Число 2 является корнем этого уравнения. Докажем, что уравнение не имеет других корней. Так как каждая из функций является возрастающей, то и — также возрастающая функция. Поэтому при и при т. е. функция не принимает значение, равное 25, при Это означает, что — единственный корень уравнения.

Показательные неравенства

Простейшее показательное неравенство — это неравенство вида >b или 1 и b >0. Решением неравенства ≥ b является промежуток , т. е. все числа (схема XI).

Пусть а>1 и b ≤ 0. Решением неравенства ≥ b является множество всех вещественных чисел R.

Можно сказать, что неравенство типа >b мы решаем логарифмированием. При логарифмировании неравенств надо помнить два правила: 1) в обеих частях неравенства должны стоять положительные числа; 2) при логарифмировании по основанию а>1 знак неравенства сохраняется, если же 0 может стоять ≤ , ≥ . Аналогично показательному неравенству здесь также возможно много вариантов (схема XI). Логарифмическое неравенство решают потенцированием. При этом надо помнить два правила: 1) при переходе от выражения loga f (х) к выражению f (х) надо добавлять условие f (х)>0; 2) если а>1, то при потенцировании знак неравенства сохраняется; если же 0

4. Сначала учтем условия x 2 — 1>0 и x + 5>0. Решение этой системы неравенств изображено на рисунке 110. Затем потенцируем: x 2 — 1 ≤ x+5 ⇔ x 2 — х — 6 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3. Соединяя решения вместе, получим ответ: -2 ≤ х Введение новой неизвестной

Основной прием, с помощью которого решают показательные и логарифмические уравнения и неравенства,— это введение новой неизвестной. Поясним этот прием на ряде примеров.

1) Выражение показательных функций друг через друга.

Рассмотрим выражения . Все они могут быть алгебраически выражены друг через друга. Например, и т. д. Алгебраическая связь между различными степенями может быть осложнена добавлением в показателе степени постоянных слагаемых: Однако и сейчас несложно выразить эти выражения, например, через у1. Получим

К этому полезно напомнить связь между различными основаниями. Например, и т. п. Поэтому выражения

также нетрудно выразить через у1:

Если в уравнении или неравенстве встречается несколько показательных функций, то надо все их выразить через одну. Обычно после этого показательное уравнение или неравенство превращается в алгебраическое.

Делаем замену =у. Неравенство перепишем таким образом:

(мы умножили неравенство на у, что можно, так как

Так как > — 1 верно при всех х, то остается решить неравенство

Используя модуль перехода, легко связать эти выражения между собой:

Свойства логарифмов позволяют по-разному записать связи между выражениями. Например,

Если в уравнении или неравенстве встречается несколько логарифмических функций, то надо (если не удается избавиться от логарифмов потенцированием) выразить их через одну и свести логарифмическое уравнение или неравенство к алгебраическому.

Делаем замену lg х = у. Получаем уравнение относительно у:

Возвращаясь к неизвестной х, получим lg х = 2, х=100; lgx = 3, х= 1000.

Перейдем к основанию 3. Получим

заменив log3x на у, получим

Возвpащаясь к неизвестной х, получим log3x = 2, x = 9; log3x =—2,

Ответ:

Логарифмируя, получим равносильное данному неравенство (lg x —2) 1g x ≤ 3.

Положим lg х = у. Получим неравенство (у — 2)y ≤ З ⇔

Возвращаясь к неизвестной х, получим — l ≤ lg x ≤ 3 ⇔ x 1000

Ответ: ≤ x ≤ 1000, или в другой записи [ ; 1 ООО].

Использование свойства монотонности функций при решении показательных уравнений

Монотонность функций часто позволяет определить число корней уравнения, а иногда и найти их значения. Рассмотрим примеры решения уравнений.

В левой части уравнения имеем возрастающую функцию, а в правой — убывающую. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня (рис. 111). Один корень можно угадать: х=1. Это число и является окончательным ответом.

Одно решение х=1 легко найти подбором. Докажем, что других корней нет. Перепишем уравнение так:

В правой части последнего уравнения сумма убывающих функций т. е. значение у = 1 эта сумма может принять только один раз.

3. Сколько корней имеет уравнение = ах?

