Приближенное решение уравнений постановка задачи

Постановка задачи приближенного решения нелинейных уравнений (НЛУ). Этапы приближенного решения НЛУ

Одной из наиболее распространенных задач математического анализа является задача определения корней нелинейных уравнений (НЛУ) с одним неизвестным. Решение этой задачи имеет целый ряд важных практических приложений.

В общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде (слайд 2):

f ( x ) = 0

где f(x) – нелинейная функция одной действительной переменной.

В зависимости от вида функции f ( x ) различают алгебраические и трансцендентные уравнения. Алгебраическими уравненияминазываются уравнения, в которых функция f ( x ) представляет собой полином n-й степени (n > 1):

Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным уравнением. Функция f(x) в таких уравнениях представляет собой выражение, содержащее хотя бы одну из следующих функций: показательную, логарифмическую, тригонометрическую, обратную тригонометрическую или их комбинацию.

Решить НЛУ – означает найти его корни (слайд 3). Число x * называется корнем уравнения f ( x ) = 0, если при подстановке его в функцию f ( x ) она обращается в 0, а уравнение – в тождество.

Однако точные значения корней могут быть найдены аналитически только для некоторых типов уравнений. В частности, формулы, выражающие решение алгебраического уравнения, могут быть получены лишь для уравнений не выше четвертой степени. Еще меньше возможностей для получения точного решения трансцендентных уравнений. В этих случаях ставится задача приближенного решения НЛУ:

найти приближенное решение НЛУ с погрешностью, не превышающей ε > 0, то есть удовлетворяющее неравенству

В существующих методах приближенного решения НЛУ предполагается, что известен отрезок [a;b], на котором находится один и только один корень уравнения. Для отыскания всех корней уравнения должно быть задано несколько таких отрезков, и отыскание каждого корня проводится независимо друг от друга. Поэтому приближенное решение НЛУ распадается на 2 этапа (слайд 4):

1) отделение корней, то есть определение достаточно малых отрезков, в каждом из которых содержится один и только один корень уравнения;

2) уточнение корней на каждом из полученных отрезков с наперед заданной точностью.

Уточнение корней производится итерационными методами, то есть путем построения последовательности приближений к корню x * : x ₀ , x ₁ , . x_n, … Если такая последовательностьпри n ® ¥ имеет предел, равный точному значению корня x * , то говорят, что итерационный процесс сходится. В качестве приближенного решения уравнения выбирается первое последовательное приближение x_k, попавшее в ε–окрестность корня x * .

Различные численные методы уточнения корня могут обладать разной скоростью сходимости и трудоемкостью вычисления очередного приближения. Чем меньшее количество итераций требуется для достижения одной и той же точности при одном и том же начальном приближении, тем более высокой скоростью сходимости обладает тот или иной метод.

Лекция «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

БИК Курс лекций по дисциплине «Численные методы»

для специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем

Раздел 2. Численные методы

2.1.1. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Алгебраические и трансцендентные уравнения

Графический метод решения уравнений

1. Алгебраические и трансцендентные уравнения

При решении практических задач часто приходится сталкиваться с решением уравнений. Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

( x )= g ( x ), (1)

где (х) и g (х) — данные функции, определенные на некотором числовом множестве X , называемом областью допустимых значений уравнения .

В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

F ( x ) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале .

 Совокупность значений переменной х, при которых уравнение (1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х : из этой совокупности называется корнем уравнения.

 Всякое число , обращающее функцию F ( x ) в нуль, т.е. такое, при котором F ( )=0, называется корнем уравнения (1).

 Число называется корнем k -той кратности, если при x =вместе с функцией F ( x ) равны нулю ее производные до ( k -1) порядка включительно:

F ( ) = F / () = … = F ( k -1) ( ) = 0.

Однократный корень называется простым.

 Решить уравнение – значит найти множество всех корней этого уравнения.

Оно может быть конечным или бесконечным.

 Два уравнения F ( x )=0 и G ( x =0) называются равносильными (эквивалентными), если всякое решение каждого из них является решением и для другого, то есть множества решений этих уравнений совпадают.

В зависимости от того, какие функции входят в уравнения (1) или (2), уравнения разделяются на два больших класса: линейные и нелинейные.

Нелинейные уравнения делятся, в свою очередь на: алгебраические и трансцендентные .

Уравнение (2) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

где a ₀, a ₁, . , a _n — коэффициенты уравнения, а x -неизвестное. Показатель n называется степенью алгебраического уравнения.

Если функция F ( x ) не является алгебраической, то уравнение (1) называется трансцендентным.

В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений.

Решение уравнения с одним неизвестным заключается в отыскании корней, т. е. тех значений х, которые обращают уравнение в тождество. Корни уравнения могут быть вещественными и невещественными (комплексными).

Найти точные значения корней уравнения можно только в исключительных случаях, обычно, когда есть какая-либо простая формула для вычисления значения корней, выражающая их через известные величины.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменой не решаются путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами.

При решении многих практических задач точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задача нахождения корней считается решенной, если корни вычислены с заданной степенью точности.

 Решить уравнение – это значит

установить, имеет ли оно корни,

и найти значение корней с заданной точностью.

 Задача численного нахождения действительных и комплексных корней уравнения (2) обычно состоит из двух этапов:

отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых находится одно значение корня,

и уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности.

Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (2) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод простой итерации. Применение того или иного метода для решения уравнения (2) зависит от числа корней, задания исходного приближения и поведения функции F ( x ).

