Приближенное решение уравнений метод последовательных приближений

Метод последовательных приближений решения дифференциального уравнения

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений , который состоит в следующем.

Строим последовательность функций, определяемых рекуррентными соотношениями

В качестве нулевого приближения можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки , в частности — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале , где

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения n-м приближением , даётся неравенством

где . Применяя метод последовательных приближений, следует остановиться на таком , для которого не превосходит допустимой погрешности.

Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Очевидно, что для данного уравнения на всей плоскости выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Строим последовательность функций, определяемых соотношениями (3), приняв за нулевое приближение :

Ясно, что при . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция решает поставленную задачу Коши.

Пример 2. Методом последовательных приближений найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию в прямоугольнике

Решение. Имеем , т. е. . За берем меньшее из чисел , т. е. . Последовательные приближения согласно (4) будут сходится в интервале . Составляем их

Абсолютная погрешность третьего приближения не превосходит величины

Замечание. Функция должна удовлетворять всем условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Следующий пример показывает, что одной непрерывности функции недостаточно для сходимости последовательных приближений.

Пусть функция определена следующим образом:

На множестве , функция непрерывна и ограничена постоянной . Для начальной точки последовательные приближения при имеют вид:

Поэтому последовательность для каждого не имеет, предела, т. е. последовательные приближения не сходятся. Заметим также, что ни одна из сходящихся подпоследовательностей и не сходится к решению, поскольку

Если же последовательные приближения сходятся, то полученное решение может оказаться неединственным , как показывает следующий пример: .

Возьмем начальное условие ; тогда

Беря в качестве нулевого приближения функцию , будем иметь

так что все последовательные приближения равны нулю и поэтому они сходятся к функции, тождественно равной нулю. С другой стороны, функция представляет собой также решение этой задачи, существующее на полупрямой .

Метод последовательных приближений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Одной из целей этого метода состоит в нахождении приближенных решений уравнений. Одним из таких методов является метод простой итерации.

Метод простой итерации

Метод простой итерации — один из самых простейших численных методов для решения уравнений.

Идея метода простой итерации.

Пусть нам необходимо решить уравнение $f\left(x\right)=0$.

Вначале для его решения приведем его к эквивалентному уравнению вида

Рассмотрим пример такого приведения:

Привести уравнение $-x^2=0$ к виду $x=\varphi (x)$.

Решение.

Здесь есть три способа такого преобразования:

После этого каким-либо образом выбирается начальное приближение $x_0$, вычисляется значение $\varphi (x_0)$ и находится уточненное значение $x_1=\varphi (x_0)$. Следующее уточненное значение будет находиться как $x_2=\varphi (x_1)$ и т.д. Каждый такой шаг называется шагом итерации.

Сформулируем и докажем следующую теорему:

Функция $\varphi (x)$ определена и дифференцируема на отрезке $[a,b]$ и $\varphi (x)\in [a,b]$. Тогда, если \textbar $<\varphi >‘\left(x\right)|

Процесс итерации $x_n=\varphi (x_)$ сходится независимо от начального положения $x_0$;

$<\mathop_ x_n\ >=X$ — единственный корень уравнения $x=\varphi (x)$ на отрезке $[a,b]$.

Доказательство.

\item Так как $X=\varphi (x)$ и $x_n=\varphi (x_)$, то

\[x_n-X=\varphi \left(x_\right)-\varphi \left(x\right)=\left(\varphi \left(x_\right)-\varphi \left(x\right)\right)\frac-x>-x>=\] \[=\frac<\varphi \left(x_\right)-\varphi \left(x\right)>-x>\cdot x_-x\]

По теореме о среднем, получаем

Пусть $M=max |<\varphi >‘\left(x\right)|$, тогда $|x_n-X|\le M|x_-x|$. Также$|x_-X|\le M|x_-x|$. Но тогда получим

\[\left|x_n-X\right|\le M\left|x_-x\right|\le M^2\left|x_-x\right|и\ т.д.\]

То есть получим, что

Следовательно, для того чтобы метод сходился нужно, чтобы $M=max |<\varphi >‘\left(x\right)|$ было меньше единицы, значит $\left|<\varphi >‘\left(x\right)\right|

Рассмотрим $x_n=\varphi (x_)$ и $x_=\varphi (x_n)$.

\[x_-x_n=\varphi \left(x_n\right)-\varphi (x_)\]

По теореме о среднем $x_-x_n=f’\left(x_n\right)(x_n-x_)$.

