При решении системы уравнений линейно зависимые уравнения

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.

В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& kx_1+2x_2+x_3=8;\\ & -x_1+x_2+2x_3=7;\\ & x_2+kx_3=5.\end\right.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\ k & 2 & 1 & 8\\ 0 & 1 & k & 5 \end \right) \begin \phantom <0>\\ r_2+k\cdot\\ \phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k\\ 0 & 1 & k & 5 \end \right)\rightarrow\left|\begin&\text<меняем местами>\\&\text<вторую и третью строки>\end\right|\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-(2+k)\cdot\end \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $\left(\begin-1 & 1 &2\\0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1-k^2\end \right)$.

Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $\rang A\neq\rang\widetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

$\rang A\neq\rang\widetilde$

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2\neq<0>$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $\rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $\rang \widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:

Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k\neq<1>$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.

$\rang A=\rang\widetilde<3$

Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.

Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $\rang=\rang\widetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $\rang A=\rang\widetilde=2<3$.

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end \right)\rightarrow|k=1|\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & 1 & 5 \end \right) \rightarrow\left|\begin&\text<переносим третий столбец>\\&\text<за черту>\end\right|\rightarrow \\ \rightarrow\left(\begin-1 & 1 &-2 &7\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) \begin r_1-r_2\\\phantom<0>\end \rightarrow\left(\begin-1 & 0 &-1 &2\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow\left(\begin1 & 0 &1 &-2\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) $$

$\rang A=\rang\widetilde=3$

Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2\neq<0>$, т.е. $k\neq<-1>$ и $k\neq<1>$. Продолжаем решение методом Гаусса:

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end\right)\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & (1-k)(1+k) & -2(1-k) \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3:((1-k)(1+k))\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin r_1-2r_3\\r_2-k\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &0 &(7k+11)/(k+1) \\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin r_1-r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow \left(\begin -1 & 0 &0 &6/(k+1)\\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 &0 &-6/(k+1)\\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) $$

Исследовать СЛАУ $\left\ <\begin& 2kx_1+x_2+x_3=0;\\ & x_1-x_2+kx_3=1;\\ & (k-6)x_1+2x_2-4x_3=-3.\end\right.$ на совместность и найти решение системы при тех значениях параметра, при которых она совместна.

Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $\Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.

Случай $k=0$

Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.

Случай $k=1$

Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $\widetilde$, подставив $k=1$:

Если $k=1$, то $\Delta=0$. Это значит, что $\rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=\left|\begin2 & 1\\ 1 & -1\end\right|=-3$. Так как $M\neq<0>$, то ранг матрицы $A$ равен 2.

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& kx_1+x_2+x_3+x_4=1;\\ & x_1+kx_2+x_3+x_4=1;\\ & x_1+x_2+kx_3+x_4=1;\\ & x_1+x_2+x_3+kx_4=1.\end\right.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1 \\ 1 & 1 &k &1&1 \\ 1 & 1 &1 &k&1 \\ k & 1 &1 &1&1 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-r_1\\r_3-r_1\\r_4-k\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 1-k &0&k-1&0\\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-k\end \right) $$

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k\neq<1>$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1\neq<0>$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 1-k &0&k-1&0\\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-k\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-r_2\\r_4-(k+1)r_2\end\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\\ 0 & 0 &(1-k)(k+2) &1-k&1-k\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_4-(k+2)r_3\end\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\\ 0 & 0 &0&(1-k)(k+3)&1-k\end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $\widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $k\neq<1>$, $k\neq<-3>$.

Случай $k=-3$

Случай $k=1$

Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $\left(\begin 1 & 1 &1 &1&1\\ 0 & 0 &0 &0&0\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 0 & 0 &0&0&0\end\right)$. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой (и равны 1), но меньше, чем количество переменных, т.е. $\rang=\rang<\widetilde>=1<4$. Вывод: система является неопределённой. Общее решение системы непосредственно получим из первой строки записанной матрицы:

$$x_1+x_2+x_3+x_4=1\; \Rightarrow \; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$

Случай $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$

Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$, то $(1-k)(k+3)\neq<0>$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1 &-1 &0&0\\ 0 & 0 &1&-1&0\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end \right) \begin r_1-r_4\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+r_4\end\rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &0&\frac\\ 0 & 1 &-1 &0&0\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) \begin r_1-r_3\\r_2+r_3\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & k &0 &0&\frac\\ 0 & 1 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) \begin r_1-k\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 1 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) $$

Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>$.

• При $k=-3$ система несовместна.
• При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $\left\<\begin& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\\&x_2\in,\;x_3\in,\;x_4\in. \end\right.$
• При $k\neq<-3>$ и $k\neq<1>$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>$.

Линейная зависимость и независимость векторов

Набор векторов называется системой векторов .

Система из векторов называется линейно зависимой , если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой .

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.

4. Система из 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAQCAMAAACx1dbmAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAiXFYMbEhAcBBoPDQoeAQ0I3cqgAAALZJREFUKM+VktsSwyAIRDWKiFf+/2uLSZvEhkxaXnTGs7KsGvN3UYrwC+ffa3D8zCMlxo+QlyfcNmg7v7A/t7VBux/jzkOe54lJURw8ZrHvop0UdM8P+3axGc89aqQ7XuxbjzybMkEUqPLAIPP6/u0g1OYUHnMpTQs02KLxq/0p0Y1O0al+RvqOCcv51CeZF1UeJBjhacoT6PJehTd9k/R7gdgPul7ei3itcWeYPp/sqv4fRhnzAuOaBpbDogV3AAAAAElFTkSuQmCC» /> векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов — линейно зависима, то существуют числа , не все равные 0, что . В этом равенстве . В самом деле, если , то . Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. вектор есть линейная комбинация векторов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ).

Тогда из равенства получаем .

Следовательно, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Пример 1.3. Параллелограмм построен на векторах и ; точки и — середины сторон и соответственно (рис. 1.11). Требуется:

а) найти линейные комбинации векторов

б) доказать, что векторы , , линейно зависимы.

а) Так как , то по правилу треугольника: .

Рассуждая аналогично, получаем: . Построим вектор . Из равенства треугольников и следует, что . Тогда .

б) Учитывая, что и , получаем: .

Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству , т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов , , равна нулевому вектору. Следовательно, векторы , , линейно зависимы, что и требовалось доказать.

Системы линейных однородных уравнений

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Свойства систем линейных однородных уравнений

Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из ( n-r ) решений.