Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Основные понятия

Определение.Уравнение вида

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у’, у»,…, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y’+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y»+ρy’+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:

у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.

называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.

Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ2–4q уравнения (2) следующим образом:

1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1≠К2), и общее решение имеет вид .

2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1=К2=К), и общее решение имеет вид:

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

5) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Определение числового ряда.

Сходимость ряда.

Бесконечным числовым рядом называется выражение u1+u2+. +un+. , (1)

содержащее неограниченное число членов, где

u1 , u2 , u3 , . , un , .

— бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда.

Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда.

9,10) Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Особенно часто и эффективно степенные ряды используются для точного и приближенного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические обоснования, рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя

x2y» + xy’ + (x2 — n2)y = 0,

где n — постоянная (необязательно целая), x — независимая переменная, а y = y(x) — искомая функция. Решения этого уравнения, называемые функциями Бесселя, нашли применение практически во всех областях современного естествознания.

Будем искать y в виде обобщенного степенного ряда

где p, ak — неизвестные постоянные, причем a0 ? 0. Дифференцируя этот ряд дважды под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y’, y» в уравнение (7). Затем сделаем приведение подобных членов, и коэффициенты полученного ряда приравняем нулю. После этого получим бесконечную систему уравнений

ak[(p + k)2 — n2] + ak — 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,

p = ? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,

В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), соответствующие значениям p = n и p = — n, являются линейно-независимыми и любое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1 , c2 — постоянные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только постоянным множителем, поэтому определяют лишь одно из двух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.

14)

Дискретной случайной величинойназывается такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

Сходящиеся степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью вычисляют приближенные значения функций, пределы некоторых функций и «неберущиеся» или сложные для вычисления интегралы с заданной точностью, а также интегрируют дифференциальные уравнения.

1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции f ( x ) при x = x ₀ с заданной точностью ε>0. Предположим, что для функции в окрестности точки x ₀ имеет место теорема 3.27, то есть применима формула Тейлора (3.52) главы III с остаточным членом (3.54) в форме Лагранжа. При x ₀ = 0 получим ряд Маклорена, обозначенный ранее формулой (3.55):

Примечание. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный для функции f ( x ), либо расходится, либо сходится не к функции f ( x ). Говорят, что такая функция в ряд Маклорена не раскладывается

Вспомним разложения по формуле Маклорена некоторых элементарных функций, обозначенных в главе III (3.57) – (3.61), на основе которых приведём соответствующие разложения в степенной ряд:

областью сходимости рядов (9.15), (9.16), (9.17) является вся числовая прямая (–∞;+∞) ;

После выяснения сходимости на концах интервала областью сходимости ряда (9.18) является полуинтервал (–1;1].

с интервалом сходимости (–1;1) ; на концах интервала при x =± 1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m .

Пример 9.9. Найти sin 28 0 с точностью до 0,0001.

Решение . Переведем 28 0 в действительное число. Составим пропорцию . Отсюда получим . Согласно формуле (9.15)

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы 9.8 Лейбница. Так как четвертый член ряда меньше заданной точности 0,0000013 sin 28 0 с точностью до 0,0001 достаточно первых трех членов ряда. Окончательно получаем .

Значение sin 28 0 , вычисленное с помощью калькулятора равно 0,46923, найденное по таблице Брадиса равно 0,4695

Примечание . В случаях знакопеременных или знакоположительных рядов составляют ряд из абсолютных величин членов и стараются подобрать положительный ряд с большими членами (часто таким рядом является сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. В качестве оценки погрешности берут величину остатка этого нового ряда

2. Приближенное вычисление пределов функций

Применение степенных рядов к приближенному вычислению пределов различных функций является либо альтернативным методом решения, либо позволяет найти пределы, другими способами не вычисляемые. Чтобы проиллюстрировать последний случай, рассмотрим пример.

Пример 9.10. Найти предел функции .

Решение. В главе III нами были рассмотрены различные способы вычисления пределов функций с помощью замечательных пределов (пункт III.2) и теоремы 3.21 Лопиталя (пункт III.5). Однако для нахождения заданного предела данные методы решения не применимы, так как функция под пределом содержит одновременно экспоненциальную и тригонометрические функции, а в процессе дифференцирования по правилу Лопиталя числитель и знаменатель дроби усложняются.