Так как $\left|<\varphi >‘\left(x\right)\right|\le q

Рассмотрим теперь $f\left(x\right)=x-\varphi \left(x\right)$, $f^<'\left(x\right)>=1-<\varphi >^<'\left(x\right)>\ge 1-q$. Значит, $\left|x_n-\varphi \left(x_n\right)\right|=\left|f\left(x_n\right)-f\left(X\right)\right|=\left|x_n-X\right|\left|f’\left(x_n\right)\right|\ge \left(1-q\right)|x_n-X|$. Следовательно, $|x_n-X|\le \frac<\left|x_n-\varphi \left(x_n\right)\right|><1-q>\le \frac<|x_-x_n|><1-q>$.

Из двух полученных неравенств, имеем

Пусть $|x_n-X|\le \varepsilon $, тогда $x_0,x_1,\dots ,x_n$ нужно вычислять до тех пор, пока не выполнится неравенство $|x_n-x_|\le \frac<\varepsilon (1-q)>$, тогда получим, что $X=x_n\pm \varepsilon $. Отсюда следует, что $X$ корень уравнения $x=\varphi (x)$, то есть $X=\varphi (X)$.

Предположим, что это уравнение имеет еще один корень $X’=\varphi \left(X’\right)$. Отсюда $X’-X=\varphi \left(X’\right)-\varphi \left(X\right)$, тогда $\left(X’-X\right)\left|1-<\varphi >‘\left(C\right)\right|=0$. Значит $X’=X$.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема доказана.

Из теоремы будет вытекать погрешность метода простой итерации. Она определяется следующей формулой:

Также из нее можно выделить критерий окончания метода простой итерации. Он говорит, что процесс итерации необходимо продолжать до выполнения следующего неравенства:

Рассмотрим теперь на примере использование метода простой итерации.

Решить уравнение $sinx-x^2=0$ с точностью до $\varepsilon =0,001$.

Решение.

Вначале приведем уравнение к виду $x=\varphi (x)$.

Очевидно, что корень уравнения находит на отрезке $\left[\frac<\pi ><6>,\frac<\pi ><3>\right]$.

Найдем $\varphi (x)$:

Она возрастает на отрезке $\left[\frac<\pi ><6>,\frac<\pi ><3>\right]$, следовательно принимает максимальное значение, при $x=\frac<\pi ><3>$. $\left|<\varphi >‘\left(x\right)\right|\le \left|<\varphi >‘\left(\frac<\pi ><3>\right)\right|\approx 0,312$.

Условие выполняется, $q \[|x_n-x_|\le \varepsilon \]

Это неравенство выполнится на 5 шаге.

Приведем таблицу промежуточных решений, взяв за $x_0$ единицу:

Ответ: приближенное значение с заданной точностью — $0,8765$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08 04 2021

метод последовательных приближений

М етод последовательных приближений (или метод Пикара) является аналитическим, т. е. позволяет получить приближённое решение задачи Коши, определяемой дифференциальным уравнением (1) с начальным условием (2), в виде формулы. Возник метод в связи с доказательством теоремысуществования и единственности решения задачи Коши (гл. 1).

Пусть в условиях данной теоремы требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем обе части уравнения (1) от х₀ доx:

, откуда

у(х) = у₀ + . (7)

Очевидно, что решение интегрального уравнения (7) будет удовлетворять уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при х =х₀ получим

у(х₀) = у₀ + = у₀.

Применим к интегральному уравнению (7) метод последовательных приближений. Заменим в равенстве (7) неизвестную функцию у данным значением у₀, получим первое приближение

у₁(х) = у₀ + .