Изобразим схематически графики функций у = и у = ах (рис. 112). При а 0 графики могут не пересекаться, касаться друг друга или пересекаться в двух точках. Граничным значением параметра а, при котором происходит разделение основных случаев — две точки пересечения или ни одной, является значение а, при котором прямая у = ах является касательной к графику функции у = некоторой точке. Найдем это значение а. Пусть касание произошло в точке хо, тогда производная функция у = в этой точке равна а. Поэтому получаем уравнение = а, т. е. x0 = ln а. Точка с абсциссой х0 = ln а должна лежать как на графике функции у=, так и на прямой у = ах. Получаем ° = ах, т. е. а = а ln а, так как а ≠ 0, то ln а= 1 и а = е.

Ответ: при 0 ≤ а е два корня, при а = е один корень, при корней нет.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Показательные уравнения и примеры решения

Определение. Уравнение называется показательным, если неизвестная входит в показатель степени.

Рассмотрим простейшие приемы решения показательных уравнений на отдельных примерах.

1. Решить уравнение

Представим левую и правую части уравнения в виде степеней, имеющих одинаковые основания:

Отсюда 3х = 2, или .

Мы здесь воспользовались следующей теоремой:

Если степени равны и основания равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней.

Докажем эту теорему.

Пусть а > 1 и . Докажем, что в этом случае

Допустим противное тому, что требуется доказать, т. е. допустим, что х > у или что х

3. Решить уравнение

Преобразуя левую часть уравнения, получим:

Значит, данное показательное уравнение имеет два корня:

4. Решить уравнение

Примем за новую неизвестную выражение и обозначим это выражение буквой у. Тогда получим:

либо , либо

Из уравнения имеем х = 4.
Из уравнения имеем х = —2.

Итак, данное показательное уравнение имеет два корня: 4 и — 2.

5. Решить уравнение

Снова, обозначая и решая полученное квадратное уравнение, находим:

Таким образом, получим:

Как было указано при исследовании показательной функции, степень ни при каком х не может быть отрицательной, следовательно, первое из полученных уравнений не имеет корней. Из второго уравнения находим х = 0. Значит, первоначальное уравнение имеет лишь один корень, равный нулю.

6. Решить уравнение

Для решения этого уравнения применим графический метод. Построим на одной координатной плоскости (рис. 148) графики функций:

Тогда абсциссы точек пересечения этих линий, т. е. абсциссы точек А и В, будут корнями данного уравнения. Абсцисса точки В, равная числу 2, будет точным корнем данного уравнения, а абсцисса точки А, равная приближенно —1,7, будет его приближенным корнем. Других корней данное уравнение не имеет.

Сведения, изложенные в этой главе, окажутся полезными при изучении логарифмов, которым посвящена следующая глава.

Примем к сведению без доказательства еще следующую теорему:

Если а есть положительной число, отличное от единицы, а N — любое положительное число, то уравнение с неизвестным х имеет один и только один действительный корень (рациональный или иррациональный).

Примеры. Уравнение имеет единственный действительный корень, равный рациональному числу 5.

Уравнение имеет единственный действительный иррациональный корень, приближенное значение которого с точностью до 0,00001 равно 0,47712.

Итак, мы можем сделать следующие заключения:

1. Выражение , где а>0, имеет при каждом действительном значении х одно и только одно действительное значение.
2. Действия над выражениями вида , в которых х является любым действительным числом, можно выполнять по тем же правилам, по которым они выполняются над степенями с целым положительным показателем. Поэтому выражение при всяком действительном значении х также называется степенью (обобщенной).

Примеры зависимостей, выражающихся с помощью показательных функций.

1. (барометрическая формула):
—давление на уровне моря;
k —некоторая известная постоянная;
е —2,718;
h(м) —высота над уровнем моря;
р(ат) —давление на высоте А над уровнем моря.

Здесь h есть независимая переменная, или аргумент, а р есть зависимая переменная, или функция.

По этой формуле можно определять давление р по заданному значению h.

2. Если температура воздуха равна 20° С и тело в течение 20 минут охлаждается от 100 до 60°, то зависимость температуры Т охлаждающегося тела от времени t минут (в течение которого будет происходить охлаждение) выразится формулой

Здесь t есть аргумент, а Т—функция.

Пользуясь этой формулой, можно узнать, например, что через один час температура тела понизится до 30°.

Приведенные формулы выводятся в курсах высшей математики.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.