Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией , а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки .

Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

.

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

.

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии . При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

.

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

,

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании

Определение постоянных при интегрировании дифференциального уравнения изгиба балки.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(x) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Выбор знака в правой части определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M_z противоположны — в правой части знак минус. Уравнение справедливо только в пределах применимости закона Гука.

Интегрируя, находим сначала углы поворота сечений

,

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

25. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки с несколькими участками.Метод Клебша.

Для составления уравнений необходимо выполнить следующие основные условия:

• начало координат, для всех участков, необходимо расположить в крайнем левом конце балки;
• интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки проводить, не раскрывая скобок;
• при включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М его необходимо помножить на (Z – a), где а – координата сечения, в котором приложен момент;
• в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления

Метод начальных параметров

Для углов поворота

(17)

(18)

где θ – угол поворота сечения; w – прогиб; θo – угол поворота в начале координат; w0 – прогиб в начале координат; dі – расстояние от начало координат до i-й опоры балки; ai – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенного момента Mi; bi – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi; сi – расстояние от начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi; Ri и Мрi – реакция и реактивный момент в опорах балки.

Балка на упругом основании

Рис.10.1

В инженерной практике встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. Это ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, ж/д шпалы и др. Расчет таких балок осложняется тем, что реакция оснований « »

зависит от прогибов « » балки, а прогибы зависят от реакции основания. Для решения задачи необходимо знать закон, связывающий реакцию основания с осадкой (прогибом) основания. Наиболее распространенной является гипотеза Винклера

(1)

(2)

Здесь: внешняя погонная нагрузка; коэффициент постели, приводится в справочниках для различных грунтов; суммарная погонная нагрузка, действующая на балку.

Для решения задачи используем известное дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса

(3)

Обычно изгибная жесткость балки, считается константой. Ранее получены дифференциальные зависимости (1.7)

(4)

Дифференцируя один раз (3) с учетом (4) получим

(5)

Дифференцируя (5) с учетом (4) найдем

(6)

Подставим (2) в (6)

(7)

Обозначим

Тогда уравнение (7) примет вид

(10.1)

Это дифференциальное уравнение балки на упругом основании.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании

Рис.10.1

В инженерной практике встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. Это ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, ж/д шпалы и др. Расчет таких балок осложняется тем, что реакция оснований « »

зависит от прогибов « » балки, а прогибы зависят от реакции основания. Для решения задачи необходимо знать закон, связывающий реакцию основания с осадкой (прогибом) основания. Наиболее распространенной является гипотеза Винклера

(1)

(2)

Здесь: внешняя погонная нагрузка; коэффициент постели, приводится в справочниках для различных грунтов; суммарная погонная нагрузка, действующая на балку.

Для решения задачи используем известное дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса

(3)

Обычно изгибная жесткость балки, считается константой. Ранее получены дифференциальные зависимости (1.7)

(4)

Дифференцируя один раз (3) с учетом (4) получим

(5)

Дифференцируя (5) с учетом (4) найдем

(6)

Подставим (2) в (6)

(7)

Обозначим

Тогда уравнение (7) примет вид

(10.1)

Это дифференциальное уравнение балки на упругом основании.

Перемещения в балках при изгибе

Виды перемещений при изгибе

Упругая линия балки – ось балки после деформации.

Прогиб балки $y$ – поступательное перемещение центра тяжести в поперечном направлении балки. Прогиб вверх считаем положительным, вниз – ’ емким.

Уравнение упругой линии – математическая запись зависимости $y(x)$ (прогиба по длине балки).

Стрела прогиба $f = >$ – максимальное по длине значение прогиба балки.

Угол поворота сечения $\varphi $ – угол, на который поворачивается сечение в процессе деформирования балки. Угол поворота считаем положительным, если сечение поворачивается против часовой стрелки, и наоборот.

Угол поворота сечения равен углу наклона упругой линии. Таким образом, функция изменения угла поворота по длине балки равна первой производной от функции прогибов $\varphi (x) = y'(x)$.

Таким образом, при изгибе рассматриваем два вида перемещений – прогиб и угол поворота сечения.

Цель определения перемещений

Перемещение в стержневых системах (в частности в балках) определяются для обеспечения условий жесткости (прогибы ограничиваются строительными нормами).

Кроме этого, определение перемещений необходимо для расчета прочности статически невыдающихся систем.

Дифференциальное уравнение упругой линии (изогнутой оси) балки

На данном этапе необходимо установить зависимость перемещений в балке от внешних нагрузок, способа закрепления, размеров балки и материала. Для полного решения задачи необходимо получить функцию прогибов $y(x)$ по всей длине балки. Вполне очевидно, что перемещения в балке зависят от деформаций каждого сечения. Ранее нами была получена зависимость кривизны сечения балки от изгибающего момента, действующего в этом сечении.

Кривизна линии определяется ее уравнением $y(x)$ так

где $y’$ и $y$ – соответственно, первая и вторая производная от функции прогибов с координатой x.

С практической точки зрения эту запись можно упростить. На самом деле $y’ = \varphi $ – угол поворота сечения в реальных конструкциях не может быть большим, как правило не больше 1град = 0,017рад . Тогда $1 + <\left( \right)^2> = 1 + <0.017^2>= 1.000289 \approx 1$, то есть можно считать, что $\frac<1> <\rho >= y» = \frac<<y>><>>$. Таким образом, мы получили уравнение упругой линии балки (дифференциальное уравнение изогнутой оси балки). Это уравнение впервые получено Эйлером.

Получена дифференциальная зависимость показывает взаимосвязи между перемещениями и внутренними усилиями в балках. Учитывая дифференциальную зависимость между поперечной силой, изгибающим моментом и поперечной нагрузкой, покажем содержание производных от функции прогибов.

$y(x)$ – функция прогибов;

$y'(x) = \varphi (x)$ – функция углов поворота;

$EI \cdot y»(x) = M(x)$ – функция изменения изгибающего момента;

$EI \cdot y»‘(x) = M'(x) = Q(x)$ – функция изменения поперечной силы;

$EI \cdot >(x) = M»(x) = q(x)$ – функция изменения поперечной нагрузки.