Заметим, что интеграл в правой части содержит только одну переменную х, поэтому аналитическое выражение первого приближения у₁(х) будет являться функцией, зависящей
от х.Заменим теперь в равенстве (7) неизвестную функцию у найденным значением у₁(х), получим второе приближение

у₂(х) = у₀ +

и т. д. В общем случае итерационная формула имеет вид

у_n(х) = у₀ + ( n =1, 2, . ). (8)

Применив неоднократно формулу (8), получим последовательность функций

Можно доказать [1, 2, 3], что эта последовательность сходится и

= у(х),

т.е. предел последовательности является решением интегрального уравнения (7), а следова­тельно, и дифференциального уравнения (1) с начальным условием (2). Это означает, что k-й член последовательности (9) является приближением к точному решению уравнения (1)
с определённой степенью точности.

Погрешность k-го приближения можно оценить формулой

, (10)

где L — постоянная Липшица; М — верхняя грань модуля функции f, т.е. ;

величина d для определения окрестности вычисляется по формуле , числаа и b— из неравен­ства Липшица (гл. 1).

Пример 1. Найти три последовательных приближения решения дифференциального урав­нения у’ = x + y 2 ,удовлетворяющего начальному условию у(0) = 1.

Решение.В качестве начального приближения возьмём

первое приближение у₁(х) = у₀ + = 1+ ,

второе приближение у₂(х) = у₀ + = 1+ ,

третье приближение у₃(х) = у₀ + = 1+ .

Вычисления интегралов и построение графиков полученных функций у₁(х), у₂(х), у₃(х) проведём в системе MathCAD. Результаты решения представлены на рис. 14.

Оценим погрешность третьего приближения.

Для определения области G, заданной неравенствами (6), примема = 1, b = 2. Получим

G: – 1 х 1,–1 y 3.

В прямоугольнике G функция

определена и непрерывна, причём: ,

,

,

= .

По формуле (10) получим

.

Рис. 14

Заметим, что в программе MathCAD для вычисления интегралов с переменным верхним пределом интегрирования, необходимо выполнить следующие действия:

1) записать интеграл и выделить его в рамку;

2) выбрать команду Evaluate (Вычислить) из меню опции Simbolic (Символика) главного меню.

Существует и другой способ вычисления несобственных интегралов в программе MathCAD, по которому следует:

1) записать интеграл и выделить его в рамку;

2) выбрать команду Simplify (Упростить) из меню опции Simbolic (Символика) главного меню.

Пример 2. Найти пять последовательных приближений решения дифференциального уравнения

удовлетворяющего начальному условию у(0) = 0.

Сравнить полученные приближения с точ­ным решением.

Решение.В качестве начального приближения возьмём

Решение данного уравнения, проведённое в системе MathCAD, показано на рис. 15.

Рис. 15

МетодЭйлера

М етод Эйлера относится одновременно к численным и к графи­ческим методам решения дифференциальных уравнений.

Суть метода заключается в том, что искомую интегральную кривую y = y(x) заменяют ломаной M₀M₁M₂ . звенья которой являются касательными к интегральным кривым (рис. 16).

Рис. 16

Пусть требуется решить задачу Коши, т.е. найти решение дифференциального уравнения (1) с начальным условием (2) в виде функ­ции y = y(x). Выбрав шаг h, построим, начиная
с точки х₀, систему равноотстоящих точек:

Вместо искомой интегральной кривойy = y(x) на отрезке [х₀, х₁]рассмотрим отрезок касательной L₁ к ней в точке М₀ (х₀, y₀). Уравнение касательной L₁, в силу (1), имеет вид

При х = х₁ из уравнения касательной L₁ получим

откуда видим, что приращение функции на первом шаге имеет вид

у₀ = hf(х₀, y₀).

Аналогично, проводя касательную L₂ к некоторой интеграль­ной кривой семейства в точке М₁(х₁, y₁), получим

у₁= hf(х₁, y₁).

Таким образом, значения искомой функции y(x) могут быть определены по формулам:

y_i+1 =y_i + у _i, у _i = hf(х _i, y_i), (11)

где i= 0,1,2, . , которые называются вычислительными формулами метода Эйлера.