Вычислим заданный предел путем разложения в степенные ряды все функции, содержащиеся под пределом. При этом возьмем столько членов разложений, чтобы наибольшая степень переменной равнялась четырем, так как x → 0 и x 4 дает точность вычислений не менее 0,0001.

После применения формул (9.15)-(9.17) получим:

3. Приближенное вычисление определенных интегралов

Пусть требуется вычислить с точностью до ε>0. Для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в тех случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно или трудеёмко, также применяются сходящиеся бесконечные ряды.

Если подынтегральную функцию f ( x ) можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости (– R ; R ) включает в себя отрезок [ a ; b ], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяются так же, как и при вычислении значений функций.

Пример 9.11. Вычислить , с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив в разложении (9.15) функции sin x аргумент x на , имеем:

Полученный ряд сходится абсолютно по теореме 9.8 (проверить самостоятельно). Так как четвертый его член по абсолютной величине 0,00011

Пример 9.12. Вычислить интеграл при с точностью до 0,0001.

Решение . Разложим по (9.17) подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя x на (– x 3 ):

На отрезке проинтегрируем данное равенство:

Получили знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница (теорема 9.8). Так как требуемая точность вычислений составляет 0,0001 и четвертый член ряда по модулю 0,000016 меньше 0,0001, то достаточно сложить первые три слагаемые:

4. Приближенное решение дифференциальных уравнений

В главе III.5 (схема 32) был рассмотрен механический смысл производной функции одной переменной. Если уравнение траектории движения материальной точки описывается уравнением y = f ( x ), то скорость движения − это , а ускорение − . Ряд задач, встречающихся на практике, описывают движение некой механической системы уравнениями, которые одновременно содержат все эти три характеристики − , то есть приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Если способ решения дифференциального уравнения слишком сложен или искомое решение не выражается через элементарные функции в конечном виде, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом (3.52) Тейлора. Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть, необходимо решить уравнение второго порядка

4.1. Метод последовательного дифференцирования ДУ. Будем искать решение y=y(x) уравнения (9.20) в виде ряда Тейлора по степеням x – x ₀ :

Алгоритм решения следующий:

1) первые два коэффициента ряда берем из начальных условий (9.21);

2) третий коэффициент находим из самого уравнения (9.20), подставляя в него начальные условия ;

3) значения последующих коэффициентов , … вычисляем последовательным дифференциро-ванием заданного уравнения (9.20) по x и подстановкой в найденную производную всех полученных до этого значений при x = x ₀ ;

4) процесс дифференцирования продолжаем вплоть до определения членов ряда, количество которых обычно задается условием задачи;

5) найденные значения производных подставляем в разложение (9.22).

Ряд (9.22) представляет собой искомое частное решение уравнения (9.20) для всех значений переменной x, принадлежащих его области сходимости. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением заданного ДУ.

Примечание . Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений произвольного n -го порядка. В этом случае коэффициенты первых n членов разложения берут из n заданных начальных условий; следующий ( n + 1)-ый коэффициент − из самого уравнения при подстановке в него начальных условий; с ( n + 2)-го члена ряда начинают процесс дифференцирования

Пример 9.13. Методом последовательного дифференцирования найти шесть первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения .

Решение . Будем искать решение уравнения в виде степенного рада по степеням x + 1:

По условию y ( – 1)=2 , . Находим , подставив x = –1 в исходное уравнение . Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное по условию уравнение:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получаем:

4.2. Метод неопределенных коэффициентов применяется для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами вида

Приближенное решение уравнения (9.23) возможно лишь в предположении, что коэффициенты и свободный член f ( x ) разлагаются в ряды по степеням x – x ₀ , сходящиеся в некотором интервале ( x ₀ – R ; x ₀ + R ). Тогда искомое решение y = y ( x ) ищется в виде степенного ряда

с неопределенными коэффициентами, количество членов которого обычно задано по условию.

Приведем краткий алгоритм решения:

1) первый коэффициент находят из уравнения при первом начальном условии y ( x ₀ )= y ₀ = c ₀

2) дифференцируют ряд (9.25)

3) второй коэффициент находят из (9.26) при втором начальном условии , после чего ряд (9.25) принимает вид

4) вычисляют вторую производную , дифференцируя ряд (9.26);

5) подставляют найденные в исходное уравнение, одновременно коэффициенты и свободный член f ( x ) заменяют их разложениями в степенные ряды;

6) раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной x ;

7) из полученных уравнений находят неизвестные коэффициенты c_i и подставляют их найденные значения в искомый ряд (9.25).