2. Графические методы решения уравнений

Одним из методов решения уравнений является графический. Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ. Все члены уравнения переносят в левую часть, т. е. представляют его в виде f (х) = 0. После этого строят график функции у = f ( x ), где f (х) – левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции у = f (х) с осью Ох и являются корнями уравнения, так как в этих точках у = 0 (рис. 1).

Рисунок 1

Второй способ. Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т. е. представляют его в виде f (х) = g (х).

После этого строят графики двух функций у = f (х) и у = g (х). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу х₀, ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т. е. f (х₀) = g (х₀). Из этого равенства следует, что х₀ – корень уравнения (рис. 2).

Рисунок 2

Пример 1. Решить графически уравнение х 3 — 2 x 2 + 2х — 1 = 0.

Первый способ. Построим график функции у = х 3 — 2 x 2 + 2х — 1 и определим абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох. Кривая пересекает ось Ох в точке х = 1, следовательно, уравнение имеет один корень (рис. 3). (Отметим, что алгебраическое уравнение третьей степени имеет или один действительный корень или три. Так как кривая пересекает ось абсцисс только в одной точке, то данное уравнение имеет только один действительный корень. Остальные два корня – комплексные.)

Рисунок 3 Рисунок 4

Второй способ. Представим данное уравнение в виде х 3 = 2 x 2 + 2х–1 и построим графики функций у = х 3 и у = 2 x 2 + 2х – 1. Найдем абсциссу точки пересечения этих графиков; получим х = 1 (рис. 4).

Пример 2. Найти приближенно графическим способом корни уравнения lg х — Зх + 5 = 0.

Перепишем уравнение следующим образом: lg х = Зх — 5.

Функции в левой и в правой части уравнения имеют общую область определения: интервал 0

Строим графики функций у = lg х и у = Зх — 5 (рис. 5). Прямая у = Зх-5 пересекает логарифмическую кривую в двух точках с абсциссами x ₁ 0,00001 и x ₂ 1,75. На рисунке трудно показать пересечение графиков этих двух функций в первой точке, однако, учитывая, что нижняя ветвь, логарифмической кривой неограниченно приближается к оси Оу, можно предполагать, что пересечение этих двух графиков произойдет вблизи точки пересечения графика функции у = Зх — 5 и оси Оу. Абсцисса точки пересечения приближенно равна 0,00001. Итак, корни уравнения x ₁ 0,00001 и x ₂ 1,75

Рисунок 5 Рисунок 6

Пример 3. Найти графически корни уравнения 2 х = 2х.

Решение. Строим графики функций у = 2 х и у = 2х. Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны х ₁ = 1 и х ₂ = 2. Данное уравнение имеет два корня х ₁ = 1 и х ₂ = 2 (рис. 6).

Подводя итог вышеизложенному, можно рекомендовать для графического решения уравнения f (х) = 0, все корни которого лежат в промежутке [а, b ], следующую простую схему.

1. Представить указанное уравнение в виде (х) = g (х) с таким расчетом, чтобы функции у=(х) и у = g (х) были просты и удобны для исследования и построения.

2. На бумаге вычертить графики функций у =(х) и у = g (х) в промежутке [а, b ].

3. Если графики не пересекаются, то корней в данном промежутке нет. Если же графики пересекаются, то нужно определить точки их пересечения, найти абсциссы этих точек, которые и будут приближенными значениями корней рассматриваемого уравнения.

Первый этап численного решения уравнения (2) состоит в отделении корней, т.е. в установлении “тесных” промежутков, содержащих только один корень.

 Корень уравнения f (х) = 0 считается отделенным на отрезке [ a , b ] , если на этом отрезке уравнение f (х) = 0 не имеет других корней.

 Отделить корни – это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Отделение корней можно произвести двумя способами – графическим и аналитическим.

Графический метод отделения корней. При графическом методе отделения корней поступают так же, как и при графическом методе решения уравнений.

Графический метод отделения корней не обладает большой точностью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции к орня. Далее корни уточняются одним из способов, указанных ниже.

Аналитический метод отделения корней. Аналитически корни уравнения f(х) =0 можно отделить, используя некоторые свойства функций, изучаемые в курсе математического анализа.

Сформулируем без доказательства теоремы, знание которых необходимо при отделении корней.

1) Если непрерывная на отрезке функция F ( x ) принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение (2) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень

2) Если функция F ( x ) к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Рассмотрим примеры поведения некоторых функций:

Рисунок 7

Для отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ.

Пусть имеется уравнение F ( x )=0, причем можно считать, что все корни находятся на отрезке , в которой функция F ( x ) отделена, непрерывна и F ( A )* F ( B ) F ( x ), начиная с точки X = A , двигаясь вправо с некоторым шагом h .

Как только обнаружится пара соседних значений F ( x ), имеющих разные знаки, и функция F ( x ) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента X (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

Схема соответствующего алгоритма изображена ниже. Результатом решения поставленной задачи будут выводимые на дисплей в цикле значения параметров X ₁ и X ₂ (Концов выделенных отрезков).

Приближенное решение уравнений постановка задачи

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

X₁== 0.268;

X₂== 3.732;

Так как f / ()>0, то f / (x)>0 при , f / (x) / (x)>0 при . Кроме того, f()= 0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁ 2 -12x₁+3=11.39; на интервале — убывает до f(x₂)= 3x₂ 2 -12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.