При этом искомую интегральную кривую y = y(x), проходящую через точку М₀ (х₀, y₀), приближённо заменяем так называемой ломаной ЭйлераM₀M₁M₂ . звенья которой M_iM_i+1 прямолинейны между прямыми x = x_i, x = x_i+1 и имеют подъём

.

Метод Эйлера является простейшим численным методом, удоб­ным в применении, однако он имеет ряд существенных недостатков. Основной из них — малая точность. Она равна порядку h 2 , причём с каждым шагом погрешность возрастает, т.е. происходит систематиче­ское накопление ошибок. Поэтому на практике часто используют способ двойного счёта — с шагом hи с шагом h/2. Совпадение десятич­ных знаков в полученных двумя способами результатах даёт есте­ственные основания считать их верными.

Пример.

1. Найти методом Эйлера численное решение диффе­ренциального уравнения
у’ = x 3 + y,удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1, на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,1.

2. Найти точное решение уравнения у’ = x 3 + y и сравнить его с приближённым на отрезке [0, 1].

1. Для данного уравнения вычислительные формулы (11) имеют вид:

y_i+1 =y_i + у _i, у _i = 0,1(х _i 3 + y_i),

Учитывая, что погрешность метода имеет порядок h 2 = 0,01, достаточно в промежуточных результатах брать три цифры после запятой, а во всех y_iсохранять только две цифры.

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

i	х i	yi	yi = hf( х i , yi) = 0,1( х i 3 + yi)
0	0	1	0,1
1	0,1	1,1	0,110
2	0,2	1,21	0,122
3	0,3	1,33	0,136
4	0,4	1,47	1,634
5	0,5	1,62	0,175
6	0,6	1,79	0,201
7	0,7	1,99	0,233
8	0,8	2,22	0,273
9	0,9	2,49	0,322
10	1	2,82	—

2. Данное уравнение у’ = x 3 + y является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его методом Бернулли.

Полагая y = uv, имеем

= 0.

Сгруппируем члены, содержащие uв первой степени, получим

= 0.

Полагаем = 0, откуда . Интегрируя, находим , или (постоянную интегрирования не вводим, так как достаточно найти какое-либо частное решение этого вспомогательного уравнения).

Для нахождения uимеем уравнение

,

.

Разделим переменные, получим , откуда

.

Интегрируем по частям три раза:

.

Таким образом, общее решение данного уравнения

y = uv = ,

или y = .

Используя начальное условие у (0) = 1, получим 1 = ‑ 6 + С, откуда С = 7. Следовательно, искомое частное (точное) решение имеет вид

у = .

Вычислим значения полученного точного решения на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,1. Результаты округлим до 0,01 и запишем в таблицу.

Сравнение приближённого (численного) решения данного дифференциального уравнения с точным на промежутке [0, 1] проведём с помощью системы MathCAD.

Результаты сравнения, а также численное решение данного уравнения, проведённое методом Эйлера в системе MathCAD, представлены на рис. 17.

Рис. 17

МодификацииметодаЭйлера

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Цель модификаций — более точно определить направление перехода из точки (х _i, y_i) в точку (х _{i +1}, y_{i +1}). Так, метод Эйлера-Коши предлагает вычислять значения искомой функции y(x) по фор­мулам:

= y_i + Ду _i, Ду _i = hf(х _i, y_i),

y_i+1 = y_i + h ,i= 0,1,2, . .

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке (х _i, y_i) и во вспомогательной точке (х _{i +1}, ). В качестве окончательного берём среднее этих направлений.

Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляют промежуточные значения:

,

и находят значение направления поля интегральных кривых в средней точке ( , ), т.е. = f( , ), а затем полагают

y_i+1 = y_i + h .

Метод Эйлера и его модификации являются простейшими пред­ставителями конечно-разностных методов (шаговых методов) для приближённого решения задачи Коши.

Поскольку описанные методы предполагают повторяющиеся вычисления на каждом шаге, то они легко программируются и могут быть реализованы на компьютере.

На рис. 18 и 19 показаны решения дифференциального уравнения у’ = x 3 + y,удовлетворяющего начальному условию у(0) = 1, полученные модифицированными методами Эйлера (методом Эйлера-Коши и усовершенствованным методом ломаных) с помощью системы MathCAD.