Построенный ряд (9.25) сходится в том же интервале ( x ₀ – R ; x ₀ + R ) и является приближенным решением заданного уравнения (9.23).

Примечание . Для решения линейных ДУ с переменными коэффициентами произвольного n -го порядка их дифференцирую n раз, то есть столько раз, каков порядок заданного уравнения.

Пример 9.14. Найти первые семь членов разложения в ряд приближенного решения дифференциального уравнения , используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение . Будем искать приближенное решение заданного уравнения в виде степенного ряда по степеням переменной x :

с учетом начальных условий

Продифференцируем дважды равенство (9.27):

Коэффициенты заданного уравнения p ₁ ( x )= – x , p ₂ ( x )=1. Разложим его правую часть в степенной ряд:

Подставим производные , функцию (9.27) и правую часть (9.28) в исходное уравнение, получим:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной в обеих частях последнего равенства:

Найденные значения коэффициентов подставим в разложен ие искомого решения (9.27):

. Очевидно, что приближенным решением заданного уравнения является функция y = cos x

Привет студент

Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Министерство образования Республики Беларусь

«Могилевский государственный университет имени А.А. Кулешова»

Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Курсовая работа

Выполнил: студент Б группы 3 курса

Юскаева Александра Маратовна

Морозов Николай Порфирьевич

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

3. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

4. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Введение

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области;

x – независимая переменная;

y – функция переменной x, подлежащая определению;

y’, y”, …, y ( n ) – производные функции y.

При этом предполагается, что y ( n ) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с₁, с₂. c_n и имеет вид .

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y ( n ) . Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

где – известные непрерывные функции от x.

Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, , тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид

В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным ( ) и неоднородным.

1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам.

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где , — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х₀ – Т; х₀ + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале.

Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х₀ – Т; х₀ + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку).

Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x — x₀| 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х₀ = 0, имеем

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений:

Так как , то λ должно удовлетворять уравнению

которое называется определяющим уравнением. Пусть – корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6):

Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда . Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля — Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение:

Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде

(число А может оказаться равным нулю).

1. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.

Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде:

К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.

Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на –x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть , . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и . Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда

то, подставив у, у’ и у» в исходное уравнение, получим

Отсюда, сокращая на , имеем

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям

Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, . имеем

Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … .

Таким образом, найдены все коэффициенты , а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде

называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых , , а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде

называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка.

Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде

Уравнения для определения при имеют вид

По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через :

Полагая представим у₂(х) в виде

называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом.

Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и : .

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида

где α, β, γ — действительные числа.

Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме

можно представить в виде обобщенного степенного ряда.

Убедимся в этом для точки . Действительно, замечая, что

уравнение (3.2) можно записать в виде

Это уравнение является частным случаем уравнения

причем здесь , так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса.

Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0.

Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид

Его корни , причем их разность не является целым числом.

Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов

первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения.

Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде

Подставим (3.3) в (3.2), получим

Приравнивая к нулю свободный член, получаем .

Пусть , тогда получаем .

Приравнивая нулю коэффициент при , найдем:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию

Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x| 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения . По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций.

Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда

Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем

Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении:

Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения :

Из этих уравнений находим

Положим , тогда отличными от нуля будут только коэффициенты . Получаем, что

Построено одно решение уравнения

Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив . Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты :

Ряды, представляющие и , сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой , где С₁, С₂ — произвольные постоянные:

Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как:

Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х 2 у» + (3х – 2х 2 )у’ – (х + 1)у = 0.

Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ₁ = 1/2 и λ₂ = — 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ₁ ищем в виде

Подставив , , и в исходное уравнение, имеем

Отсюда, сократив на , получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения :

Положив y₀ = 1, находим

Соответствующее корню λ = λ₂ решение исходного уравнения ищем в виде

Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y₀ = 1, находим

Общее решение исходного уравнения запишем в виде , где и — произвольные постоянные.

Заключение

Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, зачастую очень сложно.

В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов.

Литература:

1. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск, “Вышэйш. школа”, 1974. – 768с. с ил.
2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — 352 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил.
4. Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 1989. – 383 с.: ил.
5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учеб. пособие для вузов. – М.: Физматизд, 1961. – 100 с.: ил.

Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