Рис. 18

Рис. 19

Метод Рунге-Кутта

Рассмотренный выше метод Эйлера относится к семейству методов Рунге-Кутта и является их простейшим частным случаем (методом первого порядка точности). Наиболее известным из методов Рунге-Кутта является классический четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности. Его расчётные формулы для решения задачи Коши, определённой уравнениями (1) и (2), имеют вид:

y_i+1 =y_i + у _i; у _i= ( k₁ (i) + 2k₂ (i) + 2k₃ (i) + k₄ (i) ), (12)

k₂ (i) = h f (х _i + ,y_i + );

k₃ (i) = h f (х _i + , y_i + );

Погрешность метода на каждом шаге является величиной порядка h 5 .

Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутта с вычислительными формулами (12) состоит в следующем (рис. 20).

Рис. 20

Из начальной точки М₀(х₀, y₀) сдвигаются в направлении, определяемом углом ₁, для которого tg ₁= f (х₀, y₀). Идут в этом направлении на полшага, т.е. до вертикальной прямой
х = х₀ + . На этом направлении выбирается точка Р₁с координатами

Затем из точки М₀(х₀, y₀)сдвигаются в направлении, определяемом углом ₂, для которого tg ₂ = f (х₀ + ,y₀ + ), и на этом направлении выбирается точка Р₂с координатами

.

Далее из точки М₀(х₀, y₀) сдвигаются в направлении, определяемом углом ₃, для которого tg ₃ = f . На этом направлении выбирается точка Р₃с координатами

(х₀ + h, y₀ + k₃ (0) ). Этим задаётся ещё одно направление, определяемое углом ₄, для которого tg ₄ = = f(х₀ + h, y₀ + k₃ (0) ). Четыре полученных направления усредняются в соответствии с формулой

= (k₁ (0) +2k₂ (0) + 2k₃ (0) + k₄ (0) ).

На этом окончательном направлении и выбирается очередная точка М₁с координатами (х₁, y₁) = (х₀+ h, y₀ + ).

Теперь, уже исходя из точки М₁, все построения с помощью усреднений направлений повторяют сначала. Идут в новом усреднённом направлении до вертикальной прямой х = х₂, получают точку М₂(х₂, y₂) и т.д.

Эффективная оценка метода Рунге-Кутта затруднительна [2, 4]. Поэтому для определения правильности выбора шага h на практике обычно на каждом этапе из двух шагов применяют двойной пересчёт, а именно: исходя из текущего верного значения y(х _i) вычисляют величину y(х _i+ 2h) двумя способами: один раз с шагом h, другой раз — с двойным шагом 2h .

Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг hдля данного этапа выбран правильно и полученное с его помощью значение можно принять за y (х _i+ 2h). В противном случае шаг уменьшают в два раза.

На практике при вычислениях по формулам (15) обычно пользуются схемой, приведённой в таблице.

i	x	Y	k = hf (х, y )	у
0	х 0 х0 + х0 + х0 + h	y 0 y0 + y0 + y0 + k3 (0)	k1 (0) k2 (0) k3 (0) k4 (0)	k1 (0) 2k2 (0) 2k3 (0) k4 (0)
—	—	—	—
1	х1	y1	. . .	. . .

Пример. Найти методом Рунге-Кутта решение дифференциального уравнения у’ = x 3 + y,удовлетворяющего начальному условию у(0) = 1, на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,1.

Решение.Учитывая, что погрешность метода имеет порядок h 5 = 0,00001, в промежуточных результатах следует брать пять цифр после запятой, а во всех y_iсохранять только четыре цифры. Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

i	х	y	k = 0,1(х 3 + y )	y
0	0 0,05 0,05 0,1	1 1,05 1,0525 1,1053	0,1 1,10501 1,10526 1,11063	0,1 0,21003 0,21053 0,11063
0,1052
1	0,1 0,15 0,15 0,2	1,1052 1,1604 1,1634 1,2219	0,11062 0,11637 0,11668 0,11136	0,11062 0,23278 0,21121 0,11136
0,10556
2	0,2 0,25 0,25 0,3	1,2218 1,2717 1,2752 1,3399	0,12188 0,12874 0,12908 0,13669	0,12188 0,25747 0,25816 0,13669
0,12903
3	0,3 0,35 0,35 0,4	1,3520 1,4081 1,4124 1,4853	0,13668 0,1451 0,14552 0,15493	0,13668 0,2902 0,29105 0,15493
0,14548
4	0,4 0,45 0,45 0,5	1,4988 1,5628 1,568 1,6512	0,15493 0,16539 0,16591 0,17762	0,15493 0,33078 0,33182 0,17762
0,16586
5	0,5 0,55 0,55 0,6	1,6661 1,74 1,7465 1,8425	0,17762 0,19064 0,19132 0,20585	0,17762 0,38128 0,38258 0,20585
0,19122
6	0,6 0,65 0,65 0,7	1,8588 1,9618 1,9699 2,0826	0,20584 0,22199 0,2228 0,24082	0,20584 0,44399 0,4456 0,24082
0,22271
7	0,7 0,75 0,75 0,8	2,0833 2,1855 2,1955 2,3268	0,24081 0,26074 0,26173 0,28388	0,24081 0,52148 0,52347 0,28388
0,26161
8	0,8 0,85 0,85 0,9	2,3468 2,4898 2,5021 2,6585	0,28589 0,3104 0,31162 0,33875	0,28589 0,62079 0,62324 0,33875
0,31145
9	0,9 0,95 0,95 1	2,6582 2,8545 2,8695 3,0566	0,34129 0,37119 0,37269 0,40566	0,34129 0,74238 0,74537 0,40566
0,37245
10	1	3,0280

Соответствующее решение данного дифференциального уравнения, полученное методом Рунге-Кутта в системе MathCAD, представлено на рис. 21.

Рис. 21

Лабораторная работа

«Численные методы решения задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений»

Задание 1.

1. Для заданного дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x , y) c начальным условием у (a) = c найти приближённое решение в виде многочлена пятой степени.

2. Найти численное решение данного дифференциального уравнения на отрезке [a, b] с шагом интегрирования h, округляя результат до 0,001.

3. Найти точное решение заданного дифференциального уравнения у’ = f (x, y) и сравнить его с приближённым на отрезке [a, b]. Построить графики полученных решений.

Исходные данные для 15-ти вариантов содержатся в таблице.

Вариант	f ( x , y )	a	b	с	h
1		0	1	0	0,1
2		0	1	1	0,1
3		0	2	0	0,1
4		p	2p	0	p/10
5		1	2		0,1
6		1	3		0,2
7	4 +	1	2	2	0,1
8		1	2	0	0,2
9		0	2	0	0,1
10		0	2	1	0,2
11		1	2	0	0,2
12	–	0	1	p/4	0,1
13	–			е	0,1
14		0	1	1	0,1
15				0	0,3

Указания к выполнению задания 1

1. Для того, чтобы получить приближённое решение заданного дифференциального уравнения в виде многочлена пятой степени, используйте формулу (3) при k = 0, 1, . 5.

2. При выборе метода для вычисления точного решения учитывайте то, что дифференциальные уравнения вариантов 1- 4 являются линейными дифференциальными уравнениями, уравнение 5-го варианта — уравнение Бернулли, уравнения 6-8-х вариантов — однородные дифференциальные уравнения, а уравнения 9-15-х го вариантов — дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

3. Для сравнения точного и приближённого решений заданного дифференциального уравнения сначала составьте таблицы их значений на отрезке [a , b], затем постройте на этом же отрезке графики полученных решений.

Задание 2. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x , y) на отрезке [a , b]при заданном начальном условии у(a) = c и шаге интегрирования h:

1) методом Эйлера с шагом 2h и с шагомh;

2) модифицированным методом Эйлера (методом Эйлера — Коши или усовершенствованным методом ломаных);

3) методом Рунге-Кутта с шагом 2h и с шагомh.

Результаты округлить до 0,0001. Сравнить полученные разными методами решения. Построить графики полученных решений.